Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Cực trị hàm trùng phương (Phần 1) cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
0
2
x
x
a
=
′
= −
DẠNG 1 BIỆN LUẬN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0
2
a
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0
2
⇔ − b >
a
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số = 4− 2+ −
Tìm m để
a) hàm số có 1 cực trị
b) hàm số có 3 cực trị
Lời giải:
2
0
′
=
x
a) Hàm số có một cực trị khi m ≤ 0
b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số =( + ) 4− 2+ −
Biện luận theo m số cực trị của hàm số đã cho
Lời giải:
2
0
=
x
TH1 : m= −1⇒y′=6 ;x y= ⇔ =0 x 0
Trong trường hợp này hàm số có một cực trị, và đó là điểm cực tiểu
1, 1
1
+
m
m
+ Hàm số có một cực trị khi 3 0 1 0
+
m
m m
+ Hàm số có ba cực trị khi 3 0 0
1 1
>
> ⇔
< −
m m
m m
Kết luận :
Hàm số có một cực trị khi 1− ≤ ≤m 0
Hàm số có ba cực trị khi 0
1
>
< −
m m
DẠNG 2 TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C
+) Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị : 0 ( )*
2
− b >
a
+) Với điều kiện (*) ta có 2
3
0
0
2 2
= = →
= − − = →
b
a b
a
03 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có y B = y C
Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A
Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số :
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân
Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A
Khi đo ta có điều kiện AB AC =0, 1( )
2
⇔ = ⇔ + B − A =
b
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân
ABC : AB2+AC2 =BC2⇔2AB2 =BC 2
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
, 2
2
2
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 0
Tam giác ABC cân tại A nên BAC=1200 Gọi H là trung điểm của BC⇒H(0;y B)
cosHAB= AH ⇔cos 60 = AH ⇔AB=2AH ⇔AB =4AH , 3
2
b
2
−
b
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = S o cho trước
2
∆ABC = ⇔ o = ⇔ o =
2
b
2
−
b
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước
Sử dụng công thức diện tích tam giác
2
1
2
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0; α) cho trước
3
Tính chất 7: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r cho trước
Trang 3Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Sử dụng công thức diện tích tam giác
1
2
2 2
+
AH BC
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng
Ví dụ 1: [ĐVH] (ĐH khối B - 2011) Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị
thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
Lời giải:
1
=
= +
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ + > ⇔ > −m 1 0 m 1, *( )
Với m > −1 thì
2
2
0
2 2 2
= +
= −
m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m= ±2 2 2 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 2: [ĐVH] (Dự bị khối B - 2003) Cho hàm số = 4− 2 2+
y x m x , với m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
Lời giải:
=
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔m2> ⇔ ≠0 m 0, *( )
4
1
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A
1
=
= ±
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m= ±1 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số = 4+ 2− −
y x mx m , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng 4 2
b) đều
c) có một góc bằng 120 0
Lời giải:
2
0
= −
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*)
Với m < 0 thì
2
1
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A
Trang 4Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
a) Gọi H là trung điểm của ( 2 )
2
1 ⇔ −4 m m =128⇔m = −32⇒m= −2
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 là giá trị cần tìm
b) Tam giác ABC đều khi 2 2 ( )
3
0
3
=
= −
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m= −33 là giá trị cần tìm
c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200 thì BAC=1200
2
3
0
3
=
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3
1 3
= −
m là giá trị cần tìm
Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số = 4− 2+ −
y x mx m , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính
đường tròn ngoại tiếp bằng 2
Lời giải:
2
0
=
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m > 0, (*)
2
1
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A
, 1
2
=
2
1
2
=
=
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 1; 5 1
2
−
m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 5: [ĐVH] (Khối A - 2012) Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2 ( )1 , với m là tham số
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
Lời giải:
2
0
1
=
= +
x
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ + > ⇔ > −m 1 0 m 1, *( )
Trang 5Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
0
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A
Ta có AB=( m+ − +1; (m 1) ;2) AC= −( m+ − +1; (m 1)2)
Kết hợp với điều kiện (*) ta được m = 0 là các giá trị cần tìm
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
3
G
c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
a) tam giác ABC đều
b) OA= 2BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc Oy, B ; C là hai điểm cực trị còn lại ,
y x m x m m có ba điểm cực trị và là ba đỉnh của một tam giác vuông cân
2
thị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200
3
m
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
16
m
a) y= −2x4−(2m+1)x2+ +m 3
b) y= −(1 m x) 4−(3m+1)x2+2m+5
c) y=(3m2−2)x4−mx2+m3−1
a) Bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp gấp đôi bán kính đường tròn nội tiếp
Trang 6Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
cực trị Khi đó gọi A là cực đại, B, C là cực tiểu, ( ) ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Biết ( ) ∆ không
cắt đoạn thẳng BC Tìm k để
4
( ; ) ( ; ) 2
2
BC
có 2 cực tiểu tại A,B sao cho ( MA MB + ) MA MB − = 8