Tuyển tập 90 đề ôn tập thi thử Quốc gia môn Toán (Tập 3): Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Tuyển tập 90 đề thi thử Quốc gia môn Toán (Tập 3), phần 2 giới thiệu tới người đọc phần dự đoán các đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo, giúp bạn đọc có những định hướng ôn tập một cách tương đối chính xác và có thêm những kiến thức bổ ích, có hệ thống cấu trúc đề thi Đại học các năm.

Tuyển tập 90 đà thì thứ đại học, cao đẳng môn Toán ¬ Lovebook vx 1) Có thế chứng mỉnh AI L MN như sau:BC 1 (SAK) = MN £ (SAK) => MN 2 AL

2) Cé thể làm theo phương pháp tọa độ:

Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho

K(0;0;0),D (5:0;0).c(-$;0;0) alo -Ẻ, 0) ,§ (s 18, h) trong đó h là tọa độ đài đường cao SH

của hình chóp S.ABC

Câu IV.2a,

Cách EPt đường thẳng (P)chứa đường thẳng A; có dang:

a(x~ 2y +2—4) + B(x-+ 2y— 2244) = 0 (d2 + B2 0)

<> (a + B)x—- (2a—~ 2B)y + (a ~ 28)z—4a+ 46 z Ô

Vậy Tp = (d + [; —2œ + 2B; a — 2B).Ta có > = (1; 1;2) II Asvà Mạ(3;2; 1) € Ad ^À

c

Cach IL Ta cé thể chuyển phương trình Á¡ sang dạng tham số như sau: aye

Tir ptA, suy ra 2x — z = 0, Đặt x = 2t = buf : ae 2=> My (0; AOE ay i tị = (233; 4) Il Ay

| ổ tìm tọa đệ điểm in € Á¡ bằng cách cho x = Ö sẽ y = x2 = Ô za ©

vành =([Ƒ2 1 ;| 1 11,|1=2D) = @;a3) ros

ta cé i, = (1;1;2) i “Th đó ta có véc tơ pháp tuyến ta mp (Đ)là: ñ Hp = fii,, G2] = (2;0;—1,

Vậy pt mặt phẳng (P)đi qua M; (0;—2; 0)và + ñ LÀN Ÿ2;0;—1) là:2x — z = Ú,

Tuyén tân 90 đề thi thir dai hoc, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

TH1: Nếu A và O khác phía đối với B = xị = 1 + 2ã 5 x ì Pad

Tuyển tập 90 dé thi thir đại hoc, cao đẳng môn Toán _Lovebook.va

_ DE THI TUYEN SINH DAI HOC, CAO DANG KHOI A ~ 2003

Cau 1: Cho ham sé y = aa (1)(m là tham số)

1) Khảo sất sự biến thiên và vẽ đồ thị ham sé (1) khim = —1

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cất trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ đương,

1) Cho hinh lập phương ABCD.A'B'CDP' Tính số đo của góc phẳng nhị ait ACD

2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông gốc Oxyz cho hình "chữ nhật ABCD A'B'CD' có A tròng với gốc

của hệ tọa độ, B(a; 0; 0),Đ(0;a; 0),A'(0; 0; b)(a > 0,b > o đồi là trung điểm cạnh CC

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'Mtheo a và b @

1) Tìm hệ số của số hạng chưa xŠ trong khai tri nữị thức Niuton của |~ + VxŠj ,biếtrần i Ề

CRT ~ CR.¿ = 7(n + 3)(n kế? nguyên dương,x > 0,CR là số tổ hợp chập k của n phần tử)

zv3 & oO

d 2) Tính tích phân: I= ị eo)

Tuyển tập 90 để thi thir dai học, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

LỜI GIẢI CHITIẾT

Câu 1.2,

Đô thị hàm số y = Sx cat truc hoanh tai 2

điểm phân biệt có hoành độ đương ptf(x) = mx* +x+m=0

Tim m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1 ‘Ne

~ HD: Xét phirong trinh-y=0 (x — -4)x®-—= (3m-+-.3)x—.rm.= 2] = 0 => xét nghiệm của phương Su ¡025 5x

i

4 By = vt - 1 te ƒ | ï me

Cach 2: Dat f(x} = x* +x + 2 = f(x) 2 min f&) tÍ 7) >

240

Tuyẫn tập 90 đề thi thir dai hoc, cao dang won Toda _Levebook, ve Trường hợp này hệ vô nghiệm

\

Nói cách khác t— cha t =at~ 1 = 0luổn có 2 nghiệm phân biệt, ay

Sai làm thứ hai xảy ra khi giải phuong trinh x? ~ 2x + 1 = 0 Một số thí sinh cho sings b +e 0 thi

xX, = Lx, = : (điều này chỉ đúng với phương trình bậc 2 ax? + bx +c= 0 (ag) ‘

Với phương trình đại số chắc chắn có một nghiệm bằng 1, ngoài ra có thévbn nghiệm khác Để tìm các nghiệm khác cần phân tích đa thức đó ra thừa số bằng cách thực hiện phép chia đa thie pho (x— i) oo

Một sai lầm nữa cũng đễ mắc phải ở đây là nhiều bạn sẽ cho ko phương trình x2 + x + 2 vô nghiệm nên xt ob + 2 we

2 Day ự2 ~ + 2 oe Dye mz ye om Các bạn luyện thêm bài sau: a) {com 5 siny _ : z ỳ b) fe ee OY 5 4y

1) Cách 1 Đặt AB = a Gọi H là hình hiếu vuông góc của B trên AC, Ag |

suy ra BH 1L A'C,mà BB L (ach BD 1 A'C,do dé A’C 1 (BHD) TT, be

Xét AA'DC vuông tại Dahon là đường cao, Ta có DH.A'C=CD.A'Ð B les fh TU f

Mặt bác 2a? = RD2 = BH? + DH? — 2BH DHcosBHD = = th ~ 2S cosBHD `

Do đó cosBHD = -5 => BHD = 120°,

Cach 2.Ta cé BD 1 AC => BD 1 A‘C (dinh ly ba dong vudng géc)

Tương tự BfC 1 A’C = (BC'D) 1 A'C Goi Ha giao điểm của A'Cvà (BC’D)

=> BHD ia góc phẳng của [B; A'C; DỊ,

Các tam giác vuông HA! B, HA!D,HA/C'hằng nhau = HB = HC! = HD

=> Hla tâm ABC'D đều = BHD = 120°

241

Tuyễn tập 90 đề thủ thứ đợi bọc, cao đẳng môn Toán oe Lovebook.vn

2) a) Từ giả thiết ta có: C(a;a;0); C'(a;a;b) => M (a; ais), , >

Vậy BŨ = (~a;a;0),BM = a tay , = (0a; 2)^ = [BB,BMI =(S + 2 2 , | 8' : H ⁄⁄,

Kí hiệu h,hạ,hạlần lượt là khoăng cách từ các điểm M,Œ,C' đến mp(BDA') thih = $4 ay

* * + # f = ab ah 2 4, O

b) M&t phang (BDM)cé véc tophap tuyến là = [BD, BM] = (=: zig ) Se

oY .Mặt phẳng (A'BD) có véc tơ pháp tuyến là te = [BD,BA]=Gbraba) `:

inh tich phan I js

242

Tuyén tap 90 dé thi th dai hoc, cao đẳng môn Toán | Lovebook yx

far Pos [yt de 242 Zhe we vt ee ee oe oe

Vay P k “ath tắt h oe hevra+ C+ 5+)

‡

t> le+y+gt+(S+)

Œ+y+2)\' cả

Đặt QŒ) = 9t bì oe nã 9 a 0,v e (0; |= (t) gidm tra (0:5 t 9 Q(Ð giảm trên ra]

Dấu " =" say rakhix=y= z= 5

Ngoài cách giải của Bộ, các bạn tham khảo bài viết của thầy Đặng Thanh Hải và Nguyễn Anh Dũng trên báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 7/2003 sau:

Giả thiết của đề bài gợi ý có thể sử dụng các bất đẳng thee(BBT) sau {chỉ xét khi x, y, z >0)

Dxtyt+2stl

243

Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoe, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

a 2) œ+y+2)( + 5+ =\> 9

Đẳng thúc xây ra khi x = ÿ = ?

Chứng minh BĐT bên trái dựa vào BĐT cô-sỉ ,Bu-nhi-a-côp.xki hoặc khai triển rồi sử dụng BĐt Cô-si cho hai số

4) (a? +b?)(C? + đ?) > (ac + bở)?

b Đẳng thức xảy ra khi : =q

Chứng minh (4) bằng cách khai triển rồi sử đụng bất đẳng thức Co-si cho hai SỐ:

Cách 2; Đặt vế trái của (5) là T, bình phương T và sử dụng (4) được

T? > at +.a3 + af? +b? + b3 + bg + 2(a,az + bybz) + 2(a1a3 + bibs) + 2(azas ~ pads)

6) Đặt vế trái của (9) là S thì (9 œ S > VB2 Ta thử tìm a trixy.z dé cé đấy Đằng xây ra ở Œ

1 82

Trong quá trình giải cần luôn chú ý nếu sử dụng BĐT nào thì dấu bằng của BĐT xây ra đều phải thỏa mãn (6) để đảm bảo

¬ sẽ có đấu bằng xảy ra ở (9 tet be ne or O

Xin trình bày tôm tắt một số cách chứng mình BĐT(®) _`

Hướng dẫn giải 1: sử dụng BĐT Cô-sỉ Bu-nhi-a-côp;XBi

oS Cach 1 a: S¥ dung (4) cé ,

(BIS > ety +2) + Bt ns (xt ba) pt ee 2 80 = 82 ety aT oyyen y Xtytz Xty+tz~ ~

Trong các biến đối trên đẳng thức xây ra thì đều thỏa mẫn (6)

Tuyến tập 90 dé thi thir dat học, cao đẳng môn Toán - *aveboal,vn

lax? teat lay? tat lẽ + >va+8ïb

Bạn hãy tổng quát hóa đơn đối với xŸ + xổ + + Xạ < 1

-Hướng dẫn giải 2: Sử dụng BĐT Co-si cho nhiều số :

pa SP Sen xay xe "* ” g1y2 81x2” ”““ |(81x2)81” “Ug8ixs = ^À

f

Đăng thức xây ra khi x? = Spa PX théa min (6) aad

Tương tự đối với y,z sử dụng BĐT Cô — si cho 3 số và (3) có: we

Đăng thức xảy khi: x2 = v2 LS? o> x y=z (9)

Cách 3a: sử dụng BĐT CỀŠsi cho hai số và (1), (2) có

R= suey gre toe 3 ~E0G+y +2)? > 18G +y+)( + +t +=) ~80 > 162-80 = 82

= (8), Digg Qi a cry +2) = 4! += ; kết hợp với (9) thi thỏa mãn (6)

Cách 3& Đặtt = Œœ + y + 2?sử dụng (0,2) có:

REtt——a(t+s}+—2 2+ 80 = 82 = (8)

`

Đằng thức xây khi t= + œ t2 = 1, Kết hợp với (9) thì thỏa mãn (6)

Cach 3c: Dat a =2—x,b =;ny,C = om Z, sử dụng (1), (2) có a + b + c > 8 dễ thấy x? +3 = a° + 2.Tương tự với y, 2 sử dụng BĐT (5) có:

"Tuyển tập 90 đề thủ thứ đại học, cao đẳng môn Toán Su HC " Lavebook.vn

DE THI TUYEN SINH DAI HOC, CAO DANG KHOI A- 2004

(1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B(—V3; —1) wo trực tâm và tọa độ tâm

(2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đầy seb là hinh thoi, AC cat BD tại gốc tọa độ O

Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),S(0; 0; 2/2} Gọi M là trung điểm chad S SC

a) Tinh góc và khoảng cách giữa hai đưởng thắng SA, BM gq

b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SP tại điểm N Tinkythe tích khối chóp S.ABMN,

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mốp/iếu kiện cos2A + 2/2 cos B + 2V2cosC = 3,

Tính ba góc của tam giác ABC, Kor

Tuyén tập 90 dé thi thie dai học, caa đẳng môn Toán Lovehaok,vn

LỜI GIẢI CHÍ TIẾT

Gầu 12

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=mh:

“Se i =™ o> x4 ++ (Am — 3)x+ 3 — 2m = 0 (+)

Với điều kiện (**) , đường thẳng y = mì cất đồ thị hàm số tại bai điểm A và B có hoành độ x;,x; là nghiệm của phương trình (9,

+ Nếu x > 5 thi bất phương trình được thỏa mãn , vì vế trái dư phải âm

+ Nếu 4 < x < 5 thì hai vế của bất phương trình không âm n BNN phương hai vế ta được :

2G — 16) > (10 — 2x)? em x? ~ 20x + 66 < 0 © 10x đ3# < x< 10 + V32

Kết hợp với điều kiện 4 < x < Sta 0610 = V34 < x ZlÄ Đáp số x > 10— v34

CÂuIL2 Biều kiện: y > x và y > 0, oF Ờ

So sánh với điều kiệm Ea được y = 4, suy ra x = 3 (thỏa mãn y > x)

Vậy nghiệm clade phuong trinh 1a (3;4)

Cau HEL 2“

+ Đưng thang qua O, vuông góc với BÀ(V3; 3)có phương trình Vẩx + 3y = 0,

Dadi thẳng qua B, vuông góc véi OA(0; 2)có phương trình y = —1

(Đường thẳng qua A, vuông góc với BÕ(V3; 1)có phương trình Vấx + 3y — 2 = 0

Giải hệ hai (trong ba)phương trình trên ta được trực tâm H(Vỗ; ~1)

+ Đường trung trực cạnh OA có phương trình y= i,

Đường trung trực cạnh OB có phương trình Vẩx + y +2 = 0

247

Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao ding m6nTodn k0W€b00ïVW

trình ¥3x + 3y = 0

S(O; 0; 2/2)

trình trên ta được tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác OAB bà 53; 1)

Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8

Vậy xề chỉ có trong các số bạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là Có C?, Có Cá

Vay: ag = 168 + 70 = 238,

CauV,

Gọi M = cos2A + 2V cosB + 2V2 cósC — 3 = 2cos” Á — 1 + 2VB.2 cos cosy ~ 3}

248

Tuyén tap 90 dé thi thir dai học, cao đẳng môn Toán Lovebook vn

Dosin— 2 > 0,cos <1 nên M < 2cos”A + 4V2sin5 — 4

Mặt khác tam giác ABC không tù nên cos Á > 0,cos? Á < cosÁ Suy ra

Bài luyện tận 2: Cho tam giác ABC céA = Max{A, B, C} hãy tìm giá wahoo nhất của biểu thức :

Tuyén tap 90 dé thi thiz dai hoc, cao dang mon Toản ¬ _*ovebook.vn

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHỐI A - 2005

Câu 1:

i

Goi (C,,) 14 dé thị của ham sé y = mx + = (") Gm id tham s6)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số {(”) khi m = #

2) Tìm m để hàm số () có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C„) đến tiệm cận xiên của (Cm)

2} Giai phương tì trình cos* 3xcos 2x ~- cos? x= 0

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chơ hai đường thẳng ÁN

dị:xy =0 và dạ:2x+ty~x1<= 0, on Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCP biết rằng đỉnh A thuộc đị, đỉnh C thuéc da vaght aio B, Ð thuậc trục hoành,

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng % ”

K1 y+ỏ 3 en

1 2"

a) Tim toa 46 diém I thuéc d sao cho khoanh cach te 1 dén ma lăng (P) bang 2

b) Tim toa dé giao điểm A của đường thẳng d va mat phaner } Viết phương trình tham số của đường thẳng A nằm

2} Tìm số nguyên dương n sao cho oS

Chiat _— 2 2cha + 3 2? Cổ và —_— 4.2? Cổ vi + ver + (2n + 1) 2 nc?n = 2005

Tuyén tip 90 dé thi thir đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook vit

Theo giả thiét: 4[4(1 -m)° + (1 -~m)] = 16,65 « 4(1 ~ m)? + (1 — m) — 260 = 0 © „e3

Đề đơn giản hóa biểu thức tính toán ta đã sử dụng phép chia đa thúc y cho y’ oo

= Đây là một phương pháp cơ bản thường sử dụng trong các bài toán hàm số svacacia đề thi đại học Gơ sở lí thuyết của

Giả sử f() là hàm số bậc 3 có hai điểm cực trị A(a;f(a)) và BŒ;f(b)) Khi dort f(x) = (x— c) P(x) + mx + nthi y=mx+n

là phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị của đồ thị hàm số ae

That vậy: vì A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ra)=rQuất Do đó:

fan mh a Bà A,B € đường thẳng d:y = mx+n „2

Để ứng dụng tốt phương pháp này, bạn đọc cần luyện tập tốt phép chia đa thức

2V3sinxcosx ~ (2 cos? x — 1) + 1~ (V3 sgh mes ũ

—Bai đầu nhìn vào các đấu hiệu: sin 2x,cos2x, v3 ta đễ bị sa đà vào việc cố đưa về dạng

sin (2x _ 2) tuy nhiên số thực 1 cân trở ta, khiến cố gắng biến đổi không có kết quả => nghĩ cách khử 1 ải

Điều đó dẫn đến một cách khác tự nhiên hơn để làm bài này:

pt © 2V3sinxcosx + 2 sin? x =v3(sinx+ VScosx) « (2sinx— V3)(V3cosx + sinx) = 0

Giải cũng ra nghiệm tương tw

—Bài này cũng có thế sử dụng phương pháp đoán nghiệm để giải (nhân tử (cos X — 2 quen thuộc)

Xem thêm phương pháp đoán nghiệm giải phương trình lượng giác ở đề 21

Câu 1H,

Hệ phương trình tương đương

251

| Tuyén tép 90 dé thi thir dgi hoc, cao ding mon Toda _ovebook.vn

Véia = 3Ì b= “3 thay vào hệ phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Đây là một bài toán khá hay Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, tác giả giấu ban chất bài toán rất khéo léo Cần phải có tư duy tốt mới có thể giải được Nên ghí nhớ bài này như một kinh nghiệm giải toán, " `

- Thay vào (1) ta có : to} P ace} 3) etait

Nhân xét Một số lưu ý khi sử dụng phương iáp tích phân từng phần trong trường hợp tương tự:

- Bậc của PŒ) càng cao thì số lần lấy pen phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của PQQ cao nhất là 2 thì ta phải lấy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết

- Tổng quát : Nếu gặp phải cắc tích phân có dạng : P{x}sin” axdx v P(x}cos"axdx Ta phải sử dụng các công thức hạ bậc:

ae _2 l-cos2x ; l+cos2x 3 3sinx—sin3x 3, 3cosx+cos3x

Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm được nhờ các gợi ý đã biết,

Bạn đọc có thể xem thêm các trường hợp sử dụng phương pháp tích phân từng phần ở đề 26

252

Tuyển tận 90 đề thị thử đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook vit Câu V,

Gọi M là trung điểm của AB, ta có:

nên H là giao điểm của MN và DE Gọi K là giao điểm của AN và DE.©>

Kẻ KP 1 SD <> KP 1 AN nén KP là đoạn vuông góc chưng cia sit ÁN Điều “gặp may" lớn nhất của ta ở bài này là tìm

Phân tích: nghĩ cách đồn biển vật biểu thức đối xứng 3 biến nên nhiều khả năng sẽ đưa về biến mới là một biểu thúc đối

Lại có hằng đẳng thức¿ + b)(b + ¢}(c + a) = (a +b + c)(ab + bc + ca) - abc

— đồn về biến là on +b + cnhư sau:

Ta có : (a +b)đết c)(c + a) = (a + b + ©(ab + bc + ca) -

Do tye > 3(xy + yz +) => (ab + bc + ca)? > 3abc(a + b + c)

=> al: Phe + ca 2 /3(a+b+d)

Đo đó f(Q đồng bién trén khoang [3; +00) => f(t) > f(3) = 44

Vậy giá trị nhỏ nhat cha Pla 44 khia= bee = 1

Nhân xét tư duy đồn biến- khảo sát hàm đã trở nên quen thuộc trong các bài bất đẳng thức trong kì thi đại hoc

Cau Vila,

253

Tuyén tap 90 dé thi thir dei hoc, cae dang min Toán ¬ , _ Lovebook.vn

A

Gọi G 14 trong tam tam gidc ABC Do ID 1 AB va EG }! AB nén ID 1 GE, mat khac ID L

DE nén [14 trwe tam tam piac DEG => EEL DC ==>

phương trình ĐC qua M và vuông góc với BÍ là: x = 3

Gọi D(3;a}.Ta cé DI = g7 DN = (—6; —a}

Theo giả thuyết suy ra

DILDN = 0 © -4-a, 3 a (} am=e=—= 4

_x—2y+3=0 PRAT) ash suy ra DER) wie

12x + 27 — 89 = 0 °° - 125 hông thỏa mẫn UN +

Nhân xét Đây là một bài toán rất hay và khó, có sử dụng nhiều tiễi thức hình học phẳng Nếu không nằm vững các kiến

thức hình học phẳng này thì rất khó để làm được bài này tiệo “chiều xuôi", khi đó sẽ phải đặt Ẩn là tọa độ các diém A,B,C,

lập hệ phương trình và giải ra nghiệm, tuy nhiên tính qgần sẽ rất phức tạn và đễ nhầm lẫn

Trước tiền ta phải để ý rằng A và B đều Ha

Do A, BE (S) va AB = V6énén ban kinh -đuờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

AB

(vi diéu kiện ZACB = 30° kha fee nen ta phải chuyển về dạng này đễ xử lý hơn)

Phương trình mặt phẳng Ti aŒœ%— Ù + bứ — 2) + cz = 0, (a? +b“ + c2 # 0)

Với a = 7b, c = -5b, phương trình mp(ŒP): 7x + y - 52 - 9 = Ô

Nhận xét mấu chốt ở bài này là chuyển được điều kiện ZACB = 30° về đạng r = V6, phần còn lại không

quá khó khăn

Cau Xa

Phân tích: đề bài cho các điều kiện khá dài đồng, ta cần đưa chúng về đạng ngắn gọn để hiểu hơn,

+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong va Dat thang trong một vận

là như nhau và bằng 0,5

+)" khi Dat thắng được 4 vấn và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng 1 vần nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 vần nữa mới đạt được

254

Tuyển tập 90 để thi thik dai bọc, cao đẳng môn Toán Lovebook.vn

Giất

Để xác định xác suất thẳng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng", Để Phong có thế thắng chung cuộc thì anh phải thắng Dat 3 van liên tiếp (vì Đạt chỉ còn 1 ván nữa là thắng) Như vậy xác suất thẳng cuộc của Phong là:

Nhận xét: Một bài toán xác xuất hay, điểm raấu chốt là phải xác định được phươn p lộ "chơi thêm các ván giả tưởng”, sau đó mới liệt kê các trường hợp xây ra và sử dụng các công thức tính xác xuấÊ (sống, nhân) tính ra đấp án, Đây là phương pháp tính xác suất thường được sử dụng trong một lớp các bài toá xác suất trò chơi, Bạn đọc có thể làm thêm

a) An va Binh thị đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào tiễng trước 3 sóc sẽ giành chiến thắng chung cuộc, Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa) Tính x4c sudtQn thang chung cuộc

b}) Hai team Trường Sa và Thái Bình thi đấu AOE theo thế thúc chạm 3 cham 4 nghĩa là team Trường Sa thắng 3 ván trước thì Trường Sa thẳng cuộc, team Thái Bình tiếng 4 ván trước thì Thái Bình thắng cuộc (không có ván hòa) Tính xấc suất thẳng chung cuộc của team Trường giết xác suất thẳng mỗi ván của họ là 0,4

Phân tích: Ta phải tìm cách khai thác điều tiện bán kính đường tròn nội tiếp Đặc điểm của hình elip là tổng khoảng cách

từ 1 điểm bất kì đến 2 tiêu điểm không đối

— chu vi cla AMF,F, không đất» khai thác thông qua công thức diện tích: r = = (p 1a nira chu vi A)

Vì M thuộ&(Ế) nên m = 0 Vậy M(0; 3) và M(0; -3) là hai diém théa méin bai ton

: bài toán khai thác một kiến thức hình học phẳng khá thú vị của hình elip, đòi hãi học sinh phải có tư duy linh

hoật và óc sáng tạo hơn là chỉ biết làm bài theo dạng có sẵn

Câu VIib

Sơ đồ giải:

ABCD là hình thang cân

CFD Đường thang AB ©— [an đi qua À

Be=ABe= Độ dài đoạn AB ©- S,pcnp = 27

Xp > Xa Duong thang CD qua M(2; -1; 3) c6 véc to chi phuong tl = (2; 2;¡ 1)

Goi H(2 + 2t; -1 + 2t 3 + Ð là hình chiếu của A lên CÐ, ta có:

Tuyển tip 90 dé thi thử đại học, cao đẳng môn T\ oán Xovebook,VH

AB Dat AB = = (237 2t; =+ t> 0Q > x4) = t= a= 2 => AB = (4;4;2) => BC3;3; 2)

2, vac hiya cui ei oe

Bai luyén tip: Che ham sé y = ST

Chứng mính rằng tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên đồ thị đến hai đường tiệm cận của đồ thị có giá trị không phụ

thuộc vị trí của điểm M

256

Tuyển tip 90 dé thi thé agi học, cao đẳng môn Toổm | Xonebook,vn

1) Quy về phương trình bậc 2, bậc 3, đối với sin hoặc cosin "` góc nào đó,

2) Biến đổi phương trình về dang tích ne

any, Viéc gidi PT lượng giác có hai hướng thường gặp sau:

Các số hạng cos° 3u, sin? 3u thường được hạ bậc để đưa về cos 6u rồi sau đó dùng công thức góc nhân ba để

Bài hyện tân: Giải phương trình: sin? 3x = cor +3

Vi Aed, => A(t;t) cố

Vi A va C đối xứng nhau qua BD Des D thuộc Ox nén C(t; +t)

Vi Ced,nén2t—t~1= 0$ t= =1 Vậy A(1;1),CŒ;—1)

` Trung rung điểm của điểm của A Ød.nn AC] ;0) 4 tam của hình vuông nên hình B= =I

ce Koc oe" Vp =IA=1

Tuyển tập 90 đề thì thử đại học, cao đẳng môn Toản ¬ _ #owebook.vn

VIA thuộc d nên A(1 ~ t3 — 263 40) | |

Ta có Á thuộc (P) €* 2(1 ~ 9 + (3 + 20 — 3(3 + 9 +9 =0 €Œ> te 1,

Vậy Á(0;—1; 4)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến h=(2;1;—2)

Đường thẳng đ có vecto chỉ phương =(—l;2;])

Vì ACŒ)và A L đnên Á có vecto chỉ phương u=[n;u]=(5;0;5)

` 2n+I1 = ơ ‡ 3 3 2m thy 2n+E

Ta có: (1+) =C) +E), XC XỔ tO) x tt OK VxeR

Dao ham hai vé ta cé:

(2041) +x)" = Ch, +202, x 43C), xt + (2n + DC x, VxeR

Thay x = ~—~2 ta có:

(Ch 2.202, +3.2?C2 ond 2n4† —4.22C7 ra t(n +2 C2? =2n+], an

Theo giả thiết ta có 2n + 1 = 2005 suy ra n = 1002

Ngoài 2 cách trên, chúng ta có thể sử đụng cách sau để giải quyết bài toán:

Ta xét s6 hang tng quat: G+ DCS

Cé: G+ CHE = (1+ DCH, trong dé i,k 14 cdc sé nguyên, không âm (các bạn tự chứng mình

Từ đó: C},.¡ — 2.2022, + 3.22C§nv¡ — 4.22G2.¡ +n + (2n + 225C P2}

258

Tuyên tận 96 đề thị thit đại học, cao đẳng môn Toán Lovebook, vi

Ta xét da thức PG) = (x + 1)", rồi khai triển nhị thức Newton, ta được: S = J P(x}dx \

3) Với cách giải thứ 3, chúng ta không càn phải sử dụng đến kiến thức đạchaàm, hay tighhphan, chỉ thuần kiến thức của giải tích tổ hợp, Mấu chốt để sử đụng thành công cách này là các em phải tìm được Bg he tổng quát trong dãy và đưa vỀ dạng

Bài luyện thêm: Tính tổng (giải theo 2 cách) | 7 và :

Ap dung két qua trén ta cé: &, cr

“` 1 ne 2x+y+z 4\2x y+z Nil 2x 4(y 2 8\x 2y 2z

Ngoài cách của Bộ Giáo Dục ra, các em có thể làm như sau:

1 1 4 Cách 2: Ấp dụng BĐT = +— > ——= và BĐT cô — sĩ cho các số đương ta có

Tuyển tập 90 đỀ thị thit dai học, cao đẳng môn Toản -_ _*⁄0vebook.vn

Te (3), suy ra , Uy ty tz x+2y+z x+y+2z” + — 4 fey | | ` Cách 3: Ấp dụng BĐT Cô-5¡ cho 4 số dương hoặc( BĐT Bu-nhi-a-côp-xk `

Tuyển tap 90 dé thi thir dai hoc, cao ding mbn Todu 7 Lovebook.vn

DE THI TUYEN SINH DAI HOC KHỐI A - 2006

PHẦN CHƯNG CHO TẤT CÁ CÁC THÍ SINH

Câu Í (2 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x” — 9x” + 12x— 4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2l? ~ 9x? + 12|x| =

2 Viét ph lết phương trìn \h mặt phẳng c ứa Á'C và tạo với mặt phẳng cu góc trình hứa A’ ặt phẳng O + œ biết c biết cos œ = “ex Ve

1, Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C va MN,

—— nan Oh Aa

2 Vcos2x + 4sin? w a2 2.Cho haisé thucx # 0,y # 0 thay déi va safe mãn điều kiện: (x + y)xy = x*® + y* —xy |

vw

Tim giá trị lớn nhất của biểu thức A = 5

PHAN TY CHON: Thi sinh chọn chủV2thoặc câu V.b

Câu V.a Theo chương trình ng phân ban (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:

2 duxty + 3-90, doix—y~ 4 = O;dyix—2y = 0

Tim toa dé điểm hầm trên đường thẳng d;ạsao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d; bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thiyế d;

1 Tính tích phân: Í =

Sử 1 8

2.Tìm nu của số hạng chứa x?® trong khai triển nhị thức Niutơn của (= + z7)

paging

Cầng + haga Fn gate tCEiyg = 27° — 1 (nm nguyén dwong, Ck 1a sé td hop chập k của n phần tử),

Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)

Tuyển tập 90 đề thí thử đại học, cao đẳng môn Toán , Lovebook vn

Sự biến thién: y"=6(x’ —-3x+2),y'=0<>x=1x=2

Bang bién thién:

nhan Oy lam truc đối xứng - |

Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ mina

Phương trình đã cho tương đương với:

2(sin® x + cos® x) — sinx.cosx = 0

Tuyển tập 90 đề thì thử đụi học, cao Bằng môn Toản _— *onebook.vn

Điều kiện: x>—~,y>—Íxy>0

Cách 1;

Đặt t=-xy (t> 0) Từ phương tình thứ nhất của bệ suy ra: x+y=3+t

Bình phương hai về của phương trình thứ hai ta được:

Reg med at ox 1 ae ay + yz axes : ——= =

Bài 2: Giá sử x fighiệm của hệ: es +VẺ +22 = 2-CMR: sẤ YZ 3

Với cách gội #Œ2,tcó thế khá quá tho các hướng sau:

Tuyén tập 90 đề thì thử đụi học, cao đẳng môn Toán towebook.vn

Do đó, phương trình của (Q) có đạng: ax + by + (a + b)z— (a+ b) = 0

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n=(a;b;a+b), mặt phẳng Oxy có vectơ phap tuyén k =(0;0;)) ẹ `

Véi a=—2b, chonb = ~1, dwoc mat phing (Q,):2x~-y+z—-1=0 ^„

Voi y=1, chona = 1, duoc mat phang (Q, }:x—2y-z+1=0 UN * ; %

> ¥cos? x+4sin? x 9 Vi+3sin’ x Jiessin’x

Dat t=1+3sin? x=>dt=3sin2xảx `”

A=a’ +b’ =(a+b)(a’ +b’ ~ab)=(a+by

Từ (D suy ra a+b=(a+b}” —3ab

Tuyén tép 90 dé thi thir dai hoc, cao ding mon Todn Lovebook ve

;

Với Xe =2 thì A =l6 Vây giá trị lớn nhất của A 1A 16

Ngoài cách của bộ giáo dục trên, chúng ta có thể làm theo 2 cách sau:

Cách 1: DatS = x + y,P = xy, Điều kiện với S,P là S2 — 4P > 0 Dễ thấy (x + y)xy = x? + y2 — xy > 0

niên x + y và xy cùng đấu, Sử dụng giả thiết trên ta có:

Ta dyuge tap gia trị của A, từ đó SU# he trị lớn nhất và nhỏ nhất của A

2 Với dạng toán “Cho các số stg y théa man f(x,y) = g(x, y) Thm giả trị lớn nhất, nhỏ nhất của biếu thức A = p{x,y) Trong a6 f(x, y)va g(x,y) ania các biểu thức đẳng cấn đối với x, y" có thếp lãi bài toần bằng cách sau:

Với y = Ũ ta thet true HEB

Nếu y # 0, dat x = te Thay vao gid thiét f(x,y) = g(x, y) ta sé tinh due y, x theo t Bidu dian A theo t TY đó tìm được tập giả trị của A ;

Với ÿ=—11 được điểm M(-22;~—11)

Với ÿy =1 được điểm M(2;1)

Câu Va, 2

+ Từ giả thiết suy ra Côn + Ca beet Co 2 I ti 20

265

Tuyển tập 90 đề thị thứ đại học, cao đẳng mon Todn — 7 Lovebook.vn

Từ khai triển nhị thức Niuton của +1” suy ra

Cone + Cont beet Che ant .c ax (I + )"= (3)

Nhận xét: Với bài toán tìm hé s6 cla x9 trong khai triển P(x) = (ax? + bx)", cv

trong đó m,k, q là các số nguyên cho trước,n & N*, a

it ` *»

Khai trién P(x) = » Clan-ipxmn-mi+d, Dẫn đến mn ~ mí + ki = q ˆ ay?

"Fa tìm được L Suy ra hệ số của x8là Cha Thi, 2

1 Bài 1: Khi khai trién P(x) = (3+ ¬ ta duge P(X) = = oy axons +a, xẴn~ #9 +,

Biết rằng 3 hệ số đầu aa,a;,az lập thành 1 cấp số seg tính n và tính hệ số của số hạng chứa xế,

ĩt

2

Bài 2: Tìm hệ số không chứa x trong khai lui nh thức Newton của (3x? + =)

Biétring C,, + Ch +C2 = 121 (n neta ckla sé té hop chap k cla n phần tử,

Tuyển tip 90 dé thi the đại học, cao đẳng môn Tuần Lovebook.vn

4

là hình chiếu của B trên dung thing A’D

Do BH.1.A'D và BH L AA' nên BH L(AOO'A?

T tuyển tập 90 dé thi thir dai học, cao đẳng môn Toản _— Lovebook va

PHAN CHUNG CHO TAT CA CÁC THÍ SINH

2 Tim m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành: một

tam giác vuông tại 0

- £

1.Giải phương trình: (1+ sin’ x)cosx + (1+ cos* x)sinx = 1+ sin 2x on

2 Tìm m dé phwong trinh sau cé nghiémthwe: 3V¥x — 1 + mvx + T= 44x? -1 ` oe

2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+ x55 0 và cắt hai đường thăng dụ, dạ

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các duéng: y = (Ce + 1z ke = (1 + 6 )X

2 Cho x, y, z là các số thực đương thay đối và thỏa mãn điều vế xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa — biểu thức:

_ x*(y + 2) y?Ge+ z) z2(y +x)

‘yf ¥ + 2ev2 \ \ Bick ava xvx + 2y/¥

PHAN TY CHỌN: Thí nh chỉ được chọn am cfu V.a Secu Vb

C4u Va Theo chương trình THPT không phân ban G điểm) |

1 Trong mat phang véi hệ toa dé Oxy, che-faiin gidc ABC cé A(0; 2), B(~2; —~2) và C(4; =2), Gọi H là chân đường cao

kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm cfg ec cạnh AB và BC, Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H,M, N

2 Chứng mịnh rằng: sơ of ith +s : Q Cên C + + Cit = eo :

Cn là số nguyên dương GkK là số tố hợp chập k của n phần tử)

CAu Vb Theo chương truiấ"ÈHPT phân ban thí điểm (2 điểm)

1 Giải bất phương trình: 2logs(4x — 3) + logs(2x + 3) <

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SÁP là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông gốc

với đây Gọi M, N, P lần Hượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thế tích của

khối tứ điện CMNP

—

268

Tuyén tận 90 đề thị thử đụi học, cao đẳng môn Toán : Lovebook.va

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu L2

;_ X°+4x+4—~mŸ

(x+2

Ham s6 (1) có cực đại và cực tiểu

<> g(x) =x? +4x+4~—m" có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho tương đương với `“

(sinx+cosx)(1+sinxcosx) =(sinx+ cos)"

Tuyển tập 90 a6 thi thứ dai học, cao đẳng mon Toán _ ; ¬ _ #*ằoUwebook.vn + d, qua M(O;l;—2) có véctơ chỉ phương u,=(2-bD,

d, qua ÑN(-1;1;3) có véctơ chỉ phương u, =(21;0)

1, Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho ay

(e+l)x=(+e”)x<>(6e” -e)x=0 >xe= =0 hogs = =]

Dién tich cha hinh phing cantim la - G3

S=[ ke" ~ex|dx=e[' xdx— red" ,

oS

Ta có : ef xdx= ef =8 rhe = xe" | -[edx= e~e* |=]

Vay =—> 5 Kavat) vê

2.Ta có : vqupmink- mange y (z+x)2 ayy 22(x+y)2 2evz

Đặt a=xvx+2yJy bay Jy +2øaÍz,c=zxlz +2x¬Íx

Suy ra xf = Aet an 2b y fy _fatbo2e |p Abt 2a

Tuyển tập 90 dé thi thir dat hoc, cao đẳng mon Todn Lovebook va

(Do £48 TH boca bea 2 Bag tương tự 2+} € 23) boca

Dau “=" xayra <> X= youz={

271

Tuyển tập 90 dé thi thir dai hoc, cao đẳng môn Toán MẮắẮắ ¬ Lovebook.yn

Cau V.b2

Gọi H là rung điểm của AD

Do ASAD đều nên SH_L AD

Do (SAD) (ABCD) nên SH (ABCD)

Suyra BP.L(AMN) =>BEFP L AM

Ké MK | (ABCD),K e(ABCD) Tacé:

Tuyển tap 90 dé thi thứ Gai hoc, cao đẳng trân Toán Lovebook va

ĐỀ THỊ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A - 2008 PHẦN CHUNG CHO TẤT CÁ CÁC THÍ SINH

Câu L (2 điển) Cho hàm số y- mÉ +(8m ~2)x~2 (1), véi m 1A tham số thực,

x+3m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi ra=1

2 Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450,

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và dwonpthang di — === : = 2 1 2

A

Ả Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đườnghẤng d

2 Viét phương trình mặt phẳng (œ) chứa d sao cho kho} cách từ A đến {d) lớn nhất

1 Tinh tich phan t= {2% ay 3 cos2x @ a

2 Tìm các giá trị của tham số m đề dhừơng trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :

Oo 4J2x+-J2x+24f6—x+26=x =m {me RK}

PHẦN RIÊNG :Thí sinh chỉđược làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc Vib

Câu V.a, Theo chương Đình KHÔNG phân ban (2 điểm)

ag + a Fat oh = 4096 Tim sé lớn nhất trong các số ag,a, „

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

1, Giải phương trình loga„_;(2x7+x—1)+log,,;(2x—Ð? =4

2 Cho lăng trụ ABC.A "BC" có độ dài cạnh bên bằng 2a, đầy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC=a-/3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA‘, BC’

273

Tuyén thp 90 dé thi thik Agi học, cao đẳng môn Tuân ¬¬ ¬ Lovebook.vn

LOT GIAL CHETIET

Khi m z 2 và m #: 0,đồ thị có tiệm cận đứng x = ~3m và tiệm cận xiên ye Ghx =2

Hai đường tiệm cận này hợp với nhau một góc 45° khi và chỉ khi đường tiệm cận xiên tạo với trục hoành một góc 45° hoặc

Laru fs hai đường tiệm cận đứng và xiên tạo với nhau mrộtgốc œ thì tiệm cận xiến tạo với trục hoành góc 90° ~ œ hoặc 90° +

œ Khi hệ số góc của tiệm cận xiên là k = cotœ hoặeƒ-* —cotœ

Luyện tập: tìm tất cả các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng tiệm cận của đồ thi ham số:

Đổi chiều với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là :

Kame tk; Kane tke; x=-+kn (ke22}

Lưu ý: Khi biến đổi PT lượng giác về dạng tích phân nên lưu ý các công thức sau để nhận biết thừa số chung

274

Tuyén tip 90 dé thi thir dei hoc, cao ding mén Todn : - Epvebook.vun

—5/4 Đến đây ta hình thành một ý tưởng là đưa hệ về 2 ẩn xề + y và xy Gon đi rất nhiều, quan sát tiếp phương trình đầu

ta lại thấy có x” + y và xy nữa Ngoài ra, về phải của hai phương trình bằng nhau cũng khiến ta nghĩ ngay tới việc trừ về theo

vế 2 phương trình cho nhau,

Gọi Klà hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ø)

Ta có đCA,(œ))= AK < AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó khoảng cách từ A đến (œ) lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH hay Ktrùng H

suy ra (đ) qua H và nhận vectơ AH = (1;~4;1) lam vecto phap tuyến

Phương trình của (0) là: láx—3)—4(yT—1)+1—4)=0 >x~4y +z—3=0,

Câu W1,

275

Tuyên tập 90 đề thí thứ đại học, cao đẳng môn Toán 7 Lovebook.vn

.Với x= Othi t=0, voi x= Eth te

Dat u(x) = lên ~ z==i)x@ = (==- -=—) fax [6-08 Vix Veo & oe

Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 2V6 + 26 < m < 3V2 + 6 |

bưu ý: Đây là bài toán khó về ứng dụng kháế Sắt ham số để biện luận nghiệm của PT Việc tính đạo hàm và xét dấu của đạo

ham là không đơn giản, Đôi hỏi học si tó kỹ năng tính toán vững vàng mới giải được,

Bài tập luyện: Biện luận theo m sốxÿpiiệm của phương trình 3x + 2 — mvx4 +3 = 0

a * ce x” vì

Gọi phương trình chính đất của elip (E) là: ~y + Tự =ba> b>0

pac F(x)=(1+ 2x) =a, +a,x+ +a,x a, to tat eh) =2

Tir gid thiét suy ra 2" = 4096=2" <on=12

376