Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.4

Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.4 khối đa diện trình bày các kiến thức cơ bản về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức lượng trong tam giác thường và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!

ñ o n

ñ h

ñ o n

ñ h

Cạnh kề Cạnh huyền

CHUYÊN ĐỀ 7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ 7.4 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A.

A KI KI KIẾ ẾẾ ẾN TH N TH N THỨ Ứ ỨC C C C C CƠ B Ơ B Ơ BẢ Ả ẢN N N

I HÌNH HỌC PHẲNG

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

c Công thức tính diện tích tam giác:

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

2 2

5 Diện tích đa giác:

a Diê ̣n tı́ch tam giác vuông:

= (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông

go ́ c:

Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tı́ch hai đường chéo

Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

ta ̣i trung điểm của mỗi đường

II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng :



( )

( )( )

2

3432

ABC

a S

a h

H Thoi

(ca ̣nh)2 đều

(ca ̣nh)

đều

3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp du ̣ng mô ̣t trong các đi ̣nh lı́ sau

 Hai mặt phẳng ( ),α ( )β có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ,a bthı̀ giao tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B

( ),( )

a

b b

β α

d d

d

d

α α

 Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳng: Đường trung bı̀nh, đi ̣nh lı́ Talét đảo, …

4. Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:

 Định lý (Trang 99 SGK HH11) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy

( )

{

( )( )}

 Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông

góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia

 Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông

góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

 Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11) Nếu hai mă ̣t phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mă ̣t

phẳng thứ ba thı̀ giao tuyến của chúng vuông góc với mă ̣t phẳng thứ ba đó

 Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11) Nếu hai mă ̣t phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào

nào nằm trong mă ̣t phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mă ̣t phẳng kiA

( ) ( )

( ) ( ) ( )

 Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải

vuông góc với đường kia

α α

 Cách 4: (Sử dụng Đi ̣nh lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )P

và a là đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không vuông góc với ( )P Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )P Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’

B

III HÌNH CHÓP ĐỀU

1 Đi ̣nh nghı̃a: Một hı̀nh chóp được gọi là hı̀nh chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhâ ̣n xét:

 Hı̀nh chóp đều có các mă ̣t bên là những tam giác cân bằng nhau

Các mă ̣t bên ta ̣o với đáy các góc bằng nhau

 Các ca ̣nh bên của hı̀nh chóp đều ta ̣o với mă ̣t đáy các góc bằng

nhau

2 Hai hı̀nh chóp đều thường gặp:

a Hı̀nh chóp tam giác đều: Cho hı̀nh chóp tam giác đều S ABC Khi

đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: SAO =SBO =SCO

 Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO

AB

Lưu ý: Hı̀nh chóp tam giác đều khác với tứ diê ̣n đều

 Tứ diê ̣n đều có các mặt là các tam giác đều

 Tứ diê ̣n đều là hı̀nh chóp tam giác đều có cạnh bên

bằng cạnh đa ́ y

b Hı̀nh chóp tứ giác đều: Cho hı̀nh chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCDlà hı̀nh vuông

 Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S

 Chiều cao: SO

 Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy:SAO =SBO =SCO =SDO

 Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO

IV THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Thể tı́ch khối chóp: 1

OI

B

S

O

2 Thể tı́ch khối lăng trụ: V =B h.

:

B Diê ̣n tı́ch mă ̣t đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng tru ̣ đứng có chiều cao cũng là

ca ̣nh bên

3 Thể tı́ch hı̀nh hộp chữ nhật: V =a b c

⇒Thể tı́ch khối lâ ̣p phương: 3

B.

B BÀI T BÀI T BÀI TẬ Ậ ẬP TR P TR P TRẮ Ắ ẮC NGHI C NGHI C NGHIỆ ỆỆ ỆM M M

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Câu 3. Cho khối đa diện đều {p q; }, chỉ số p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện

C Số cạnh của đa diện D Số đỉnh của đa diện

Câu 4. Cho khối đa diện đều {p q; }, chỉ số q là

A Số đỉnh của đa diện B Số mặt của đa diện

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Câu 12. Hı̀nh chóp S ABCD đáy hình vuông, SAvuông góc với đáy, SA=a 3,A C=a 2 Khi đó thể

tı́ch khối chóp S ABCD là

Câu 13. Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết ∆SAB là tam giác đều và

thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S ABC biết

Câu 14. Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình thoi Mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại

S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD

Câu 15. Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABC)là trung điểm H của BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB=a, AC =a 3,

Câu 16. Cho hình chópS ABCD có đáyABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng

(ABCD)là trung điểm H của AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết 3

a = Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm HcủaAB Thể tích khối chóp là

Câu 18. Hı̀nh chóp S ABCD đáy hình thoi, AB=2a, góc BAD bằng 120 Hình chiếu vuông góc của 0

S lên (ABCD) là I giao điểm của 2 đường chéo, biết

Câu 23. Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình chữ nhật, A A' = A B' = A D' Tính thể tích

khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' biết AB=a, AD=a 3, AA' 2= a

A 3a 3 B 3

a C a3 3 D 3a3 3

Câu 24. Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của A' lên (ABC) là

trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' biết AB=a, AC=a 3,

Câu 25. Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD là hình thoi Hình chiếu của A' lên (ABCD) là

trọng tâm của tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C' ' ' biết AB=a,

Câu 28. Lăng trụ tam giácABC A B C ′ ′ ′có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

300 Hình chiếu A′ lên (ABC)là trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ là

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC A B C ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác vuông tại , A BC =2 , a AB=a Mặt bên

(BB C C’ ’ ) là hình vuông Khi đó thể tı́ch lăng trụ là

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có chiều cao bằngh, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD)bằng α Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo h và α

A

3 2

43tan

h

3 2

83tan

h

3 2

3

8 tan

h

Câu 34. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy

và mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC =a, mặt

phẳng (A BC' ) tạo với đáy một góc 30° và tam giác A BC' có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông

góc của A' trên (ABC) là trung điểm của AB Mặt phẳng (AA C C' ' ) tạo với đáy một góc bằng 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 37. Cho hình chóp đều S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy (ABC) bằng 60 , khoảng 0

cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 3

2 7a Thể tı́ch của khối chóp S ABC theo a bằng

Câu 38. Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AC=2 3a, BD=2a, hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

Câu 39. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều S ABCD , O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của hình

chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo

a

A 2a3 3 B 4a3 3 C 6a3 3 D 8a3 3

Câu 40. Cho hı̀nh chóp tứ giác S ABCD có SA⊥(ABCD) ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB=2a AD=3BC=3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc giữa

(SCD)và (ABCD) bằng 60 0

A 2 6a 3 B 6 6a 3 C 2 3a 3 D 6 3a 3

Câu 41. Cho hı̀nh chóp tứ giác S ABCD có SA⊥(ABCD), ABCD là hình thang vuông tại A và B

biết AB=2a.AD=3BC=3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (SCD) bằng3 6

4 a

A 6 6a 3 B 2 6a 3 C 2 3a 3 D 6 3a 3

Câu 42. Cho lăng tru ̣ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng

60°, tam giác ABC vuông ta ̣i C và góc
BAC =60° Hı̀nh chiếu vuông góc của điểm B' lên

(ABC) trùng với tro ̣ng tâm của ∆ABC Thể tı́ch của khối tứ diê ̣n A ABC' theo a bằng

Câu 43. Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a Khoảng cách từ

tâm O của tam giác ABCđến mặt phẳng (A BC' ) bằng

V

2

12

Câu 45. ho NS=2NC, P là điểm trên cạnh SAsao cho PA=2PS Kí hiệu V V1, 2 lần lượt là thể tích

của các khối tứ diện BMNPvà SABC Tính tỉ số 1

V

2

34

V

2

23

V

2

13

V

V =

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABCD)bằng 45°, M N, và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA SB, và AB Tính thể tích

V của khối tứ diện DMNP

Câu 48. Cho tứ diện ABCDcó các cạnh AB AC, và AD đôi một vuông góc với nhau Gọi G G G1, 2, 3và

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)bằng 3 77 a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

a

V =

Câu 51. Cho tứ diện S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA=2SM ,

2

SN = NB, ( )α là mặt phẳng qua MN và song song với SC Kí hiệu (H1)và (H2) là các khối

đa diện có được khi chia khối tứ diện S ABC bởi mặt phẳng ( )α , trong đó, (H1)chứa điểm S,

Câu 52. Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC; các mặt phẳng (SAB),

(SAC) và (SBC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau Biết AB =25, BC =17,

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi

thì thể tích S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

2

Hướng dẫn giải:

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần

⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Hướng dẫn giải:

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều

Câu 3. Cho khối đa diện đều {p q; }, chỉ số p là

A Số các cạnh của mỗi mặt B Số mặt của đa diện

Câu 4. Cho khối đa diện đều {p q; }, chỉ số q là

C Số cạnh của đa diện D Số các mặt ở mỗi đỉnh

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a

Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD)

BCD

a

S∆ =

3 2 12

ABCD

a V

2 6

S ABCD

a V

2 3 4

ABC

a

3

3 12

S ABC

a V

1

2

2

B

A

CDS

A

B

CS

O

BC

A

Câu 11. Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB=a AD, = 2a Góc giữa SB và đáy bằng

3

.tan 45

.2 2

3

.cos 45

Câu 13. Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B Biết ∆SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB=a, AC=a 3

Câu 14. Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình thoi Mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt

phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD=a, AC=a 3

B

A

CDS

0 45

B

S

H

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: SAB∆ cân ⇒SH ⊥AB⇒SH ⊥(ABCD) (vì (SAB) (⊥ ABC))

3

Câu 15. Cho hình chópS ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của S lên mặt phẳng . (ABC)là trung

điểm H của BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB =a, AC=a 3 , SB=a 2

Câu 16. Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hình chiếu của S lên mặt phẳng . (ABCD)là trung

điểm H của AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết 3

1

a = Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm

H

S

D A

Câu 18. Hı̀nh chóp S ABCD đáy hình thoi, AB= 2a, góc
BAD bằng 120 Hình chiếu vuông góc của S lên 0 (ABCD)

là I giao điểm của 2 đường chéo, biết

M

S

D A

I

Ta có:

’ ’

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCDA B C D ABCD

Câu 24. Cho lăng trụ ABC A B C có ABC là tam giác vuông tại A Hình chiếu của ' ' ' A' lên (ABC) là trung điểm của

BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C biết AB ' ' ' =a, AC=a 3 , AA' 2 = a

Gọi H là trung điểm của BC ⇒A H' ⊥(ABC)

ABC là tam giác vuông tại A

2 2 2

1 2

3 '

2

ABCA B C ABC

a

Câu 25. Cho lăng trụ ABCD A B C D có ABCD là hình thoi Hình chiếu của ' ' ' ' A' lên (ABCD) là trọng tâm của tam

giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C biết AB' ' ' =a,
ABC =120 0 , AA' =a

Tam giác ABD cân có
BAD =60 0

nên tam giác ABD đều

ABD là tam giác đều cạnh a 3

3

a AH

Câu 26. Cho lăng trụ ABC A B C Tính tỉ số ' ' ' ' '

' ' '

ABB C ABCA B C

A BB C C ABCA B C A A B C ABCA B C

' ' ' ' ' ' '

' ' '

ABB C ABB C ABCA B C

Câu 28. Lăng trụ tam giácABC A B C ′ ′ ′có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300 Hình chiếu

A′ lên (ABC)là trung điểm I của BC Thể tích khối lăng trụ là

3 ’ ’ ’

.tan 30

2 3 2 3

Câu 29. Lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại , ’ ’ ’ A BC= 2 , a AB=a Mặt bên (BB C C’ ’ ) là hình

vuông Khi đó thể tı́ch lăng trụ là

C'

A B

C

A' B'

ABC C

A BB C C ABCA B C A A B C ABCA B C

' ' '

A ABC ABC ABC A B C

A ABC ABC A B C

C'

AB

C

A'B'

M

N

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) bằng α

Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo h và α

Gọi O là tâm của mặt đáy thì SO⊥mp ABCD( )

Từ đó, SO là đường cao của hình chóp.Gọi M là

trung điểm đoạn C D

4 tan

4 tan

h

α .h =

3 2

4 3tan

h

α .

Câu 34. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng

(SAD) tạo với đáy một góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC=a, mặt phẳng (A BC' ) tạo

với đáy một góc 30 ° và tam giác 'A BC có diện tích bằng a2 3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuông góc của ' A trên

(ABC) là trung điểm của AB Mặt phẳng (AA C C' ' ) tạo với đáy một góc bằng 45° Tính thể tích V của khối

Go ̣i H, M, I lần lượt là trung điểm

của các đoa ̣n thẳng AB, AC, AM

' ' ' '

ABC A B C ABC

2 3 4

ABC

a

Ta có IH là đường trung bı̀nh của tam giác AMB , MB

là trung tuyến của tam giác đều AB C