Đề thi tuyển chọn câu lạc bộ môn học em yêu thích cấp quận Long Biên có đáp án môn: Toán năm học 2014-2015 giúp các bạn củng cố lại kiến thức và thử sức mình trước kỳ thi. Hy vọng nội dung đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN CHỌN CÂU LẠC BỘ MÔN HỌC EM YÊU THÍCH CẤP QUẬN
Môn: TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 27/05/2014 Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức
2
3 :
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị biểu thức A khi x thỏa mãn: 2014 2 x 1 2013
c) Tìm giá trị của x để A < 0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên
Bài 2 (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2- 7 )2- 36x
b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh: A= n3(n2- 7 )2- 36n 210 với mọi số tự nhiên n
Bài 3 (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ cùng ngày và đi với vận tốc theo thứ tự lần lượt là 10km/giờ, 30km/giờ và 50km/giờ Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy ?
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB
b) Cho BMC 1200 và SAED 36 cm2 Tính SEBC ?
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi
d) KẻDH BC HBC Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQPD
Bài 5: (3điểm).
a) Chứng minh rằng số n2+2014 với n nguyên dương không là số chính phương
b) Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3+ b3= a5+ b5
Chứng minh rằng: a2+ b2 1 + ab
Hết
-Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1
5 đ
a)
ĐKXĐ : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2
Rút gọn được A= 1
3
x
0.5 1.5
b
Từ 2014 2 x 1 2013
Tìm được x=1; x=0 (loại x=0 do không thỏa mãn ĐK)
Thay x=1 vào biểu thức tính được A= 0
0.5 0.5
c A< 0 suy luận được x<1 và : x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 1/2 1.0
d Lập luận để khẳng định được x-1 là bội của 3 suy ra , x = 3n+1 (n Z) 1.0
2
3 đ
a) Phân tích được x
3(x2 - 7 )2 – 36x
= x(x + 1 )( x - 1 ) (x - 3 )(x + 2 ) ( x - 2 )( x + 3 )
1.5
b)
Theo phần a ta có :
A = n3(n2- 7)2- 36n
= n(n + 1)(n - 1) (n - 3)(n + 2)(n - 2)(n + 3) Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp Trong 7 số nguyên liên tiếp có:
- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2
- Một bội của 3nên A chia hết cho 3
- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5
- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7
Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A (2, 3, 5, 7)
Hay A 210
0.75
0.75
3
3 đ
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x >
0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
0,25
0,75
Trang 3Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp
và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
<=> x = 5
6 (h) = 50 phút (TMĐK) Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy
0,5
0,5 0,5
0,5
4
6đ
Hình vẽ:
I P
Q
H
E
D A
M
0,5
a
* Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg)
- Từ đó suy ra EB ED EA EB ED EC
* Chứng minh EAD ECB
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc)
- Suy ra EAD ECB
0,5 0,5
0,5 0,5
b - Từ BMC = 120o = 60o ABM = 30o
0.5
Trang 4- Xét EDB vuông tại D có B = 30o
ED = 1
2 EB
1 2
ED
EB
- Lý luận cho
2
EAD ECB
từ đó SECB= 144 cm2
c
- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2có giá trị không đổi
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2+ AC2= BC2
0.25 0.25 0.5
d
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg)
2 2
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
BDP DCQ
ma BDP PDC
0,25
0,25
0,5
5
3đ
a
Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2+2014 =k2 k2–
n2= 2014
(k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2+ 2014 là số chính phương
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
b Với 2 số a, b dương:
Xét: a 2 b 2 1 ab a2+ b2– ab 1 0,5
0.5
Trang 5(a + b)(a2+ b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3+ b3 a + b
(a3+ b3)(a3+ b3) (a + b)(a5+ b5) (vì a3+ b3 = a5+ b5)
a6+ 2a3b3+ b6 a6+ ab5+ a5b + b6
2a3b3 ab5+ a5b
ab(a4– 2a2b2+ b4) 0
ab a 2 b 2 2 0 đúng a, b > 0
Vậy: a 2 b 2 1 ab với a, b dương và a3+ b3= a5+ b5
0,5
0,25 0,25
Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.