Đề thi chọn HSG vòng tỉnh lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Kiên Giang có cấu trúc gồm 5 câu hỏi trong thời gian làm bài 150 phút, mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu củng cố lại kiến thức và thử sức mình trước kỳ thi.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH KIÊN GIANG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 01/3/2013 Câu 1 (4 điểm)
a) Tìm m để hàm số 2 2
y m 2m x m 1 nghịch biến và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
M 5x y z 4x 2xy z 1 c) Cho x y 5 và 2 2
x y 11. Tính 3 3
x y
Câu 2 (4 điểm)
a) Rút gọn :
3 x 3x x (x 2) 9 x
b) Cho a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1
a b c a b c
Tính giá trị biểu thức 27 27 41 41 2013 2013
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình : 3 3
x 10 17 x 3 b) Giải hệ phương trình :
2 3x 2y 19
Câu 4 (4 điểm)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD Qua A vẽ AK // BC (K CD) và qua B kẻ
BI // AD (I CD); BI cắt AC tại F, AK cắt BD tại E
a) Chứng minh KD = CI và EF // AB
b) Chứng minh 2
AB CD.EF
Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) M là một điểm di
động trên cung BC của đường tròn đó
a) Chứng minh : MB + MC = MA
b) Xác định vị trí của điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn nhất
c) Gọi H, K, Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, AC; đặt diện tích tam giác ABC là S và diện tích S’ CMR :MH MK MQ 2 3(S 2S ')
3R
khi M di động trên cung BC
Trang 2ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 9 KIÊN GIANG 2012-2013 Câu 1
1.a) Hàm số 2 2
y m 2m x m 1 nghịch biến 2
0 m 2 (1)
Cắt trục tung: 2
m 1 3 m 2 (2)
Từ (1) và (2) m
Câu 1b Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
M 5x y z z 4x 2xy 1
2
Giá trị nhỏ nhất của M 9
4
1
2 1
2
Câu 1c Cho x+y= - 5 và 2 2
x y 11 Tính 3 3
x y
Ta có: 3 3 2 2
x y x y x y xy 5(11 xy) (1)
x y 5 x y 2xy 25 11 2xy 25 xy 7 (2)
Từ (1) và (2) 3 3
Trang 3Câu 2
2a Rút gọn:
3 x 3x x (x 2) 9 x
ĐK: 3 x 3
x(3 x) (x 2) 3 x 3 x
: 2
3 x
: 2
3 x
Câu 2b Ta có :
a b c a b c a b a b c c ab c(a b c) (a b)c(a b c) ab(a b) (a b) c(a b c) ab 0 (a b) c(a c) bc ab 0 (a b) c(a c) b(a c) 0
a b 0 a b (a b)(a c)(b c) 0 b c 0 b c
c a 0 c a
Thế vào tính được Q = 0
Câu 3
3a Gpt: 3 3
x 10 17 x 3
3
3
x 10 17 x 3 (x 10)(17 x).3 27
x 10 (x 10)(17 x) 0
x 17
Trang 43b
2 3x 2y 19
Đặt 2x 3 m 0
y 5
m
(chọn)
2x 3
1 2x 3 y 5 2x y 8
y 5
Giải hệ 2x y 8 4x 2y 16 x 5
3x 2y 19 3x 2y 19 y 2
Câu 4
a) Chứng minh KD CI và EF // AB
Chứng minh ABID, ABCK là hình bình hành
DI CK
(cùng bằng AB)
DI IK CK IK DK CI
Vì AEB đồng dạng KED (g.g) AE AB
AFB
đồng dạng CFI (g.g) AF AB
E
F
Trang 5Mà KD = CI AE AF EF / /KC
(Định lý Ta let đảo trong AKC ) b) Chứng minh 2
AB CD.EF
Ta có : KED đồng dạng AEB (g.g)
(1)
(Vì ABCK là hình bình hành)
Do EF//DI (theo cmt : EF//KC và I KC)
(2)
(Vì DI = AB)
Từ (1) và (2) DC AB 2
Câu 5
O A
B
C M
Trang 6a) Chứng minh MC+MB=MA
Trên MA lấy D sao cho MD = MB MBD cân tại M
Góc BMD = góc BCA = 0
60 (cùng chắn cung AB) MBD đều Xét MBC và DBA có
MB = BD (vì MBD đều)
BC = AB (vì ABC đều)
Góc MBC = góc DBA (cùng cộng DBC bằng 60 )
Mà MB = MD (gt) MC MB MA
b) Xác định vi trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất
Ta có MA là dây cung của (O; R) MA 2R
MAMB MC 4R
(không đổi)
Dấu “ =” xảy ra MA là đường kính M là điểm chính giữa cung BC
c) CMR: 2 3 S 2S '
MH MK MQ
3R
AB.(MH MK MQ) 2(S 2 S')
Vì AB là cạnh tam giác đều nội tiếp (O;R)
2 3(S 2S ')
3R