Mời thầy cô và các bạn học sinh tham khảo đề thi khảo sát chất lượng lần 3 môn Toán khối A, A1, B - THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2014, có thêm kinh nghiệm ra đề và ôn thi hiệu quả.
Trang 1Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ 3
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 3
2
x
y
x
+
= + có đồ thị là ( ) H
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) H của hàm số.
b) Gọi d là đương thẳng đi qua điểm A - ( 2;0 ) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt ( ) H tại hai điểm phân biệt M N thuộc hai nhánh khác nhau của , ( ) H sao cho AM = 2AN
tanx+1 sin x+cos 2x+2=3 cosx+ sinx sin x .
Câu 3 (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( 2 )( 2 )
ï
í
î
.
Câu 4 (1 điểm) Tìm tích phân :
1
0
15
25 3.15 2.9
x
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp S ABCD có SC^ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3
và · 0
120
ABC = Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) bằng 0
45 Tính theo a thể tích khối
chóp S ABCD và khoảng các giữa hai đường thẳng SA BD , .
Câu 6 (1 điểm) Cho các số thực không âm , , a b c thoả mãn a b+ + = c 3 .Chứng minh rằng
1
b + +c + +a + ³
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn ( ) ( C1 : x-1) ( 2+ y -2) 2 = 4 và
( ) ( C2 : x-2) ( 2+ y -3) 2 = 2 cắt nhau tại điểm A ( ) 1; 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt lại
( ) ( ) C1 , C 2 lần lượt tại M và N sao cho AM = 2AN
Câu 8a (1 điểm). Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng 1 : 4 5 7
d + = - = +
2
:
d - = = +
- - . Viết phương trình đường thẳng D đi qua M - ( 1; 2;0 ) , ^ d 1 và tạo với d góc 2 60 0 Câu 9a (1 điểm) Giải phương trình: log (4 x+3) log- 2 x - =1 2 3 log 2 - 4 .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( ) E có hai tiêu điểm F1( - 3; 0 ,) ( F 2 3; 0 ) và đi qua điểm 3; 1
2
A æç ö ÷
è ø . Lập phương trình chính tắc của ( ) E và với mọi điểm MÎ ( ) E , hãy tính giá trị biểu
P=F M +F M - OM - F M F M
Câu 8b (1 điểm). Trong không gian với hệ truc toạ độ Oxyz, cho tam giác vuông cân ABC có BA= BC . Biết A ( 5;3; 1 - ) , C ( 2;3; 4 - ) và điểm Bnằm trong mặt phẳng ( )Q :x+y- - = z 6 0 Tìm toạ độ điểm B
Câu 9b (1 điểm) Giải bất phương trình: 15.2x+1+ ³1 2x- + 1 2 x + 1 .
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối A, A 1 ,B (gồm 6 trang)
M
1 2,0 điểm
TXĐ: D =¡ \{ } - 2
Giới hạn: lim 3 1
2
x
x
x
®±¥
+
= + , 2
3 lim
2
x
x
x
+
®-
+
= +¥
3 lim
2
x
x
x
-
®-
+
= -¥
+
0,25
Chiều biến thiên: Ta có
( ) 2
1
2
y
x
-
+
x D
" Î
BBT :
y
1
-¥
+¥
1
0,25
Hàm số luôn nghịch biến trên D =¡ \{ } - 2
Đồ thị hàm số có TCN là y = 1
Đồ thị hàm số có TCĐ là x = - 2
0,25
a
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm ( 3; 0) A -
Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 0; 3
2
B æç ö ÷
è ø Nhận xét đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm I - ( 2;1 ) làm tâm đối xứng
6
4
2
2
4
6
8
10
O
0,25
b
Trang 31 2
d cắt ( ) H tại hai điểm phân biệt M N thuộc hai nhánh khác nhau của , ( ) H sao cho
2 .
AM = AN ÛuuuurAM = - 2 uuur AN
(do A nằm giữa hai nhánh của ( ) H vì A thuộc TCĐ ) 0,25
ta có hệ phương trình
( )
ì + = - +
ï
í
ï
î
thế ( ) 1 vào ( ) 2 ta được
0,25
Vậy ( 1; 2 ;) 5 ; 1
2
M - N æç- - ö ÷
è ø Þd º( AM):y=2x+ Þ4 k = 2
( nếu dùng phương trình hoành độ ,và định lý vi ét cho ta kết qủ tương tự trên, hơi dài)
0,25
2 1,0 điểm
2
p
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
tanx+1 sin x+ -1 2 sin x+2=3 cosx+ sinx sin x
0,25
tanx 1 sin x 3 3 cosx sinx sinx 6 sin x
tanx 1 sin x 3 cos 2x 3 cosx sinx sinx 0
tanx 1 sin x 3 cosx sinx cosx 0
0,25
sinx-cosx sin -3cos x = 0 Û( sinx-cosx)( 2 cos 2x +1) = 0
sin cos 0
4
1 cos 2
2
3
k
x
p
p
p p
é
ê
ê = -
ê = ± +
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm , ( )
3
Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )
( )
ï
í
î
đ
ĐK: x£3 ,y £ 2
Ta thấy y2+ >1 y2 = y ³ yÞ y2 + -1 y>0 " Î ¡ y
x+ x + = y + -yÛ x+ x + = -y + -y + hàm số ( ) 2
1
f t = +t t + đồng biến trên ( ( ) 1 2 0
1
t
t
¢ = + > " Î
+
phương trình ( ) 3 Û f x( ) = f ( ) -y Û x= - y ( ) 4
0,25
y + - -y- +y = Đ/K. 3- £y £ 2
ptrình( ) ( 2 ) ( ) ( )
Trang 4( 1) 1 4 1 0
Û
1
y
y
=
é
ê
ë Xét phương trình ( ) 6
+ - + + xác định và đồng biến trên đoạn [ - 3; 2 ]
( )
0,25
Mặt khác - Î - 2 [ 3; 2 ] và g -( ) 2 = 0 , pt ( ) 6 Û g y( ) =g( ) -2 Û y = - 2
· y= Þ1 x= - Þ1 ( x y , ) ( = - 1,1 ) thoả mãn đ/k
· y= - Þ2 x=2Þ( x y , ) ( = 2, 2 - ) thoả mãn đ/k Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x y, ) ( = -1,1 ,) ( x y , ) ( = 2, 2 - )
0,25
4 1,0 điểm
5
x
x
æ ö
ç ÷
è ø
t =æ öç ÷ Þdt = æ ö ç ÷
è ø è ø . Đổi cận
5
1
3
= Þ =
ì
ï
í
= Þ =
ï
î
0,25
2
ln 5 ln 3 3 2 ln 5 ln 3 1 2
dt
5
3
1
1 1 ln12 ln11 2 ln 2 ln 3 ln11
ln
ln 5 ln 3 2 ln 5 ln 3 ln 5 ln 3
t
I
t
0,25
5 1,0 điểm
Kẻ SK ^AB Þhình chiếu ( ( ) ( ) ) ( ) · 0
2
a
0 3 tan 45 (1)
2
a
SC CK
2
2
ABCD
a
Từ ( ) 1 và( )
3
a
0,25
Gọi O= ACÇ BD Vì AC^BD BD , ^SCÞ BD^ ( SAC ) tại O Kẻ OI ^SAÞ OI là
Trang 5( )
2
2
3 3
3 3 5
2 2 ( )
10
2 5
3
3
2
a a
a
×
×
æ ö +
ç ÷
è ø :
Vậy khoảng cách ( , ) 3 5
10
a
d BD SA =
0,25
6 1,0 điểm
Sử dụng kỹ thuật AMGM ngược dấu ta có
Tương tự ta có
,
0,25
Do đó bài toán quy về chứng minh
3
4
0,25
Không mất tính tổng quát , giả sử b nằm giữa a và c
0
a b c b a- - £ Ûab +bc +ca £a b bc+ + abc
3
2
b a c a c
0,25
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
( ) 2
0
0
1
3
a b c b a
a
b
a b c
= +
ï + + =
î
hoặc các hoán vị tương ứng 0,25
7.a 1,0 điểm
( ) ( C1 : x-1) ( 2+ y -2) 2 = 4 Þ ( ) C 1 có tâm O 1 ( ) 1; 2 và bán kính R = 1 2
( ) ( C2 : x-2) ( 2+ y -3) 2 = 2 Þ ( ) C 2 có tâm O 2 ( 2;3 ) và bán kính R = 2 2 , A ( ) 1; 4 .
Giả sử ( ) ( ) ( ) 2 2
MN a x- +b y- = a +b > (do MN đi qua A).Gọi H H lần lượt 1, 2
( )
0,25
2
4
· 2a+b = 0 chọn a=1,b= - Þ2 ( ) d :x-2y +7= 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là ( )d :x - = 1 0 và ( )d :x-2y +7= 0 0,25
Trang 68.a 1,0 điểm
Giả sử D có vtcp ( ) 2 2 2
ur D = a b c a +b +c >
( )
d u uD a b c
2
1 1 4
- -
Từ (1) Þb=a+ c thay vào (2) ta được 2 2 ( ) 2 2 2 2
18c =3éa + a+c +c ù Ûa +ac-2c = 0
( a c)( a 2c ) 0
Û - + = Þa=c Ú a= - 2 c
0,25
· a= Þc b= 2 c chọn c= Þ1 u r D = ( 1; 2;1 )
ta có : 1 2
x+ y- z
· a= -2 cÞb= - c chọn c= - Þ1 u r D =( 2;1; 1 - )
ta có : 1 2
x+ y- z
9.a 1,0 điểm
Đkxđ: x > 1
Phương trình 1log (2 3) 1log (2 1) 2 1 log 8 2
3 log ( 3) log ( 1) 4 log 8 log log 2
1
x
x
+
3
2
1
x
x
+
Vậy phương trình có nghiệm là x = 5 .
0,25 7.b 1,0 điểm
( )
: x y 1 , 0
do ( ) E có hai tiêu điểm F1( - 3; 0 ,) ( F 2 3; 0 ) Þc= 3, c2 =a2-b2Þa2 =b 2 + 3 (1)
1 3;
2
A æç ö ÷
è ø ( ) 32 1 2 1 (2)
4
E
0,25
Thế (1) vào (2) ta giải phương trình ẩn b được 2 ( )
4 1
8.b
Gọi B a b a b( ; ; + -6) ( ) Î P ÞuuurAB=( a-5;b-3;a b+ -5 ,) CBuuur =( a-2;b-3;a b + - 2 )
,gt Þ 0,25
AB CB
Û
î
uuur uuur
7 2
ï
ï
î
0,25
Từ đó B ( 2;3; 1 - ) hoặc B ( 3;1; 2 - ) 0,25 9.b
Trang 7Đặt 2 - =1 t ,( t > - 1 ) . Khi đó bpt Û 30( t+1) + ³1 t +2( t + 1 ) (*) 0,25 TH1 t ³ 0, thì (*) trỏ thành Û 30t+31³3t + 2 2
30t 31 9t 12t 4
2
Û - - £ Û - £ £ kết hợp t ³ nghiệm bpt TH1 là 0, 0£ £ t 3 0,25
TH2 - < < 1 t 0 thì (*) trỏ thành Û 30t+31³ + t 2 Û30t+31³t2 +4t + (hai vế dương) 4
2
Û - - £ Û - £ £ kết hợp - < < 1 t 0 nghiệm bpt TH2 là - < < 1 t 0 0,25
kết hợp hai TH Þ - < £ Û - <1 t 3 1 2x- £ Û1 3 0<2x £4Û x £ Nghiệm bpt 2 x £ 2 0,25
LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo
cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết