Gián án Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn... Each unit of X that is produced requires 50 minutes processing time on machine A and 30 minutes processing time on machine B..

Trang 1

Bất phương trình và hệ bất phương trình

bậc nhất hai ẩn

Trang 2

1.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó:

ĐỊNH NGHĨA:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các

dạng , , , trong đó

a, b và c là những số cho trước sao cho ; x, y là các ẩn

Mỗi cặp số (x0;b0) sao cho gọi là một nghiệm của bất

phương trình

Nghiệm của các bất phương trình còn lại được định nghĩa tương tự

Như vậy trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình

0

ax by c    ax by c    0 ax by c    0 ax by c    0

a  b 

ax  by   c

0

ax by c   

Trang 3

b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Việc xác định miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn (biểu diễn hình học tập nghiệm của nó) trong mặt phẳng tọa độ dựa trên định lí sau

ĐỊNH LÍ:

Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d) :

ax+by+c = 0 chia mặt phẳng thành hai nủa mặt

phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ

(d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương

trình ax + by + c > 0, nửa mặt phẳng còn lại (không

kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất

phương trình ax+by+c<0

Trang 4

Từ định lí ta suy ra:

Nếu (x 0 ;y 0 ) là một nghiệm của bất phương trình

(hay ) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa

điểm M(x 0 ;y 0 ) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình, ta làm như sau:

-Vẽ đường thẳng (d) : ;

-Xét một điểm M(x 0 ;y o ) không nằm trên (d).

Nếu thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm

M là miền nghiệm của bất phương trình

Nếu thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm

M là miền nghiệm của bất phương trình

CHÚ Ý:

Đối với các bất phương trình dạng hoặc thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ

0

ax by c    0

ax by c   

0

ax by c   

0

ax by c   

ax  by   c

0

ax by c   

ax  by   c

0

ax by c    ax0  by0   c 0

0

ax by c   

Trang 5

2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn :

Dưới đây là một ví dụ về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(1)

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có thỏa mãn mọi bất

phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ Vậy miền nghiệm của

hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ

Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn

hình học

như sau:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ phần còn lại

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

3 3 0

2 3 6 0

2 4 0

x y

  





   



   



Trang 6

Vấn đề tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến Quy hoạch tuyến tính Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế Sau đây là một ví dụ đơn giản

Bài toán:

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất

ít nhất 140 kg chất A và 9 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên liệu loại 1 giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0.6 kg chất B Từ mỗi tấn nguyên kiệu loại 2 giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10 kg chất A và 1.5 kg chất B Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất, biết rằng

cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại 1 và không quá 9 tấn

nguyên liệu loại 2 ?

3 Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế:

Trang 7

Phân tích bài toán Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại 1 và y tấn nguyên liệu loại 2 thì theo giả thiết, có thể chiết xuất được

(20x+10y) kg chất A và (0.6x+1.5y) kg chất B Theo giả thiết, x và y phải thỏa mãn các điều kiện:

và

hay

Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x;y) = 4x + 3y

Bài toán đã trở thành: tìm các số x, y thỏa mãn hệ bất phương trình

(2)

Sao cho T(x;y) = 4x+3y có giá trị nhỏ nhất

0   x 10 0   y 9

20 x  10 y  140 2 x y   14

0.6 x  1.5 y  9 2 x  5 y  30

0 10

0 9

2 14

2 5 30

x y

 



  





 



  



Trang 8

Bài toán này dẫn đến 2 bài toán nhỏ sau:

Bài toán 1 Xác định tập hợp (S) các điểm có tọa độ (x;y) thỏa mãn hệ (2).

Bài toán 2 trong tất cả các điểm thuộc (S), tìm điểm (x;y) sao cho T(x;y)có giá trị nhỏ nhất

Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) mà ta đã lập được

Để giải bài toán 2, ta thừa nhận rằng biểu thức T(x;y) có giá trị nhỏ nhất và giá trị ấy đạt được tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD Bằng cách tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D rồi so sánh các giá trị tương ứng T(x;y), ta được T(5;4) = 32 là giá trị nhỏ nhất

Vậy để chi phí nguyên liệu ít nhất, cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại 1 và 4 tấn nguyện liệu loại 2 (khi đó, tổng chi phí là

32 triệu đồng)

Trang 9

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

• A company makes two products (X and Y) using two machines (A and B) Each unit of X that is produced requires 50 minutes

processing time on machine A and 30 minutes processing time on machine B Each unit of Y that is produced requires 24 minutes

processing time on machine A and 33 minutes processing time on machine B

• At the start of the current week there are 30 units of X and 90 units

of Y in stock Available processing time on machine A is forecast to

be 40 hours and on machine B is forecast to be 35 hours

• The demand for X in the current week is forecast to be 75 units and for Y is forecast to be 95 units Company policy is to maximise the combined sum of the units of X and the units of Y in stock at the end

of the week

Trang 10

Công ty A làm cho hai sản phẩm (X và Y) bằng cách sử dụng hai máy (A và B) Mỗi đơn vị của X được sản xuất đòi hỏi thời gian chế biến 50 phút trên máy A và 30 phút chế biến thời gian trên máy B Mỗi đơn vị của Y được sản xuất đòi hỏi thời gian chế biến 24 phút trên máy

A và 33 phút thời gian xử lý trên máy tính B

Vào đầu tuần hiện tại có 30 đơn vị của X và 90 đơn vị của Y trong kho Sẵn thời gian xử lý trên máy A được dự báo là 40 giờ và trên máy B được dự báo là 35 giờ

Nhu cầu về X trong tuần hiện tại được dự báo là 75 đơn vị và cho Y được dự báo sẽ có 95 đơn vị Chính sách công ty là tận dụng tối đa tổng số sản phẩm X và Y vào cuối tuần Hỏi số sản phẩm X và Y cần sản xuất thêm là bao nhiêu?

Trang 11

x be the number of units of X produced in the current week

y be the number of units of Y produced in the current week

Then the constraints are:

• machine A time

• machine B time

•

• i.e so production of demand (75) - initial stock (30), which ensures we meet demand

•

• i.e so production of demand (95) - initial stock (90), which ensures we meet demand

The objective is: maximise (x+30-75) + (y+90-95) = (x+y-50)

i.e to maximise the number of units left in stock at the end of the week

It is plain from the diagram below that the maximum occurs at the

intersection of x=45 and 50x + 24y = 2400

50 x  24 y  40(60)

30 x  33 y  35(60)

75 30

X 

45

x 

95 90

y  

5

Trang 12

Solving simultaneously, rather than by reading values off the graph, we have that x=45 and y=6.25 with the value of the objective function being 1.25

Trang 13

Giải

Đặt

* x là số lượng sản phẩm công ty X sản xuất trong tuần hiện tại

* y là số lượng sản phẩm công ty Y sản xuất trong tuần hiện tại

Ta có 40 giờ = 2400 phút

35 giờ = 2100 phút

Như vậy, thời gian sản xuất

1 sản phẩm X là 50x + 24y 2400 (phút)

1 sản phẩm Y là 30x + 33y 2100 (phút)

X 75-30

Tức là x 45 vì vậy nhu cầu sản xuất của X (75) – sản phẩm ban đầu (30), đảm bảo để đáp ứng nhu cầu

Y 95-90

Tức là y 5 vì vậy nhu cầu sản xuất của Y (95) – sản phẩm ban đầu (90), đảm bảo để đáp ứng nhu cầu

Giải ta được x = 45 và y = 6,25 với giá trị của hàm mục tiêu là 1,25

•

Trang 16

HAPPY NEW YEAR !!

GROUP 1

Tiêu đề	Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Thể loại	Giảng án

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	4,19 MB