-Tuyø vaøo soá muõ cuûa a ñeå phaân tích, tìm moät soá a’ thích hôïp (Khoâng laøm traøn maùy) roài tìm soá dö cuûa a’ cho b.. Tieáp tuïc laøm nhö vaäy cho ñeán cuoái cuøng.[r]
Trang 1TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG “GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO”
CẤP TỈNH:
Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b
-Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm số
dư của a’ cho b Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng
VD: Tìm số dư của 1112 cho 2001
Giải:
116=1771561 khi chia cho 2001 dư là 676
Vì 1112=(116)2 chia cho 2001 dư là: 6762:2001 dư là 748
Vậy dư của phép chia trên là 784
-Cơ sở lý luận:
Bài tập áp dụng:
Tìm số dư trong phép chia a cho b:
3/ a= 1318+1320; b=6954
4/ a=1358+2475 ; b= 3311
Dạng 2: Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số)
Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789
-Ghép a thành các nhóm:
+ Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số
+ Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số
{
n.4 n.3 n.2 n.1
a=123456789123456789123 123 123
-Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy
Để tìm số dư an cho b ta làm như nhau:
-Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r ⇒ a n =(bq+r)n
b
M
1444442444443 (Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển
Vậy chỉ tìm xem rn chia cho b dư là mấy
Đáp số 170
Đáp số 2514
Trang 2= × =123 123
lapbuoc2 ghiragiay
a 56789 56789 3224990521
-Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b:
{
ghiragiay lapbuoc2 n2 laybuoc3
32249 91234 56789 5181119875
KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1 -Tiếp tục là như vậy đến hết
Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789
Buớc 1: 56789×56789=32249 90521
Bước 2: 32249+34×56789=1963075
Cơ sở lý luận:
Bài tập áp dụng:
1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068
b/ a= 147689245; b= 12567
2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998
3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667
Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng:
* Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng:
-Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng
-Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên
Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3202
-Ta có
1
2
3
4
5
=
=
=
=
=
Ghi ra giấy 90521
Ghi ra giấy 19875 90521
Đáp số : 7010987597531987590521
Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789)
Lúc này ab=(34 00000+56789)56789
Aùp dụng tính chất PP ta được cách làm trên
KQ: 1963075 90521
Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng
-Chữ số cuối là 5 thì 5n có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1) -Chữ số cuối là 6 thì 6n có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1)
Trang 33202=3200.32=(35)40.32(1)
Vì 35 có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vị) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (35)40
là 340; 340=(35)8
Và chữ số cuối cùng là 38; 38=35.33 nên chữ số cuối cùng của 38 là 34
Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của 32.34=35.3 Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9
Ví dụ 3:
Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3202+3203+3204
Ta có: A=3202(1+3+9)=3202.13
Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3202 là 9 Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27
*Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ từng bài để vận dụng:
Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3512
356=1838265625 Hai chữ số cuối cùng của 356 là 25
Mà 3512=(356)2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25)2=625 Vậy hai chữ số cuối cùng là 25
Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3523
Ta có: 315=14248907 Hai chữ số cuối cùng là 07
Và 3523=(315)34.513; và 513=1594323
Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích
Suy ra
Vậy hai chữ số cuối cùng là 27
Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64501+64502
-Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64501
Ta có:
645=1073741824 Và 64501=(645)100.64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824)100.64
• Vì 8243=559476224; (824)100.64={(824)3}33824.64
Þ ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224)33.52736
• Vì 2244=2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224)33.52736 là ba chữ số cuối cùng của tích (224)4}8.224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976)8 164864
• Vì 8963=719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976)8 164864 là ba chữ số cuối cùng của (136)2.8962.864=18496.802816.864
• Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904
• Ba chữ số cuối cùng của 64501 là 904
(07)34.23={(07)7}4.(07)6.23
(07)7=823543; 76=117649
(43)4 .49.23 hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127
Trang 4• A=64501(1+64)=65.64501
Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760
Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760
Dạng 4: Tính chất chia hết- Tìm tổng các số thoả mãn một vài điều kiện về chia hết:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 1318-1 chia hết cho 6954
Ta có: 1318=(136)3
Vì 136=4826809 chia cho 6954 có số dư là 733; (733)3=393832837 chia cho 6954 dư bằng 1 Vậy A= 138-1 chia hết cho 6954
Ví dụ 2: Tính tổng các số từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3
Giải: Các số trong khoảng từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3 là các số 10002; 10005;………;
99999
Số các số hạng chia hết cho 3 là: (99999-10002):3+1=30 000
Tổng các số chia hết cho ba là: 10005+………+99999= (10005+99999).30000:2
=1650060000
Ví dụ 3:
Tìm tổng các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2 000
000
Giải:
Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 là: 20 001;…………;1 999 998
Số các số hạng chia hết cho 3 là: (1 999 998-20 001):3+1=660 000
Tổng các số chia hết cho 3 là:
20 001+…………+1 999 998=(1 999 998+20 001).660 000:2
=330 000 2019999 =666 599 670 000
Các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2000000 là: 20010;……; 1 999 995
Số các số chia hết cho 5 là:
(1 999 995– 20 010):15+1=132 000 số
Tổng các số chia hết cho 15 là: (1 999 995+ 20 010).132 000:2=133 320 330 000
Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 là:
660 000-132 000=528 000 số
Tổng các số này là: 666 599 670 000-133 320 330 000=533 279 340 000
Hỗ trợ:
Tìm số phần tử của tập hợp: (Số cuối-Số đầu): Khoảng cách giữa hai số +1
Tính tổng các số có khoảng cách bằng nhau:
(Số đầu+số cuối) Số các số hạng:2
Trang 5Ví dụ 4: Tìm một số có 8 chữ số đồng thời chia hết cho 3 và 4, mà số ấy chỉ gồm các chữ số
2 và 3, trong đó số chữ số 3 nhiều hơn số chữ số 2
Giải:
Gọi số cần tìm là: A a a a a a a a a= 1 2 3 4 5 6 7 8 Vì AM4 nên a a M4; theo đề bài ta có các chữ số 7 8 của số A chỉ là chữ số 3 và 2 nên suy ra a a =32 7 8
Để A chia hết cho 3 cần : a1+a2+…+a6+3+2 chia hết cho 3 Hay a1+a2+…+a6 +5 chia hết cho
3 Nhưng do các chữ số của A chỉ là chữ số 3 và 2 và chữ số 3 nhiều hơn chữ số 2 và từ a1 đến a6 (Có 6 chữ số) nên suy ra:
@ Trường hợp 1: Có 4 chữ số 3 và 2 chữ số 2 : Tổng các chữ số là: 4.3+2.2+5=21 (thoả mãn chia hết cho3)
@ Trường hợp 2: Có 5 chữ số 3 và 1 chữ số 2: 5.3+2.1+5=22 ( không thoả mãn chia hết cho3)
@ Trường hợp 3: Có 6 chữ số 3 và không có chữ số 2: 6.3+5=23 ( không thoả mãn chia hết cho3)
Vậy số đó có thể là 33 332 232 Đổi vị trí các chữ số 3 và 2 từ hàng trăm đến hàng chục triệu (Giữ nguyên chữ số hàng chục và đơn vị ta có các số cần tìm)
Một số bài tập:
1/Tìm tổng các số chia hết cho 7 mà không chia hết cho 2
2/ Tìm một số có 6 chữ số sao cho nó chia hết cho 25 và chia hết cho 3 và chỉ gồm các chữ số 2 và 5 Trong đó số chữ số 2 nhiều hơn số chữ số 5
Dạng 5: Hàm số và tỉ số lượng giác:
1/Các bài tập cơ bản:
a/ Tìm tỉ số lượng giác của một góc:
Màn hình ở chế độ Deg (Dùng số đo độ) bằng cách bấm phím MODE nhiều lần đến khi xuất hiện:
Ví dụ 1: Tính Sin 60o= 0,866025403
Sin 30o20’15’’=0,505092606
Bấm phím:
Chú ý: Máy không có nút bấm cotg
Deg Rad Gra
Hỗ trợ:
Vì tga cotg a = 1 nên cotg a = 1
tga
Trang 6Vậy để tính cotg a ta làm như sau: -Tính tg a sau đó lấy nghịch đảo
b/Tìm số đo độ của một góc:
Ví dụ: Tính: sin x= 0,534
Ta có: sin-10,534=3,27611926 bấm tiếp nút o,,, ta được 32o16’34,03 (34’’)
Bài tập áp dụng:
1/ Tính giá trị của biểu thức:
cos 25 12'28'' 2sin 45 7tg 27
A
sin 36 cos 37 13'26''
-=
2/Cho tg x =2,34 (x là góc nhọn)
Tính: P 8cos x 2sin x cosx3 33 2
2cosx sin x sin x
=
3/ Cho Sin (3x+13o15’)=0,5323 Biết 0o<x<90o
Tính:
cos 3x sin 2x tg (5x 10 15') cot g 4x
Q
sin (2x 15 21') cot g 6x
=
-Dạng 5: Toán hình học:
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm Kẻ AH vuông góc với BC
1/Tính BC; AH; HC
2/ Kẻ phân giác BN của góc B Tính NB
Đáp số A=0,73182671
Đáp số P=-0,792316539
Cách giải:
-Tính: tg-12,34=66,86053824, bấm o,,, =66o51o37,94 ứng với 66o51’37’’
Vậy góc x=66o51’37’’ Lúc này thay x vào biểu thức P và nhớ tử vào phím A;
nhớ mẫu vào phím B và cuối cùng làm thao tác A ab/c B =
Không nên đánh toàn bộ biểu thức vào máy vì bị tràn máy
Cách giải:
-Trước hết hãy tính góc x bằng cách:
sin-10,5323=32,16098868 bấm o,,, được 32o9’39’’
Vậy 3x+13o15’=32o9’39’’ Þ x=8o38’13’ nhớ vào phím A
Lúc này bấm phím lần lượt và chú ý: VD Sin32x thì bấm (sin(2´ A))x3
Đáp số -17,62250204
Trang 7Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm Gọi O là giao điểm
hai đường chéo của hình chữ nhật Kẻ AH vuông góc với DB; kéo dài AH cắt CD ở E
1/ Tính OH và AE
2/ Tính diện tích tứ giác OHEC
Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1: Tính
2
Cách 1: Xét bài toán phụ:
2
2
-Dùng hệ thức lượửctong tam giác vuông
để tính câu 1
-Theo t/c đường phân giác có:
+
+
+ từ đây tính NA; sử dụng Pitago trong tam giác ABN tính
BN
A
N
B H C
Nhớ AB và A; AD vào B
1/Tính được BD bằng định lý
Pitgago rồi tìm OB và HB hoặc
DH Đsố: DB=25,61738695 nhớ
vào C
AH=12,36311165 nhớ vào D
DH=9,459649007 nhớ vào E
HO=OD-DH=3,349044467
-Tính AE:AD2=AH.AE Nên
AE=19,6011729 nhớ vào F
A B
H O
2/ Diện tích OHEC:
1 AD DC DH HE
Trang 8Nếu a+b+c=0 thì (1) trở thành
2
ç
Ta lại có:
2
ç
Suy ra: Sk 1 12 12 1 12 12 1 1 2 12
= ç + - ÷÷+ ç + - ÷÷+ + ç + - ÷÷= - +
Với đề bài k=19 nên ta có 19-2+ 1 1
2 19
-Ví dụ 2: Tính:
Dạng 7: Tính giá trị của biểu thức có phép lặp:
Ví dụ 1: Cho U1=7; U2=12 Viết công thức tính Un+1= 2
1
U + 8U2 Tính U10 -Quy trình bấm phím:
Ví dụ 2: Cho Uo= 12 Viết công thức tính Un= 3o o
2 o
U
- Tính U13
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để 28+211+2n là số chính phương
Ta có 28+211=28(1+33)=482
Để 28+211+2n là số chính phương thì å 28+211+2n =k2 hay 2n=k2-482=(k-48)(k+48)
Nhớ U1=7 vào A; U2=12 vào B; Lập công thức:
A2+8B nhớ vào A;
B2+8A, nhớ vào B
Bấm nút REPLAY 7 lần ta được U10
Đây là U3(Vì ở trên đã cho U2 Đây là U4(Vì ở trên đã tínhU3
Nhớ Uo=12 vào A; Lập công thức:
(A3-2A ):A2 nhớ vào A
Bấm nút REPLAY 12 lần ta được U13
Đây là U1(Vì ở trên đã cho Uo)
Trang 9Suy ra k-48=2p và k+48=2q Ta có 2q-2p=2p(2q-p-1)=(k+48)+(k-48)=96=25.3
Vậy với p=5; q=3 hay n=12 thì 28+211+2n là số chính phương
Tính trên máy CASIO là: Khai báo công thức 8 11 n
n
a = 2 + 2 + 2 Bấm máy như sau:
Lần lượt khai báo X=1; 2;3 … 12 và dung để trở về công thức trên, sau đó bấm phím ta được a12=80 Vậy n=12
Ví dụ 4: Cho dãy số Un n 20043
n
= + Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số:
Giải: Khai báo công thức
Lần lượt cho X=1;2;3……… ta có kết quả cuối cùng
D
=