Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Kiên Giang gồm 5 câu bài tập tự luận với thời gian làm bài trong vòng 90 phút, đề kiểm tra sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011-2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/03/2012
Câu 1 (4 điểm)
S 1 3 3 3 3 3 3 3 3
Chứng minh S chia hết cho 40
b) Rút gọn phân thức
3 3 3
a b c 3abc
a b a c b c
Câu 2 (4 điểm)
a) Thực hiện phép tính : 2 3 2 3
b) Cho a b c 0; a, b,c 0 Chứng minh đẳng thức
2 2 2
1 1 1 1 1 1
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình: 2
2x 2x 1 4x 1
b) Giải hệ phương trình : x 2 2 y 1 9
x y 1 1
Câu 4 (5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC,
BD vuông góc với nhau tại I (I khác O) Vẽ đường kính CE
a) Chứng minh ABDE là hình thang cân
b) Chứng minh 2 2 2 2
AB CD BC DA 2R 2 c) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc đến CD lần lượt cắt BD tại F, cắt
AC tại K Chứng min A, B, K, F là bốn đỉnh của một tứ giác đặc biệt
Câu 5 (3 điểm)
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho MAB là tam giác có
ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB Tính giá trị lớn nhất của tích KH.KM
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 KIÊN GIANG NĂM 2011-2012
Câu 1
1a
1 2 3 4 5 6 7 96 97 98 99
1 2 3 4 1 2 3 96 1 2 3
1 2 3 4 8 96
4 8 96
S 40 1 3 3
S
3
Vậy S chia hết cho 40
1b
Tử thức = 3 3
a b 3ab(a b) c 3abc
=
3 3
2 2 2
Mẫu thức
2 2 2
a 2ab b a 2ac c b 2bc c
2(a b c ab bc ca)
Kết quả a b c
2
với 2 2 2
a b c ab bc ca 0
Trang 3Câu 2
2a Nhân số bị chia và số chia với 2
2 2 3 2 2 3
2 4 2 3 2 4 2 3
2 2 3 2 2 3
2 3 3 3 2 3 3 3
2 3 2 3
6
3 3 3 3
Câu 2b
Ta có:
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
Câu 3a DK :4x 1 0 x 1
4
2
2
2 2
2
2x 2x 1 4x 1
4x 4x 2 2 4x 1
4x 4x 1 1 0
4x 0
x 0 4x 1 1 0
(thỏa)
Câu 3b x 2 2 y 1 9 (1)
x y 1 1(2)
- Từ pt (2) y 1 1 x 0 x 1
Trang 4- Thế vào phương trình (1) ta có
-
x 2 2 1 x 9
x 2 2x 11
2 x 2x 9
x 3
(vì x 1 )
- Thế x= -3 vào pt (2) : y 1 1 3 2 y 1 2 y 3
y 1
- Vậy nghiệm của hệ là (-3 ; 3); (-3;-1)
Câu 4
a) Ta có góc EAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AE AC
Mà BD AC (gt) AE / /BD ABDE là hình thang
K
F
B D
A
C I
Trang 5Mà ABDE nội tiếp đường tròn (O) nên ABDE là hình thang cân b) Ta có góc EDC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
DEC
vuông ở D
Mà AB = ED (vì ABDE là hình thang cân) 2 2 2
Chứng minh tương tự 2 2 2
AB CD BC DA 8R
AB CD BC DA 2R 2
c) Ta có : góc BAC = góc BDC (cùng chắn cung BC)
Góc IAF = góc BDC (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Suy ra góc BAC = góc IAF ABF cân tại A
Mà AI là đường cao , nên AI là đường trung tuyến IB IF Chứng minh tương tự IA IK ABKF là hình bình hành
Mà AK BF nên ABKF là hình thoi
Câu 5
- Xét KAH và KMB ta có:
Góc AKH = góc MKB = 900
Góc KAH = góc KMB (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc)
KAH
và KMB đồng dạng KH AK KH.KM AK.KB
A
Trang 6Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương
Ta có:
2
Do đó KH.KM AB2
4
(không đổi) Dấu “ = “ xảy ra AK KB
Vậy giá trị lớn nhất của KH.KM là
2 AB
4