Đề thi chọn HSG huyện vòng 1 Toán 9 (2012 – 2013) – Phòng GD&ĐT Bình Giang (Kèm Đ.án)

1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O ; R, hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H.. Kẻ đường kính AK của đường tròn O ; R, gọi I là trung điểm của BC.. Gọi

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I

NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu I (2,0 điểm)

    với x  0, x  1 1) Rút gọn A

2) Chứng tỏ rằng: A 1

3



Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:  x x 15   17

2) Tìm x, y sao cho:   2

5x  2 x 2  y  y   1 0

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm số nguyên x, sao cho : x2  x  p  0 với p là số nguyên tố

2) Tìm m để hàm số bậc nhất    

2 2

nghịch biến

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh AH = 2.IO

b) Biết BAC  600, tính độ dài dây BC theo R

2) Cho  ABC(A  90 )0 , BC = a Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp

ABC

 là r Chứng minh rằng: r 2 1



Câu V (1,0 điểm)

Cho x  3y 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C  x2 y2

–––––––– Hết ––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9

Câu I

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

A

A

A







A



, với x0, x1

0.25

0.25

0.25

0.25

2

(1,0 đ)

A



Do x0, x 1

2

1

A 0 3

3



0.50

0.25

0.25

Câu II

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

ĐKXĐ: x 15

x x 15 17 x 15  x 15 20

t x 15 (t 0)t    t 2 0

 

 



t 2 TM§K

t 2 t 1 0

t 1 lo¹i Với t2 x 15 2x 15 4x19 (TMĐK)

0.25 0.25 0.25

0.25

2

(1,0 đ)

ĐKXĐ: x0

4x4 x  1 x2y xy  0

Vì 2 x120, xy2  0 x 0, y

Để (1) xẩy ra thì

1 x

(TM) 1

2







 



0.25 0.25

0.25

0.25

Câu III

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

Theo bài ra: 2  

px x x x 1 mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp nên x x 1   là số chẵn  p là số chẵn

Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2

 2

x x20 x2x 1 0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM)

0.25 0.25 0.50

2

(1,0 đ)

Để hàm số y m 22013m 2012x 2011

2

2

m 2013m 2012

0



m 2 2m 3 m 2   1 0 m

1 m 2012

0.25 0.25

0.25

0.25

Câu IV

(3,0 điểm)

1a

(1,0 đ)

K

H F

E

O

I

A Vì B, C thuộc đường tròn đường kính

AK ABKACK900

KB AB, KC AC

CHAB, BHAC (gt)

BK // CH, CK // BH

 BHCK

 là hình bình hành

I là trung điểm của BC (gt) I

 là trung điểm của HK

O là trung điểm của AK (gt) OI

 là đường trung bình của KAH

1

2

0.25

0.25

0.25 0.25

1b

(1,0 đ)

OAOC OAC cân tại O OACOCA KOCOACOCA (T/c góc ngoài của tam giác) KOC 2.OAC

Chứng minh tương tự: KOB2.OAB

KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 120

OBOC OBC cân tại O  0 0 0

OCI 180 120 : 2 30

Vì I là trung điểm của BC (gt) OIBC Trong  0

OIC I 90

IC OC.cos30 R BC R 3

2

0.25

0.25 0.25

0.25

2

(1,0 đ)

r

D E

F O A B

C

2r a 2 a 2r a a 2



C/m được AB + AC = 2r + a

AB AC BC 2

2

BĐT (1) đúng  r 2 1



 , dấu “=” xảy ra khi ABC v/cân tại A

0.25 0.25

0.25

0.25

Câu V

(1,0 điểm) (1,0 đ) Do x 3y 1  , đặt x 3y 1 a   với a0  x = 1 + a – 3y, thay vào

biểu thức C: C 10y 6ay 6y a 2a 1

2

2

1 min C

10

3

1

10





0.25

0.50

0.25

* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa