Tham khảo Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 9 năm 2016-2017 sẽ giúp các bạn tiết kiệm thời gian trong việc tìm kiếm tài liệu ôn thi, đây là tài liêu ôn tập hữu ích, nội dung bám sát chương trình học, trình bày rõ ràng và khoa học. Mời các bạn tham khảo!
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian: 150 phút Ngày thi: 22/3/2017
Câu 1.(2 điểm)
Cho a 2 1;b 2 1
Tính 7 7
a b
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có đồ thi là (d) Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) đi qua điểm A(1;2) và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm C có tung độ dương và thỏa mãn OB OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
2
3x 16y 24 9x 16x 32
Câu 3 3 điểm
Giải phương trình 3 2
4x 5x 1 3x 1 3x
Câu 4 (3 điểm)
Giải hệ phương trình
4 2
y 2x 1 3 5y 6x 3 2y 5x 17x 6 6 15x
Câu 5 (6 điểm)
Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB M A,M B,MA MB Tia phân giác của AMB cắt AB tại C Qua C vẽ đường vuông góc với AB cắt đường thẳng AM, BM theo thứ tự ở D, H
a) Chứng minh CA = CH
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên tiếp tuyến tại A của (O), F là hình chiếu vuông góc của D trên tiếp tuyến tại B của (O) Chứng minh E, M, F thẳng hàng
c) Gọi S ,S1 2 thứ tự là diện tích tứ giác ACHE và BCDF Chứng minh 2
1 2
CM S S
Câu 6 (2 điểm)
Cho ba số a, b,c 1 thỏa mãn 32abc 18(a b c) 27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 HƯNG YÊN 2016-2017 Câu 1
a b 2 ;ab ; a b a b 2ab 2
Lại có 7 7 3 3 4 4 3 3
a b a b a b a b a b
2 3
a b 3ab(a b) a b 2a b a b (a b)
Câu 2
a) Do (d) đi qua điểm A(1;2) nên (d) có dạng y ax 2 a
Có (d) cắt trục Ox tại B a 2;0
a
và cắt trục Oy tại C 0;2 a
Vì điểm B có hoành độ dương và C có tung độ dương nên a <0
Khi đó ta có OB OC a 2 2 a 1 2 2 a 3 2 ( a) 3 2 2.( a) 5
Suy ra OB + OC nhỏ nhất khi và chỉ khi a 2
Vậy phương trình (d) có dạng: y 2x 2 2
3x 16y 24 9x 16x 32 (1)
ĐK: 3x 16y 24 0
2
3x 16y 24 9x 16x 32 3x 16y 24 9x 16x 32
9(3x 16y 24) 9 9x 16x 32
9x 48y 72 81x 144x 288
9x 48y 72 9x 8 224
9x 48y 72 9x 8 224
9x 48y 72 9x 8 9x 48y 72 9x 8 224
18x 48y 64 48y 80 224
32 9x 24
y 32 (3y 5) 224 9x 24y 32 3y 5 7
Với x, y nguyên thì (3y+5) là ước của (-7) và chia cho 3 dư 2
Trang 33y 5 1
+) TH1: 3y 5 1 y 2 x 1
+) TH2: 3y 5 7 y 4 x 7
Vậy các cặp nghiệm nguyên (x;y) là 1; 2 ;( 7; 4)
Câu 3 ĐK: x 1
3
3 2
3 2
3 2
2
3 2
2 2
2
4x 5x 1 3x 1 3x
4x 5x 1 3x 1 3x 0
4x 5x x 2x 1 3x 1 0
2x 1 3x 1
2x 1 3x 1 4x x
2x 1 3x 1
1
2x 1 3x 1
Với x 1
3
thì
1
2x 1 3x 1
2
x 0
x 4
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x 0;x 1
4
Câu 4
Điều kiện xác định x 1
2
Biến đổi phương trình thứ hai ta được
4
2y 5x 2 (x 3) 3(2 5x) suy ra x 2
5
(loại) hoặc 4 4
2xy 3 6y
Ta đưa về hệ phương trình 2 2
y 2x 1 3 2x 1 5y 3 2xy 3 6y
Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên chia 2 vế của phương trình thứ nhất cho 2
y và phương trình thứ hai cho 4
y có:
4
3
y
Trang 4
Đặt a 2x 1 ; b 23
y
với a 0;b 0
Ta có hệ phương trình a ab b2 2 5
a b 5
Ta được a 5 b
1 b
thay vào phương trình (2) ta có:
2
5 b
b 5 b 2b 3b 20b 20 0 b 1 b 2 b 5b 10 0
1 b
Suy ra a 2
b 1
hoặc
a 1
b 2
+Với a 2
b 1
thì 4
5 x 2
+) Với a 1
b 2
thì
4
x 1
3 y
2
Kết luận (x;y)
4 4
; 3 ; 1;
Câu 5
Trang 5a) Do MC là phân giác của AMB , theo tính chất đường phân giác AC AM(1)
BC BM
Xét BHC và BAM có 0
BCH BMA 90 , ABM là góc chung BHC
đồng dạng với BAM HC AM (2)
BC BM
Từ (1) và (2) AC HC
b) Tứ giác ACHE là hình vuông suy ra AH=EC
Gọi AH cắt EC tại I
Xét AMH vuông tại M AH EC 0
I
F
D
M
Trang 6Chứng minh tương tự ta có 0
CMF 90
EMF 90 90 180 suy ra E, M, F thẳng hàng
c) Do tứ giác ACHE là hình vuông CH CE
2
2
CE
2
Tương tự 2
2
2S CF Xét FCE vuông tại C, đường cao CM, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta
có, 12 12 1 2
CE CF CM
2 2
1 2
2S S 2S S
CE CF
CE CF S S 2 S S
Dấu “=” xảy ra S1 S2 AM BM (vô lý vì AM < BM)
Vậy 2
1 2
CM S S
Câu 6
+) Sử dụng bất đẳng thức : Với x, y, z 0 , ta luôn có x y z 3(x y z)
Từ bất đẳng thức đã cho ta có:
Suy ra
2
1 1 1
a b c
Từ giả thiết 32abc 18(a b c) 27 18 1 1 1 27 32 (*)
ab bc ca abc
Ta có
2
1 1 1 1 1 1 1
.
ab bc ca 3 a b c
và
3
abc 27 a b c
Đặt t 1 1 1
a b c
Từ (*) ta có
2
3 2
Suy ra
2
2
1 1 1
a b c
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c 3
2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 5