De thi tuyen sinh lop 10 chuyen mon Toan nam hoc20102011 tham khao

Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD... Chứng minh KB = KD..[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010

Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

1

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức M= 9 x3  9x2  32 2) Cho trước a b R,  ; gọi x y, là hai số thực thỏa mãn x y a b3 3 3 3





 Chứng minh rằng: x2011 y2011a2011b2011

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình: x3ax2bx 1 0 (1)

1) Tìm các số hữu tỷ a và b để phương trình (1) có nghiệm x  2 3

2) Với giá trị a b, tìm được ở trên; gọi x x x1; ; 2 3 là ba nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức 5 5 5

S

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn điều kiện: x2  y2 5x y2 2 60 37 xy

2) Giải hệ phương trình:

4

x x x y y







Câu 4 (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R) Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A) Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I )

1) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh: KB = KI.KJ2 ; từ

đó suy ra KB = KD

2) AO’ cắt BC tại H Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn 3) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

Câu 5 (1,0 điểm)

Mọi điểm trên mặt phẳng được đánh dấu bởi một trong hai dấu (+) hoặc ( )

Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu

-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2010 - 2011 Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 Đáp án gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG.

- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa

- Việc chi tiết điểm số (với cách khác, nếu có) phải được thống nhất Hội đồng chấm

- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

1

x      

.Tính M= 9 - 9 - 3 x3 x2 2 1,00

1

  3 12 135 3 12 135

3 3

3 12 135 3 12 135

3x 13 8 3 3 x 1

3 2

9x 9x 2 0

 12 1

M

0,25

0,25 0,25 0,25

1 2 Cho trước a b R,  ; gọi x,y là hai số thực thỏa mãn

3 3 3 3( )

x y a b

I







.Chứng minh rằng: x2011 y2011 a2011b2011

1,00

( )

x y a b I



 



(1)

(*) ( ) ( ) (2)

x y a b

  



 

 +/Nếu a b 0 thì (*)  x y a b

xy ab









=> x, y là 2 nghiệm của phương trình X2  (a b X ) ab0 Giải ra ta có x b; x a

y a y b

  => x2011 y2011 a2011 b2011 +/Nếu a b 0 => a b

0,25

0,25 0,25

Ta có hệ phương trình 3 3 0

0

x y







=>

2011 2011

2011 2011

0 0





 =>x2011 y2011 a2011b2011

0,25

2 1 x3ax2 bx 1 0 (1) Tìm a b Q,  để (1) có nghiệm x  2 3 1,00

Thay x  2 3vào (1)ta có :2  33 a2  32 b2  3  1 0 

3 4a b 15 7a 2b 25

+/Nếu 4a b 15 0

=>

3

a b



  (vô lí vì VT là số vô tỷ , VP là số hữu tỷ)

+/ Suy ra 4a b 15  0 7 2 25 0

a b





 Giải hpt, kết luận : 5

5

a b











0,25

0,25

0,25

0,25

Với a=-5 ;b=5 Tính giá trị của biểu thức 5 5 5

1 2 3

S

5

a b









 (1) có dạng x3  5x2  5x 1 0   x-1 x2  4x 1 0 Không mất tính tổng quát coi x 3 1 thì x x1, 2 là 2 nghiệm của

phương trình x2  4x1 0( có   ' 3 0) => 1 2

1 2

4 1

x x









1 2 1 2 2 1 2 14

1 2 1 2 1 2 1 2 52

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 724

=>S = 725

0,25

0,25

0,25 0,25

3 1 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x2 y2 5x y2 2 60 37 xy(1) 1,00

(1) x y 5x y 35xy 60 x y 5 xy 3 4 xy

Giả sử có x,y nguyên thỏa mãn, VT 0

5 xy- 3 4 xy 0 3 xy 4

Do x y Z,  =>xy Z => 3

4

xy xy





+/

3

3 0

x

x y











(vô nghiệm trên Z)

0,25

0,25

0,25

2 4

0

x y x

x y







2

x y

x y

 



 là các giá trị cần tìm

0,25

3 2 Giải hệ phương trình:

4

(1)

x x x y y







1,00

Điều kiện :y 0

(1)    2 1 0

1

x y

x y x

x





+/Nếu x 1 thay vào phương trình (2) ta có : y  1 0  y1

+/Nếu x y 0

Khi đó (2) 2x4 1  4 x  2 0 (3)

do 2x4 1 2.2 x4.1 4 x2 2x4 1 2 x 2x

nên VT(3) 2( - 2 x x 1) 2  x  12 0

Do đó Pt (3)

4 1

1 0

x

x



Vậy hệ phương trình có nghiệm 1; 1

0,25 0,25

0,25

0,25

4 1 K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB = KD 1,00

H J

O' O

K D

C

B

I

M

A

Do AO và AO’ là hai tia phân giác của BAC=> A,O,O’ thẳng hàng

0,25

Có BJI IBK 1

2

  sđ BI; BKI chung

Δ KBI

 đồng dạng vớiΔ KJB (g.g)=> KI =KB KB =KI.KJ2

Tương tự:Δ KDIđồng dạng vớiΔ KJD KI =KD KD =KI.KJ2

Từ (1) và (2) =>KB=KD

0,25

0,25 0,25

4 2 Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn 1,00

+/Xét tam giác vuông ABO’ có: AB =AH.AO'2 (3)

+/ Có : ABI AMB 1

2

  sđ BI; BAI chung

Δ ABI đồng dạng vớiΔ AMB (g.g) AB AI 2

= AB =AM.AI

AM AB

Từ (3),(4) =>AI.AM=AH.AO' AH AM=

=>Δ AHI đồng dạng với Δ AMO' ( vì AH AM=

AI AO' ;A chung )

=>AHI=AMO'  => tứ giác MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’

cùng thuộc một đường tròn

0,25

0,25

0,25

0,25

4 3 Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD 1,00

AO' O'B R' O'M O'I

nhưng OI cắt O’I và A,I,M thẳng hàng => OI // O’M

=>DOI=BO'M 

mà BDI 1DOI 1

  sđ DI và BIM 1BO'M 1

=>BDI BIM    =>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔBID

hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Δ IBD

0,25 0,25 0,25 0,25

5 Chứng minh rằng luôn chỉ ra được 3 điểm trên mặt phẳng làm thành

tam giác vuông cân mà ba đỉnh của nó được đánh cùng dấu

1,00

Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A

Do chỉ đánh bởi hai dấu (+), ( ) nên

tồn tại hai điểm cùng dấu , không mất

tổng quát giả sử hai điểm A, B cùng

dấu và cùng dấu (+)

+ Nếu C có dấu (+) thì tam giác vuông

cân ABC là tam giác phải tìm

+ Nếu C có dấu (- ) thì ta dựng điểm D

sao cho ABDC là hình vuông

_ Nếu D có dấu (+) thì tam giác ABD là tam giác cần tìm

_ Nếu D có dấu (-) thì gọi I là giao điểm của AD và BC

* Nếu I có dấu (+) thì tam giác vuông cân ABI là tam

giác cần tìm

0,25

0,25 0,25

D

B A

C

I

* Nếu I dấu (-) thì dễ thấy tam giác vuông cân CID có ba

đỉnh cùng dấu (-) là tam giác cần tìm

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2010-2011

ĐỀ CHÌNH THỨC KHÓA NGÀY 21/06/2010

Môn thi: TOÁN ( chuyên)

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

1) Giải hệ phương trình











1 +y=1 x+1

2 +5y=3 x+1

2) Giải phương trình :2x -x +2x -x-12=0 2 2 2

Câu 2: ( 3 điểm)

Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x x1 , 2 1  x2 thỏa

x = x 1 2 2

Câu 3: (2 điểm )

Thu gọn biểu thức: A= 7+ 5 + 7- 5 - 3-2 2

7+2 11

Câu 4: ( 4 điểm )

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng :

a) ABP=AMB 

b)MA.MP =BA.BM

Câu 5 : ( 3 điểm )

a) Cho phương trình 2x +mx+2n+8=0 2 ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên Chứng minh rằng m +n 2 2 là hợp số

b) Cho hai số dương a,b thỏa a +b =a +b =a +b 100 100 101 101 102 102.Tính P=

2010 2010

Câu 6 : ( 2 điểm )

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường

tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7: ( 2 điểm)

Cho a , b là các số dương thỏa a +2b 2 23c 2.Chứng minh 1 2 3 + 

a b c

HẾT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2010-2011

KHÓA NGÀY 21/06/2010

Môn thi: TOÁN ( chuyên)

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

Câu 1

( 4 đ)

Câu:1: ( 4 điểm

1) Giải hệ phương trình











1 +y=1 x+1

2 +5y=3 x+1











1 +y=1 x+1

2 +5y=3 x+1



2 2y = 2 x+1

2 +5y =3 x+1

 

 









3y =1 2 +5y =3 x+1











1

x = 2 1

y = 3











2) Giải phương trình : 2x -x +2x -x-12=0 2 2 2

Đặt t 2x2  x, pt trở thành:

t2 + t - 12 = 0 t=3 hay t=-4

2

x  x  x hay x t= -4 =>2x2  x 4 ( vô nghiệm)

Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

Câu 2

(3 đ)

Câu 2 : (3 điểm )

Cho phương trình x 2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m 2 + 4 m – 3 = 0 ( x là

ẩn số ) (*)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x x1 , 2 1 x2

thỏa x = x 1 2 2

’=2m 12 4m2  4m 3   4 0, với mọi 1

Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

0,5 đ

1

x =2m-1 ;x2 =2m+3

2

x = x  2m 1 2 2m 3   

7

5

6

m







 





0.5 đ

0,5 đ 1,5 đ

Câu 3 Câu 3 : ( 2 điểm)

Thu gọn biểu thức: A= 7+ 5 + 7- 5 - 3-2 2

7+2 11

( 2 đ)

Câu 4

( 4 đ)

Xét M = 7+ 5 + 7- 5

7+2 11

Ta có M > 0 và 2 14 2 44 2

7 2 11

A= 2-( 2-1)=1

1 đ

1 đ

Câu 4 : ( 4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là

điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC

cắt nhau tại M.Chứng minh rằng :

b)MA.MP =BA.BM

x

x

=

=

M

P

O

C B

A

2

AMB  ( s đ AB  s đPC) =1

2( s đ AC  s đPC)=1

2 s đ AP=ABP 2 đ b) PA PC   CAP ABP AMB      CMAC AB 1 đ

MAC MBP (g-g)

MA MC MA MP MB MC MB AB

MB MP

1 đ

Câu 5

( 3 đ)

Câu 5: ( 3 điểm)

a)Cho phương trình 2x +mx+2n+8=0 2 ( x là ẩn số và m, n là các số

nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên

Chứng minh rằng m +n 2 2 là hợp số

Gọi x x1 , 2là 2 nghiệm của phương trình  1 2

2

m

x x  ,x x1 2  n 4 0,5 đ

= 2   2 

1 4 2 4

x  x 

0,5 đ

1 4, 2 4

x  x  là các số nguyên lớn hơn 1 nên m +n 2 2 là hợp số 0,5 đ b)Cho hai số dương a,b thỏa a +b =a +b =a +b 100 100 101 101 102 102.Tính P=

2010 2010

Ta có0a +b 100 100  a101 b101a101 b101  a +b 100 100

 a1001  ab1001  ba1011  ab1011  b

Câu 6

( 2 đ)

Câu 6: ( 2 điểm)

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là

đường tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho

MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của

OA.Gọi E là trung điểm của OC

*Trường hợp M không trùng với C vá D

Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do

2

MOE AOM

2

AM OA

* Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM

* Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM

MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = hằng số

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O)

Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với

đường tròn (O)

0,5 đ

Câu 7

( 2 đ)

Câu 7 : ( 2 điểm)

Cho a , b là các số dương thỏa a +2b 2 23 c 2 Chứng minh



1 2 3

+

a b c

0,5 đ

Ta có:1 2 9  1  2   2  9

a b a   b    

a+2b  3a2  2b2  2 a 2b2 3a2  2b2

Từ (1) và (2) suy ra

 2 2

a b a   b  a  b c ( do a2  2b2  3c2) 1 đ

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên

Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

Câu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x xR; x 0 thoả mãn điều kiện: x 2 + 2

1

x = 7

Tính giá trị các biểu thức: A = x 3 + 13

x và B = x 5 + 15

x

2 Giải hệ phương trình:

y x

x y













điều kiện: 0x1 x2 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

2

Q

a ab ac



 

Câu 3: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: x 2 + y 2009 + z 2010 = ( )

2

1

z y

2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p 2 +1 và 6p 2 +1 cũng là số nguyên tố.

Câu 4: (3,0 điểm)

1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK BN

2 Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA= 2 Vẽ các tiếp tuyến AB,

AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng 45 0 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng: 2 2  2 DE  1

Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức Pa2b2c2d2acbd,trong đó ad  bc 1

Chứng minh rằng: P 3

Hết

SỞ GD VÀ ĐT

THANH HOÁ

KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Đáp án chính thức

Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang)

1

1 Từ giả thiết suy ra: (x +

x

1

) 2 = 9  x + 1x = 3 (do x > 0)

 21 = (x +1x )(x 2 + 2

1

x ) = (x 3 + 3

1

x ) + (x + 1x )  A = x 3 + 3

1

x =18

 7.18 = (x 2 + 2

1

x )(x 3 + 3

1

x ) = (x 5 + 5

1

x ) + (x + 1x )

 B = x 5 + 15

x = 7.18 - 3 = 123

0.25 0.25

0.25

0.25 2

Từ hệ suy ra 1x  2  1y  1y  2  1x (2) Nếu 1x  1y thì 2  1y  2  1x nờn (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y thế vào hệ ta giải được x=1, y=1

0.5

0.5 2

Theo Viét, ta có: 1 2 b

x x

a

  , x x1 2 c

a

 .

Khi đó

2

2

Q

a ab ac



2

2 3

2

b c

a a

 

 

( Vì a 0)

=

2

1 2 1 2

x x x x

Vì 0x1 x2 2 nên 2

1 1 2

x x x và 2

2 4

x 

 x12 x22 x x1 2 4  x1 x22 3x x1 24

1 2 1 2

3

Q

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 2 hoặc x1 0,x2 2

0.25

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.25

0.25

Tức là

4

4 4

2

0

b a

b

c a

c a

 

 

 







 









 



Vậy maxQ=3

3

1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010

Phương trình đã cho tương đương với:

x + y + z = 2 x 2 +2 y 2009 +2 z 2010

 ( x 2 - 1) 2 + ( y 2009 - 1) 2 + ( z 2010 - 1) 2 = 0

x 2 - 1 = 0 x = 3

y 2009 - 1 = 0  y = - 2008

z 2010 - 1 = 0 z = 2011

0.25

0.25 0.25

0.25

2 Nhận xét: p là số nguyên tố  4p2 + 1 > 5 và 6p 2 + 1 > 5

Đặt x = 4p 2 + 1 = 5p 2 - (p - 1)(p + 1)

y = 6p 2 + 1  4y = 25p 2 – (p - 2)(p + 2)

Khi đó:

- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5

 x chia hết cho 5 mà x > 5  x không là số nguyên tố

- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5

 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1  y chia hết cho 5 mà

y > 5

 y không là số nguyên tố

Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố  p = 5

Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố

Đáp số: p =5

0.25

0.25

0.25

0.25 4

2

Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM

Ta có  IBE =  MCE (c.g.c).

Suy ra EI = EM , MEC  BEI   MEI vuông cân tại E

Suy ra EMI  450  BCE

Mặt khác: AB IB CM CB MN AN  IM // BN

BCE EMI  BKE  tứ giác BECK nội tiếp

0 180







90



BEC BKC Vậy CK BN

Vì AO = 2 , OB=OC=1 và ABO=ACO=90 0 suy ra OBAC là hình

vuông

Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho DOM = DOB

MOE=COE

Suy ra  MOD=  BOD  DME=90 0

 MOE=  COE EMO=90 0

suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).

Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC

Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1

Đặt DM= x, EM=y ta có AD 2 + AE 2 = DE 2

 (1-x) 2 + (1-y) 2 = (x+y) 2

 1- (x+y) = xy  

4

2

y

x 

 suy ra DE 2 + 4.DE - 4  0

 DE  2 2  2

Vậy 2 2  2  DE<1

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

0.25 0.25 0.25

0.25

K M

E

O

C

B D

E

M A

x x

y