Nghiên cứu một số bàI toán xấp xỉ hàm số và quá trình ngẫu nhiên bằng hệ mờ

Nghiên cứu một số bàI toán xấp xỉ hàm số và quá trình ngẫu nhiên bằng hệ mờ Nghiên cứu một số bàI toán xấp xỉ hàm số và quá trình ngẫu nhiên bằng hệ mờ Nghiên cứu một số bàI toán xấp xỉ hàm số và quá trình ngẫu nhiên bằng hệ mờ luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

− − − − − − − − −

HOÀNG VIỆT LONG

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM SỐ

VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BẰNG HỆ MỜ

Chuyên ngành: Đảm bảo toán cho máy tính và hệ thống tính toán

Mã số: 62.46.35.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH BÙI CÔNG CƯỜNG PGS TS NGUYỄN CẢNH LƯƠNG

Hà Nội - 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướngdẫn khoa học của PGS TSKH Bùi Công Cường và PGS TS Nguyễn CảnhLương Các kết quả được phát biểu trong luận án là mới, trung thực và chưatừng được công bố trong các công trình của tác giả nào khác

Tác giảHoàng Việt Long

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tâm và quýbáu của PGS TSKH Bùi Công Cường và PGS TS Nguyễn Cảnh Lương.Các thầy đã dành nhiều công sức, dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứukhoa học, động viên khích lệ tác giả vượt lên những khó khăn trong học tập

và cuộc sống Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đối vớicác thầy

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luônnhận được sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của các thầy cô trong bộ mônToán ứng dụng, Khoa Toán - Tin Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa HàNội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô

Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đạihọc Bách khoa Hà Nội, Viện Đào tạo sau đại học của trường đã tạo nhữngđiều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận án này.Tác giả xin được cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Đại số - Xác suấtthống kê, Trường Đại học Giao thông Vận tải đã hết sức quan tâm, động viên

và giúp đỡ, giúp cho tác giả có thời gian và điều kiện để chuyên tâm nghiêncứu khoa học Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệuTrường Đại học Giao thông Vận tải, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Cơ bản

đã tạo những điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận

án này

Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, giúp đỡ củanhững người thân trong gia đình Tác giả xin trân trọng kính tặng Gia đìnhthân yêu món quà tinh thần này với lòng biết ơn chân thành sâu sắc

MỤC LỤC

Trang phụ bìa 1

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

MỤC LỤC 4

MỘT SỐ KÍ HIỆU 6

CÁC HÌNH VẼ VÀ BẢNG BIỂU 7

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 15 1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết tập mờ 15

1.1.1 Tập mờ và các phép toán 15

1.1.2 Quan hệ mờ và biến ngôn ngữ 17

1.2 Hệ mờ 18

1.2.1 Cấu trúc của một hệ mờ 19

1.2.2 Một số hệ mờ thường gặp 21

1.3 Sơ lược về biến ngẫu nhiên và không gian xác suất 25

Chương 2 XẤP XỈ HÀM SỐ BỞI HỆ MỜ 28 2.1 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ 29

2.1.1 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh 29 2.1.2 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ phân tầng 37

2.1.3 Thuật toán xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ phân tầng 41 2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai bởi hệ mờ 43

2.2.1 Hệ mờ hàm Spline 43

2.2.2 Xấp xỉ hàm khả tích bậc hai bởi hệ mờ hàm Spline 44

2.2.3 Ví dụ minh hoạ 48

2.3 Kết luận của chương 2 51 Chương 3 ĐÁNH GIÁ TỐC ĐỘ XẤP XỈ ĐỀU CỦA HỆ MỜ TRONG

BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM SỐ 52

3.1 Hệ mờ hàm hạch 52

3.1.1 Hàm hạch 53

3.1.2 Hệ mờ hàm hạch 55

3.2 Tính chất xấp xỉ của hệ mờ hàm hạch 56

3.2.1 Tính chất xấp xỉ đối với hàm số liên tục 56

3.2.2 Tính chất xấp xỉ đồng thời đối với hàm số khả vi liên tục 61 3.3 Tốc độ xấp xỉ đều 65

3.3.1 Đánh giá tốc độ xấp xỉ đều cho hàm nhiều biến 65

3.3.2 Đánh giá tốc độ xấp xỉ đều cho hàm một biến 67

3.4 Kết luận của chương 3 84

Chương 4 XẤP XỈ LỚP CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BỞI HỆ MỜ 86 4.1 Xấp xỉ lớp các quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục đều hầu khắp nơi 87

4.1.1 Hệ mờ ngẫu nhiên 87

4.1.2 Định lý xấp xỉ 87

4.2 Xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên thuộc lớp H(ϕ) 89

4.2.1 Biểu diễn phổ của lớp các quá trình ngẫu nhiên H(ϕ) 90 4.2.2 Định lý xấp xỉ 94

4.3 Ví dụ áp dụng 99

4.4 Kết luận của chương 4 101

KẾT LUẬN 102

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 104

DANH MỤC CÔNG TRÌNH 105

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

CHỈ MỤC 112

MỘT SỐ KÍ HIỆU

N, R, R+ tập các số tự nhiên, số thực, số thực không âm

Rn không gian Euclide n chiều

C(X) không gian các hàm liên tục trên tập X

C1(X) không gian các hàm khả vi liên tục trên tập X

B σ−đại số sinh bởi các nửa đoạn [a, b) ⊂ R+

(Ω, A, P ) không gian xác suất

(R+, B, F ) không gian đo hữu hạn trên R+

(R2+, B× B, µ) không gian đo hữu hạn trên R2+

L2(Ω) không gian các biến ngẫu nhiên khả tích bậc hai

MTn lớp các hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh n chiều

MSn lớp các hệ mờ Mamdani hàm Spline n chiềuMSS lớp các hệ mờ ngẫu nhiên hàm Spline

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Lý thuyết mờ được Lotfi Zadeh đề xuất và công bố bắt đầu từ năm 1965trong các bài báo [51, 52, 53, 54, 55], với mục đích góp phần làm cho các môhình toán học thích ứng với các hệ trong tự nhiên cũng như trong kỹ thuật

Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết mờ tiếp tục thu hút được sự nghiên cứu vàphát triển của nhiều nhà khoa học trên cả phương diện lý thuyết cũng nhưứng dụng như: C L Chang [8], D Dubois và H Prade [14], J A Goguen[16], E H Mamdani [23, 24], M Sugeno [26, 30, 31, 34], J M Mendel [40],

R R Yager và V Kreinovich [47], B C Cuong và các cộng sự [9, 10, 11], N

C Ho và W Whechler [18], vv (xem[6, 21, 45, 62]) Cho đến nay cùng với

sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt là ngành khoa họcmáy tính, lý thuyết mờ đã được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực, chẳng hạnnhư: lĩnh vực mô phỏng trạng thái điều khiển chuyên gia trong điều khiển

mờ [26, 41] (emulating human expert control strategy in fuzzy control), hệnhận dạng (system identification), phân loại mẫu [6] (pattern recognition),điều khiển thích nghi [26, 34] (adaptive control),

Hệ mờ là một trong năm nhánh nghiên cứu chính của lý thuyết mờ (xemtrong [42]), hệ mờ được nghiên cứu và ứng dụng một cách rộng rãi trong cáclĩnh vực điều khiển, xử lý tín hiệu, hệ chuyên gia trong thương mại, y học, Tuy nhiên những ứng dụng có ý nghĩa và thành công nhất của hệ mờ tậptrung vào các bài toán điều khiển Người đầu tiên ứng dụng thành công hệ

mờ trong điều khiển động cơ hơi nước là E H Mamdani vào năm 1975 (xem[24]) Tiếp theo đó vào năm 1978, Holmblad và stergaard đã ứng dụng hệ

mờ trong điều khiển lò nung xi măng ở Hà Lan Ngày nay chúng ta thấynhững sản phẩm thương mại có ứng dụng điều khiển mờ được bán rộng rãitrên thị trường như những chiếc máy giặt thông minh hoặc những chiếc ôtôthông minh,

Trong hầu hết những ứng dụng của hệ mờ vào các hệ điều khiển, người ta

thường đi xây dựng những hệ mờ thích hợp để thay thế tương ứng cho các hệđiều khiển Nhìn nhận theo quan điểm toán học thì hệ mờ cần xây dựng làmột ánh xạ từ không gian vào đến không gian ra, sao cho hệ mờ này có thểbiểu diễn xấp xỉ cho một hệ điều khiển cho trước với độ chính xác tùy ý Cụthể hơn là ta cần xây dựng một hệ mờ để xấp xỉ cho một hàm số chưa biếtvới độ chính xác tùy ý dựa trên những mẫu học của hàm số đó.

Việc nghiên cứu các tính chất xấp xỉ hàm số bởi hệ mờ hiện đang là mộtvấn đề có tính thời sự và đang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiềutác giả trong và ngoài nước, điều này được khẳng định bằng một số lượng kháphong phú các tài liệu tham khảo [5, 12, 17, 25, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 48,

57, 58, 59] Ban đầu, khi nghiên cứu các bài toán xấp xỉ của hệ mờ, người

ta thường dựa trên Định lý Stone-Weierstrass [28, 42] để khẳng định sự tồntại của hệ mờ xấp xỉ một hàm số cho trước Tuy nhiên, các kỹ thuật trongphương pháp này dựa chủ yếu vào góc độ giải tích toán học, không có tínhkiến thiết và không đưa thành thuật toán rõ ràng Bên cạnh đó, phương phápnày chỉ áp dụng được cho một số lớp hệ mờ đặc biệt như hệ mờ sử dụng hàmGauss làm hàm thuộc cho các tập mờ đầu vào (xem [17, 42, 45]) Vì vậy khảnăng áp dụng của phương pháp này là rất hạn chế Do đó trong những nămgần đây, khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ bởi hệ mờ, người ta thường sử dụngcách tiếp cận thứ hai: dựa vào phép chứng minh có tính kiến thiết Trong quátrình chứng minh các định lý xấp xỉ người ta chỉ ra cách xây dựng hệ mờ xấp

xỉ Nhờ đó hệ mờ xấp xỉ có thể được xây dựng một cách trực tiếp và cụ thể(xem trong [12, 48, 49, 50, 58]) Vì với một độ chính xác cho trước, biểu diễncủa một hệ mờ xấp xỉ có thể được xây dựng, do đó các kết quả có tính kiếnthiết và có ý nghĩa ứng dụng cao Bằng cách áp dụng phương pháp tiếp cậnthứ hai, trong luận án này, chúng tôi không những chứng minh được tính chấtxấp xỉ của hệ mờ đối với một lớp hàm số cho trước, mà còn chỉ ra được thuậttoán xây dựng hệ mờ một cách cụ thể, có ví dụ minh hoạ tính toán rõ ràng.Hơn nữa, các kết quả chúng tôi đạt được không chỉ giới hạn trong lớp hệ mờ

sử dụng hàm Gauss làm hàm thuộc của các biến vào, mà còn được mở rộngvới nhiều loại lớp hàm thuộc khác nhau: hàm tam giác, hàm Spline, haytổng quát hơn là hàm hạch (hàm khả tích trên Rn) Tùy thuộc vào mục đích

của bài toán xấp xỉ, chúng tôi lựa chọn những hàm thuộc của tập mờ đầu vàosao cho phù hợp và có thể xây dựng được hệ mờ một cách đơn giản nhất.Bên cạnh đó, việc tăng số chiều của không gian vào cũng khiến cho bàitoán xấp xỉ trở nên phức tạp hơn Trong khi một số các tác giả đi trước làmviệc với hàm một biến số và hệ mờ xấp xỉ dạng SISO hoặc không gian vàorời rạc (xem trong [48, 59]), thì trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu khảnăng xấp xỉ của hệ mờ cho hàm nhiều biến số, sử dụng hệ mờ dạng MISO vớikhông gian vào liên tục Các kết quả nhận được có tính phát triển, từ xấp xỉhàm đa tuyến tính từng mảnh đến xấp xỉ hàm liên tục và cuối cùng là xấp xỉcác hàm khả tích Lebesgue trên không gian Rn.

Từ quan điểm toán học, hệ mờ là ánh xạ từ tập inputs tới tập outputs.Cấu trúc hệ mờ là tương thích và có thể tự động giữ lại những những tínhchất định tính cũng như định lượng của hệ Sự tương thích bao gồm trongnhững tính chất của hàm thuộc của các biến vào và những luật mờ cơ sở.Việc lựa chọn hàm thuộc của các giá trị ngôn ngữ của các biến vào của hệ

mờ là rất quan trọng và có thể ảnh hưởng rất lớn đến dáng điệu của đầu ra(outputs) Nhiều lớp các hàm thuộc đã được giới thiệu trong các tài liệu thamkhảo Chúng bao gồm các hàm thuộc dạng tam giác [43, 49], các hàm giả tamgiác, hàm Gauss [17, 40], hàm bêta [25], v.v Dễ thấy rằng có một số nhân

tố nên được nghiên cứu khi chọn loại hàm thuộc Chẳng hạn như những hàmthuộc thích hợp cần đầy đủ ý nghĩa trực giác, dễ nhận dạng và có thể sử dụng

để giải quyết những bài toán tổng quát Khả năng xấp xỉ của hệ mờ cũngphụ thuộc vào độ phức tạp cũng như tính mềm dẻo của các hàm thuộc Nếutrong một số công trình Y Ding, H Ying [12], L X Wang [42, 43] đã xétđến khả năng xấp xỉ của hệ mờ có hàm thuộc dạng tam giác, thì trong luận

án này, bằng cách sử dụng hàm thuộc dạng Parabol (hàm Spline), chúng tôinhận được kết quả xấp xỉ tốt hơn, không những cho hàm nhiều biến liên tục,

mà còn cho hàm số bình phương khả tích Lebesgue

Hơn thế nữa, với sự tổng quát hóa hàm thuộc đầu vào có dạng hàm hạch(bao gồm các dạng hàm nói trên như những trường hợp đặc biệt), chúng tôi

đã chứng minh được tính chất xấp xỉ của hệ mờ hàm hạch cho một lớp cáchàm số liên tục hoặc khả vi liên tục trong Rn Cách làm này có một số điểm

thuận lợi như sau Thứ nhất, ta có thể xây dựng hệ mờ hàm hạch tương thíchvới hàm mục tiêu f cần xấp xỉ, theo đó nếu hàm mục tiêu có ý nghĩa trựcgiác, thì hàm hạch tương ứng cũng cần xây dựng có ý nghĩa trực giác Thuậnlợi thứ hai là hạch có thể thay đổi độ rộng và dịch chuyển trên đường thẳngthực (thông qua các phép vị tự và tịnh tiến hàm hạch) để thích ứng với cácgiá trị ngôn ngữ khác nhau của biến ngôn ngữ Nhưng thuận lợi hơn cả trongcách xây dựng này, theo quan điểm của chúng tôi, là tính mềm dẻo và khảnăng tương thích với các tính chất của hàm mục tiêu một cách dễ dàng củahàm hạch giúp tăng khả năng xấp xỉ của hệ mờ với độ chính xác tùy ý chotrước.

Bên cạnh đó, khi nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ của hệ mờ, thường có 3 câuhỏi được đặt ra:

(1) Khả năng xấp xỉ của hệ mờ ?

(2) Xây dựng hệ mờ xấp xỉ ?

(3) Đánh giá tốc độ xấp xỉ đều của hệ mờ ?

Trong những năm gần đây, các câu trả lời cho hai câu hỏi đầu là khá đadạng và phong phú Tuy nhiên, vẫn còn quá ít những công trình nghiên cứucâu trả lời cho câu hỏi cuối cùng: đánh giá tốc độ xấp xỉ đều của hệ mờ (xem[36, 37]) Mặt khác, như chúng ta đã biết, tốc độ xấp xỉ đều đóng một vai tròchìa khoá trong việc đánh giá sai số và tốc độ hội tụ của phương pháp xấp

xỉ Chính vì vậy, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu về tốc độ xấp xỉ đềucủa lớp hệ mờ hàm hạch cho lớp các hàm liên tục và chứng minh được tốc độxấp xỉ đều đó là cùng bậc với tốc độ hội tụ của dãy (log k/k)α

Phát triển hơn nữa những kết quả trên đây, trong chương cuối của luận

án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên bởi hệ mờ.Như chúng ta đã biết, trong thực tế, rất nhiều hệ vào-ra có chứa đựng các yếu

tố ngẫu nhiên, chẳng hạn như những tín hiệu điện tử Việc nghiên cứu bàitoán xấp xỉ các quá trình ngẫu nhiên bằng mạng Nơ ron nhân tạo đã đượcnghiên cứu bởi một số tác giả (xem trong [5, 38]) Tuy nhiên, các dữ liệu đầuvào của mạng Nơ ron bắt buộc phải là những dữ liệu số (datas) và khôngchứa các hạt nhân không chắc chắn (uncertainty); trong khi thực tế đôi khichúng ta lại phải làm việc với những dữ liệu không phải là số mà là dưới dạng

ngôn ngữ và có chứa những đại lượng không chắc chắn Như một loại hệ điềukhiển thông minh, hệ mờ có khả năng làm việc với những dữ liệu như vậy Do

đó việc nghiên cứu khả năng xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên bởi một hệ mờ làrất quan trọng Tuy nhiên rất khó có thể tìm được một hệ mờ thông thường

để mô hình hóa cho các hệ ngẫu nhiên này Trong luận án này, bằng cách sửdụng các hàm Spline làm hàm thuộc cho các giá trị ngôn ngữ của các biếnvào, chúng tôi mở rộng khái niệm hệ mờ thông thường thành khái niệm hệ

mờ ngẫu nhiên Từ đó chúng tôi nhận được một số kết quả về xấp xỉ hệ mờngẫu nhiên cho một số lớp các quá trình ngẫu nhiên theo nghĩa bình phươngtrung bình

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu những ứng dụng của hệ mờ vào việcxấp xỉ hàm số và xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu bao gồmcác loại hệ mờ: hệ mờ Mamdani, hệ mờ Takagi-Sugeno, hệ mờ phân tầng, hệ

mờ ngẫu nhiên, để xấp xỉ các hàm nhiều biến liên tục, hàm khả vi liên tụccùng các đạo hàm riêng cấp 1, hàm khả tích Lebesgue trên Rn và một số lớpcác quá trình ngẫu nhiên

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này chúng tôi sử dụng các phương pháp thường dùng đểnghiên cứu các bài toán về xấp xỉ hàm số như: các phương pháp xấp xỉ trựctiếp, phương pháp hàm thử trong giải tích Fourier, phương pháp đánh giá quahàm trung gian, vv

Đặc biệt, phương pháp nghiên cứu trong luận án này có tính kiến thiết,các hệ mờ thường được xây dựng trực tiếp thông qua mẫu học cho trước.Nhờ đó chúng tôi đưa ra được các phương pháp cụ thể để xây dựng hệ mờ

mà không cần thông qua các quá trình luyện tham số của hệ Các tính toánđược thực hiện với sự hỗ trợ của các phần mềm thông dụng như Matlab 6.5

và Maple 10

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Luận án dài 112 trang, ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mụclục, Bảng kí hiệu, Các hình vẽ và biểu bảng, Mở đầu, Kết luận, Kiến nghịmột số hướng nghiên cứu tiếp theo, Danh mục các công trình và Tài liệu tam

khảo, luận án gồm 4 chương:

- Chương 1 nêu lên những kiến thức và các kết quả phụ trợ sẽ được dùngtrong suốt luận án Các khái niệm về hệ mờ, hệ mờ Mamdani, hệ mờ Takagi-Sugeno, hệ mờ phân tầng sẽ được đưa ra trong chương này Các công thức vàcác phép toán thường được sử dụng trong lý thuyết hệ mờ cũng được đưa ra

- Chương 2 dành cho việc nghiên cứu khả năng xấp xỉ hàm số của hệ

mờ Bằng cách sử dụng hàm tuyến tính từng mảnh làm trung gian, chúng tôichứng minh được lớp hàm liên tục có thể được xấp xỉ bởi lớp hệ mờ đa tuyếntính từng mảnh hoặc lớp hệ mờ phân tầng với độ chính xác tùy ý Tùy thuộcvào mục đích (chọn hệ mờ có công thức đơn giản hay chọn hệ mờ có số luậtđược sử dụng ít nhất) mà chúng tôi sử dụng hệ mờ đa tuyến tính từng mảnhhoặc hệ mờ phân tầng để xấp xỉ hàm số Cuối cùng, với lớp hàm số khả tíchbậc hai, chúng tôi sử dụng một lớp hệ mờ hàm Spline xấp xỉ hàm số với độchính xác tùy ý Kết quả nhận được không những đúng cho hàm khả tích trêntập compact, mà còn đúng cho hàm khả tích trên toàn bộ Rn Phép chứngminh của chúng tôi có tính kiến thiết Do vậy chúng tôi có thể đưa ra thuậttoán cụ thể để xây dựng hệ mờ từ các dữ liệu cho trước Các ví dụ cụ thểđược đưa ra nhằm minh họa cho các kết quả đạt được

- Trong Chương 3 chúng tôi xây dựng khái niệm hệ mờ hàm hạch trongkhông gian nhiều chiều và sử dụng hệ mờ này để xấp xỉ hàm số liên tục trongkhông gian Rn Một kết quả xấp xỉ đồng thời cho hàm nhiều biến khả vi liêntục bởi hệ mờ hàm hạch được chứng minh (Định lý 3.2.3) Hơn nữa, chúng tôinhận được một số đánh giá về tốc độ xấp xỉ đều của hệ mờ hàm hạch cho hàmnhiều biến bị chặn Lipschitz (Định lý 3.3.1) hoặc cho hàm một biến liên tục(Mệnh đề 3.3.4, Mệnh đề 3.3.7) Kết quả cho thấy, tốc độ xấp xỉ đều của hệ

mờ đối với các lớp hàm trên là cùng bậc với tốc độ hội tụ của dãy (log k/k)α.Cuối chương là một số ví dụ minh hoạ cho những kết quả đạt được

- Chương 4 nghiên cứu khả năng xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên bởi hệ mờ

Ý tưởng chính của chương này là chuyển một hệ mờ thông thường (hệ mờMamdani 1-chiều hàm Spline) thành một hệ mờ ngẫu nhiên, từ đó đưa ra kếtquả xấp xỉ cho quá trình ngẫu nhiên Mục 4.1 trình bày khả năng xấp xỉ cholớp quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục đều hầu khắp nơi bởi lớp hệ mờ

ngẫu nhiên Kết quả mở rộng hơn cho việc xấp xỉ quá trình ngẫu nhiên thuộclớp H(ϕ) được đưa ra ở mục 4.2 Trên cơ sở biểu diễn tích phân của hàm

tự tương quan Bϕ(◦, ◦) và phân tích phổ của các quá trình ngẫu nhiên tronglớp H(ϕ), chúng tôi xây dựng được một lớp hệ mờ ngẫu nhiên tương ứng vàchứng minh được lớp hệ mờ ngẫu nhiên này xấp xỉ lớp H(ϕ) theo nghĩa bìnhphương trung bình (Định lý 4.2.5) Cuối chương dành cho ví dụ minh họa vớicác tính toán được thực hiện trên phần mềm Matlab 6.5 và Maple 10

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các kết quả của luận án góp phần hoàn thiện lí thuyết về xấp xỉ của hệ

mờ và lý thuyết hệ mờ Các kết quả này có ứng dụng số và có thể áp dụngđược trong thực hành Một số ý tưởng và phương pháp được dùng trong luận

án có thể dùng để nghiên cứu các bài toán xấp xỉ tương tự Phương phápchứng minh mang tính kiến thiết, áp dụng trong tin học để đưa ra các thuậttoán tương ứng, góp phần giải quyết các bài toán thực tế

Nội dung chính của luận án này đã được công bố trong các công trìnhđược liệt kê ở mục Danh mục công trình (trang 105) và được tác giả báocáo tại:

- 10th-International Conference on Control, Automation, Robotics and sion, Hanoi, December 2008

Vi Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 7, Quy nhơn, 2008

- Trường thu về Hệ mờ, mạng Nơ ron và ứng dụng lần thứ 4, Viện Toánhọc, 2008

- Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ IV về Nghiên cứu cơ bản và ứng dụngCông nghệ thông tin, Trường Đại học Công nghệ - ĐHQG Hà Nội, 2009

- Xemina "Hệ mờ, mạng Nơ ron và ứng dụng", Trường Đại học Bách khoa

Hà nội

về biến ngẫu nhiên và không gian xác suất (xem trong [3, 4, 13, 29]).

1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết tập

µAe : X → [0, 1]

Hàm số µAe được gọi là hàm thuộc (hay hàm hội viên) của tập mờ eA và Xđược gọi là không gian nền (hay tập nền) của tập mờ eA

Nếu tồn tại x ∈ X sao cho µAe(x) = 1 thì eA được gọi là một số mờ

Ta ký hiệu F(X) là tập tất cả các tập mờ xác định trên không gian nền

X

Các phép toán trên tập mờ

Cũng tương tự như lý thuyết tập rõ, những phép toán cơ bản của lý thuyếttập mờ là phép hội, phép tuyển, phép bù mờ Những phép toán này được địnhnghĩa thông qua các phép toán giữa các hàm thuộc của các tập mờ

Ví dụ 1.1.3 Các hàm S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] sau đây là các t−đối chuẩn

S(x1, x2) = max{x1, x2}, (1.1)S(x1, x2) = min{1, x1 + x2} (1.2)

Khi t−đối chuẩn S được xác định như (1.1) ta nói phép hợp được lấy theoluật max Khi t−đối chuẩn S được xác định như (1.2) ta nói phép hợp đượclấy theo luật sum (hay luật Lukasiewicz)

Ví dụ 1.1.5 Các hàm số sau là các t− chuẩn

T (x1, x2) = min{x1, x2}, (1.3)

T (x1, x2) = x1.x2 (1.4)

Khi t−chuẩn T được xác định như (1.3) ta nói phép giao được lấy theoluật min Khi t−chuẩn T được xác định như (1.4) ta nói phép giao được lấytheo luật tích đại số.

c) Phép bù mờ

Định nghĩa 1.1.6 Cho eA là tập mờ trên không gian nền X với hàm thuộc

µAe Tập mờ bù của tập mờ eA là tập mờ ¬ eA với hàm thuộc

µAe× eB(x, y) = T (µAe(x), µBe(y)),∀ (x, y) ∈ X × Y, (1.5)trong đó T là một toán tử t−chuẩn

Trong luận án này chúng tôi thường sử dụng t−chuẩn tích để biểu diễnhàm thuộc cho tích Đề các của các tập mờ

d) Phép tích hợp của các quan hệ mờ

Định nghĩa 1.1.9 Cho eP và eQ lần lượt là các quan hệ mờ trên các khônggian nền X × Y và Y × Z Khi đó phép tích hợp mờ của hai quan hệ mờ eP

và eQ là một quan hệ mờ eP ◦ eQ xác định trên X × Z và có hàm thuộc đượcxác định theo quy tắc kết hợp như sau

• x là tên của biến,

• T (x) là tập các giá trị ngôn ngữ của biến x,

• X ⊂ R là miền giá trị vật lý của biến x,

• R là quy tắc cú pháp sinh các giá trị ngôn ngữ cho tập T (x),

• M là quy tắc ngữ nghĩa cho phép gán mỗi giá trị ngôn ngữ trong tập

T (x) với một tập mờ trên không gian nền X

ta một cấu trúc điển hình của một hệ mờ

1.2.1 Cấu trúc của một hệ mờ

Trong luận án này chúng tôi xét các hệ mờ với n biến vào x1, , xn vàmột biến ra y Ở đây ta giả sử xi (i = 1, , n) là các biến ngôn ngữ vào vớimiền giá trị vật lý tương ứng là Xi còn y là biến ngôn ngữ ra với miền giá trịvật lý là Y Ta gọi X = X1 × × Xn và Y lần lượt là không gian vào và racủa hệ mờ Để xây dựng một hệ mờ cần thực hiện bốn công đoạn: xây dựng

hệ cơ sở luật mờ, động cơ suy diễn mờ, mờ hóa và giải mờ

Hình 1.1: Cấu trúc của một hệ mờ

Cơ sở luật mờ

Một cơ sở luật mờ là một tập các luật mờ dạng IF-THEN, chẳng hạn như

IF x1 is eA1j1 and and xn is eAnjn THEN y is eBj1 jn, (1.7)với eAiji ∈ F(Xi) là những giá trị ngôn ngữ của các biến vào xi còn eBj1 jn ∈

F(Y ) là giá trị ngôn ngữ của biến ra

Động cơ suy diễn mờ

Trong động cơ suy diễn mờ, người ta sử dụng những nguyên lý của lô gic

mờ để kết hợp những luật mờ IF-THEN trong cơ sở luật mờ thành một ánh

xạ đi từ tập F(X) tới tập F(Y ) Để tính toán trong động cơ suy diễn mờngười ta thường coi các luật IF-THEN trong hệ cơ sở luật mờ là độc lập với

nhau Khi đó ta sẽ sử dụng toán tử t− đối chuẩn để gộp các tập mờ đầu racủa động cơ suy diễn mờ.

Mờ hoá

Mờ hoá là một ánh xạ biến mỗi điểm x ∈ X ⊂ Rn thành một tập mờ eAx

trên X Quy trình mờ hoá thường tuân theo một số quy tắc như sau: (i) µAe

x

đạt giá trị lớn nhất tại x, (ii) Nếu tín hiệu vào bị nhiễu thì mờ hoá phải giúp

ta khử nhiễu, (iii) quy trình mờ hoá phải giúp cho việc tính toán trong động

cơ suy diễn mờ được thuận lợi Trong điều khiển mờ, người ta thường hay sửdụng phương pháp mờ hoá đơn tử

Mờ hoá đơn tử Trong phương pháp mờ hoá đơn tử, hàm thuộc của tập mờe

Giải mờ là một ánh xạ biến một tập mờ eBx ∈ F(Y ) ( eBx là đầu ra của động

cơ suy diễn mờ) thành một điểm y ∈ Y Quy trình giải mờ thường phải đảmbảo ba nguyên tắc sau: (i) tính tin cậy: y thường là một điểm có tính trựcgiác; (ii) thuận lợi cho việc tính toán; (iii) tính liên tục: một sự thay đổi nhỏcủa eBx không ảnh hưởng lớn đến y Trong các phương pháp giải mờ, người tathường sử dụng phương pháp trung bình điểm trọng tâm

Phương pháp trung bình điểm trọng tâm Giả sử eBx = SM

l=1Bel

x là hợpcủa M tập mờ, với yl và wl lần lượt là trọng tâm và chiều cao của tập mờ eBxl.Khi đó phương pháp trung bình điểm trọng tâm cho phép ta tính y như sau

1.2.2 Một số hệ mờ thường gặp

a) Hệ mờ Mamdani

Vào năm 1974, E H Mamdani và S Assilian đã thiết lập được khung

cơ bản cho một bộ điều khiển mờ (với các công đoạn như trong hình 1.1)

và áp dụng thành công trong điều khiển động cơ hơi nước (xem trong [24]).Mamdani đã sử dụng các bước để xây dựng hệ mờ Mamdani như sau

•) Công đoạn mờ hóa Với mỗi tín hiệu vào rõ x = (x1, , xn) ∈ X, quytrình mờ hóa xác định cho ta một tập mờ eAx trên không gian nền X Trongluận án này, khi xây dựng hệ mờ Mamdani chúng tôi sử dụng phương pháp

mờ hóa đơn tử

•) Cơ sở các luật mờ Xét cơ sở các luật gồm Qni=1(mi+ 1) luật mờ dạngIF-THEN trong đó luật thứ j1 jn, (ji ∈ {0, 1, , mi}, i = 1, 2, , n) đượcxác định như sau

Rj 1 j n : IF x1 is eA1j1 and and xn is eAnjn THEN y is eBj 1 j n, (1.10)với eAiji ∈ F(Xi) là những giá trị ngôn ngữ của các biến vào xi còn eBj 1 j n ∈

F(Y ) là giá trị ngôn ngữ của biến ra Ở đây ta giả thiết eBj1 jn là những số

mờ với µBe

Ta có thể coi mỗi mệnh đề kéo theo mờ (1.10) là một quan hệ mờ giữakhông gian vào X = X1 × · · · × Xn và không gian ra Y của hệ mờ Đặte

Aj 1 j n = eA1j1 × · · · × eAnjn khi đó (1.10) được viết lại dưới dạng như sau

Rj1 jn : eAj1 jn → eBj1 jn, (1.11)với hàm thuộc

Đầu ra của động cơ suy diễn mờ được tính theo quy tắc hợp của các đầu

ra của mỗi mệnh đề (1.10) như sau

ji(xi).yj 1 j n, x ∈ X (1.17)

Ta gọi hệ mờ có n biến vào và một biến ra, được đặc trưng bởi hệ cơ sở cácluật IF-THEN (1.10), động cơ suy diễn tính theo công thức (1.14) và (1.15),

sử dụng phương pháp mờ hóa đơn tử và phương pháp giải mờ trung bình điểmtrọng tâm là hệ mờ Mamdani n chiều Để đơn giản ta gọi đầu ra của hệ mờđược tính theo công thức (1.17) là hệ mờ Mamdani n chiều

b) Hệ mờ Takagi-Sugeno

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày hệ mờ Takagi-Sugeno với n biếnvào x1, x2, , xn và một biến ra y, các biến vào và biến ra này là những biếnngôn ngữ Giả sử biến ngôn ngữ xi (i = 1, , n) được xác định trên 2mi + 1tập mờ { eAi(−m

i ), , eAi0, , eAimi}, các hàm thuộc tương ứng với eAiji (ji =

0,±1, , ±mi) là µAei

ji

Quan hệ vào ra (Input/Output) của hệ mờ dạng Takagi-Sugeno được thựchiện qua các bước như sau

Để đơn giản chúng tôi cũng gọi hệ mờ Takagi-Sugeno n chiều là hệ mờ cóđầu ra được tính theo công thức

Xét hệ mờ với x1, x2, , xn là các biến vào, mỗi biến vào xi (i = 1, , n)

là một biến ngôn ngữ xác định trên (2N+1) số hạng ngôn ngữ eAiji (ji =

−N, , N) Hệ mờ phân tầng với M tầng (M < n) được xây dựng như sau:

•) Ở tầng thứ nhất ta xét hệ mờ dạng Takagi-Sugeno dạng đơn giản với

n1 (n1 < n) biến vào x1, , xn 1 và hệ luật mờ cơ sở cho ở dạng đơn giản nhưsau:

IF x1 is eA1j1 and and xn1 is eAn1

jn1 THEN y1,N = aj 1 jn1,Đầu ra của hệ mờ (ở bậc thứ nhất) được tính như sau

•) Ở tầng thứ hai ta sẽ sử dụng n2 + 1 biến vào xn1+1, , xn1+n2, y1,N.Như vậy biến ra y1,N của tầng thứ nhất được sử dụng luôn làm biến vào chotầng thứ hai và ta sử dụng các luật mờ cơ sở như sau:

Thay y1,N từ phương trình (1.25) vào phương trình (1.26) ta được

n2 +· · · + nk (k = 2, , M) Tiến hành tương tự như trong các bước trên tathu được đầu ra của hệ mờ như sau

µBei

ki(ym −1,N).ak 1 k m−1 j 1 jdmN

Ta gọi y1,N, y2,N, , yM,N, xác định bởi các phương trình (1.25), (1.27) và(1.29) với các tham số ak1 km−1j1 jdm, cmkm−1 (m = 2, , M) thỏa mãn hệ (1.28)

• Ω là tập hợp tùy ý gồm các phần tử ω;

• A là σ−đại số các tập con của Ω;

• P là độ đo xác suất σ−cộng tính (nói ngắn gọn là xác suất trên A)

là không gian xác suất

Biến ngẫu nhiên Cho (Ω, A) là một không gian đo Hàm thực u : Ω → Rđược gọi là một biến ngẫu nhiên nếu

{ω : u(ω) ∈ B} = u−1(B)∈ A với mỗi B ∈ B(R),

ở đây B(R) là σ−đại số các tập Borel của trục thực R

Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, A) là một không gian đo và T là tập concủa tập số thực R Ta gọi ϕ = {ϕ(t)| t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên trênkhông gian (Ω, A) nếu với mỗi t ∈ T, ϕ(t) là một biến ngẫu nhiên

Kì vọng của biến ngẫu nhiên Cho u : (Ω, A, P ) → R là một biến ngẫunhiên Nếu tồn tại tích phân RΩudP thì ta gọi tích phân đó là kì vọng củabiến ngẫu nhiên u và kí hiệu là E(u)

Hàm tự tương quan Cho ϕ = {ϕ(t)| t ∈ T} là một quá trình ngẫu nhiên.Khi đó ta gọi

• hàm m(t) = Eϕ(t) là hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên ϕ;

• hàm Bϕ(s, t) = E(ϕ(s)− m(s))(ϕ(t) − m(t)) là hàm tự tương quan củaquá trình ngẫu nhiên ϕ

Quá trình ngẫu nhiên dừng Quá trình ngẫu nhiên ϕ = {ϕ(t)| t ∈ T} đượcgọi là dừng nếu

được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên u.

Hàm mật độ xác suất Hàm phân phối Fu(x) được gọi là liên tục tuyệt đốinếu có một hàm Borel f(x) sao cho

Chương 2 XẤP XỈ HÀM SỐ BỞI HỆ MỜ

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu khả năng xấp xỉ hàm số của hệ

mờ Những kết quả được trình bày tuần tự theo hướng phát triển: từ xấp xỉhàm tuyến tính và đa tuyến tính từng mảnh, đến xấp xỉ hàm phi tuyến liêntục và cuối cùng là xấp xỉ hàm khả tích bậc hai

Đầu tiên, các khái niệm về hàm tuyến tính hoặc đa tuyến tính từng mảnhđược giới thiệu trong tiểu mục 2.1.1 Một lớp các hệ mờ Mamdani, với cácgiá trị ngôn ngữ của các biến vào có hàm thuộc là các hàm tam giác, đượcxây dựng để có thể biểu diễn chính xác một hàm đa tuyến tính từng mảnhtrên X (Định lý 2.1.6) Do đó ta gọi lớp hệ mờ này là lớp hệ mờ đa tuyếntính từng mảnh và sử dụng chúng để xấp xỉ hàm phi tuyến liên tục Kếtquả được trình bày trong Định lý 2.1.10 Trong tiểu mục 2.1.2, chúng tôi giớithiệu về hàm Spline bậc hai cùng lớp các hệ mờ Takagi-Sugeno phân tầng sửdụng hàm thuộc của các tập mờ đầu vào là các hàm Spline bậc hai Sử dụnglớp hệ mờ này, chúng tôi nghiên cứu tính chất xấp xỉ cho lớp hàm phi tuyếnliên tục (Định lý 2.1.13) Một thuật toán cụ thể cho phép xây dựng hệ mờTakagi-Sugeno phân tầng để xấp xỉ hàm số liên tục được trình bày chi tiếttrong tiểu mục 2.1.3 cùng với những ví dụ minh họa cho thuật toán

Khả năng xấp xỉ hàm số khả tích bậc hai của hệ mờ được trình bày trongmục 2.2 Bằng cách sử dụng hệ mờ Mandani với các hàm thuộc của tập mờđầu vào là hàm Spline bậc hai, chúng tôi chứng minh được rằng chúng khôngnhững có thể xấp xỉ hàm số khả tích bậc hai trên tập compact X, mà cònxấp xỉ các hàm số khả tích bậc hai trên Rn

+ Kết quả chính được trình bàytrong Định lý 2.2.2 Cuối chương dành cho việc đưa ra những ví dụ minh họa

cụ thể Nội dung chính của chương được viết dựa trên các công trình 1 và 2trong danh mục các công trình của tác giả

2.1 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ

Giả sử không gian vào của hệ mờ là hình hộp trong Rn xác định bởi

X = [α1, β1]× [α2, β2]× · · · × [αn, βn],trong đó αi < βi (i = 1, , n) Chia đoạn [αi, βi] thành mi đoạn con bằngnhau bởi các điểm chia đều

αi = ei0 < ei1 < · · · < eim i = βi (i = 1, 2, , n),trong đó

2.1.1 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ đa tuyến tính từng

mảnh

a) Hàm tuyến tính và đa tuyến tính từng mảnh

Định nghĩa 2.1.1 Hàm liên tục g : X → R được gọi là hàm tuyến tính từngmảnh nếu g là tuyến tính trên mỗi hình hộp Xj 1 j n, tức là với mỗi j1 jn ∈ I,

ta có

g(x1, , xn) = a0j1 jn + a1j1 jnx1 +· · · + anj 1 j nxn, (x1, , xn) ∈ Xj 1 j n,trong đó ai

e i

ji −e i ji−1 nếu ei

j i −1 < xi ≤ ei

j i,

x i −e i ji+1

e i

ji −e i ji+1 nếu ei

j i < xi ≤ ei

j i +1,

0 các trường hợp khác Nhận xét 2.1.3 Dễ thấy rằng các khẳng định sau luôn đúng với các tập mờtam giác eAij :

Hình 2.1: Đồ thị của các số mờ tam giác eAiji

Từ Nhận xét 2.1.3 ii) ta thấy hệ mờ Mamdani n chiều (1.17) có thể viếtdưới dạng thu gọn hơn như sau

đa tuyến tính từng mảnh trên X

Chứng minh Để đơn giản, chúng tôi chỉ chứng minh cho trường hợp n = 2(trường hợp n > 2 được chứng minh tương tự)

Với x ∈ Xj 1 j 2 = [e1j1, e1j1+1]× [e2j 2, e2j2+1] ta có

Fm 1 m 2(x) = X

l 1 l 2 ∈I 22

µAe1 j1+l1(x1)µAe2

Thay các công thức trong (2.6) vào (2.5) ta dễ dàng thấy Fm1m2(x) là hàm đatuyến tính trên mỗi Xj1j2 Do đó Fm1m2(x) là hàm đa tuyến tính từng mảnh

Nhận xét 2.1.5 Từ Bổ đề 2.1.4 ta thấy rằng một hệ mờ Mamdani n chiều(2.4), với các hàm thuộc của biến vào xi (i = 1, , n) là các hàm tam giác(2.3), là một hàm đa tuyến tính từng mảnh trên X Do đó ta có thể gọi MTn

là lớp hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh Hơn nữa với một hàm đa tuyến tínhtừng mảnh bất kỳ, luôn xây dựng được một hệ mờ đa tuyến tính từng mảnhđồng nhất với hàm số khắp nơi Kết luận đó được phát biểu và chứng minh

cụ thể trong định lý sau

Định lí 2.1.6 Cho g : X → R là một hàm đa tuyến tính từng mảnh trên

X và Fm1 mn ∈ MTn là một hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh với yj1 jn =g(e1j1, , enjn) (ji = 0, 1, , mi; i = 1, , n), trong đó{ei

j i, (ji = 0, 1, , mi; i =

1, , n)} được xác định từ (2.1) Khi đó ta có Fm 1 m n(x) = g(x) với mọi x ∈ X

Chứng minh Để đơn giản, chúng tôi chỉ chứng minh cho trường hợp n = 2(trường hợp n > 2 được chứng minh tương tự)

Nếu ta xét trên mỗi hình hộp con Xj1j2 = [e1j1, e1j1+1]× [e2j 2, e2j2+1], thì hệ mờMamdani Fm 1 m 2(x) có dạng rút gọn như sau

Fm 1 m 2(x) = X

l 1 l 2 ∈I 22

µAe1 j1+l1(x1)µAe2

Vì g(x1, x2) liên tục nên lim

x 1 →e 1

x 1 →e 1 j1+1 +0g(x1, ej2) Do đó

Dễ thấy µAei

ji(xi) + µAei

ji+1(xi) = 1 với xi ∈ [ej i, eji+1] (i = 1, 2), do đóX

Do đó từ (2.10)-(2.13) ta có

Fm 1 m 2(x) = a00j1j2 + a10j1j2x1+ yj011j2x2 + y11j1j2x1x2 = g(x), (2.14)đúng với mọi x = (x1, x2) ∈ Xj 1 j 2

Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh đẳng thức (2.14) đúng chotrường hợp ji = mi − 1 (i = 1, 2) Do đó từ (2.2) ta nhận được Fm 1 m n(x) =

Với chú ý rằng hàm tuyến tính từng mảnh chỉ là một trường hợp riêng củahàm đa tuyến tính từng mảnh, nên ta có hệ quả sau

Hệ quả 2.1.7 Giả sử g : X → R là một hàm tuyến tính từng mảnh và

Fm 1 m n ∈ MTn là hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh với yj1 jn = g(e1j1, , enjn),(ji = 0, 1, , mi; i = 1, , n) Khi đó ta có Fm 1 m (x) = g(x) với mọi x ∈ X

c) Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh

Ta ký hiệu C(X) là không gian các hàm thực liên tục trên tập X Với mỗi

Bổ đề 2.1.8 Giả sử f : X → R là một hàm liên tục Khi đó với mỗi ε > 0 tùy

ý cho trước, tồn tại một hàm tuyến tính từng mảnh S sao cho kS −fkC(X) < ε

Chứng minh Để đơn giản trong cách trình bày chúng tôi chứng minh định lýcho trường hợp n = 2 (trường hợp n > 2 được chứng minh tương tự)

Vì f liên tục đều trên tập compact X, nên với ε > 0 ta có thể chọn số

∆ =

hàng còn lại của ∆, sau đó khai triển định thức theo hàng thứ nhất ta có

Gọi S là hàm nối của các hàm Sk (k = 1, 2, , 2m1m2), tức là với mỗi

k ∈ {1, 2, , 2m1m2} ta đặt S(x, y) = Sk(x, y) với mọi (x, y) ∈ ∆k Khi đó S

là một hàm tuyến tính từng mảnh trên X và |S(x, y) − f(x, y)| < ε, ∀(x, y) ∈

D2(Sk) = sup{|f (x, y + h2)− f(x, y)

h2 |; y, y + h2 ∈ [−α2, β2]},trong đó h1 = β1 −α 1

m 1 , h2 = β2 −α 2

m 2 Do đó ta có thể ước lượng giá trị D :=max{D1(Sk), D2(Sk)} từ những giá trị của hàm f

Định lí 2.1.10 Cho f : X → R là một hàm liên tục Khi đó với ε > 0 tùy

ý cho trước, tồn tại một hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh Fm1 mn sao cho

kFm 1 m n − fkC(X) < ε

Chứng minh Với ε > 0 tùy ý cho trước, từ Bổ đề 2.1.8 ta suy ra, tồn tại mộthàm tuyến tính từng mảnh S sao cho kS − fkC(X) < ε

Mặt khác, tồn tại một hệ mờ đa tuyến tính từng mảnh Fm 1 m n sao cho

Fm 1 m n(x) = S(x) với mọi x ∈ X (theo Hệ quả 2.1.7) Do đó ta có kFm 1 m n−

2.1.2 Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ phân tầng

Trong phần này, bằng cách sử dụng hàm Spline bậc hai làm hàm thuộccủa tập mờ đầu vào của hệ mờ, chúng tôi nhận được kết quả xấp xỉ của hệ

mờ Takagi-Sugeno phân tầng (gọi tắt là hệ mờ phân tầng) cho lớp các hàmphi tuyến liên tục

a) Hàm Spline và phép phân hoạch mờ

Với N, m ∈ N cho trước, hàm Spline trên R là hàm có dạng

eA(t) :=

N ≤ t ≤ −2Nm ,

1− 2(Nmt)2 nếu − m

2N ≤ t ≤ 2Nm ,2(N tm−m)2 nếu m

• 0 ≤ A(t) ≤ 1 với mọi t ∈ R,

• Hàm Spline là hàm chẵn, tức là A(−t) = A(t) với mọi t ∈ R

•) Cho đoạn [a, b] ⊂ R và số tự nhiên N, ta chia đoạn [a, b] thành N đoạnbằng nhau N + 1 số mờ eAj, j = 0, 1, , N được gọi là một phép phân hoạch

mờ đoạn [a, b] nếu

µAe

j(t) = eA(t− (a + jb− a

N )), j = 0, 1, , Ntrong đó eA(◦) là hàm Spline (2.18) với m = b − a

j(t) = 1 với mọi t ∈ [a, b] (2.19)

Ví dụ 2.1.12 Xét phép phân hoạch mờ đoạn [−1, 1] bởi 11 số mờ hàm SplineA(−5), A(−4), , A4, A5 Hình 2.2 dưới đây biểu diễn đồ thị của các hàmthuộc của các số mờ đó

Hình 2.2: Đồ thị hàm thuộc của các số mờ Spline A(j), j = −5, , 5

b) Hệ mờ phân tầng

Trong phần này, để đơn giản trong cách trình bày, chúng tôi xét khônggian vào của hệ mờ là X = [−1, 1]n Chia đoạn [−1, 1] thành 2N đoạn bằngnhau: [k −1

N ,Nk] với k ∈ {−N + 1, , N} Đặt J = {0, ±1, , ±N} Trêntrục thứ i, ta xét một phép phân hoạch mờ của đoạn [−1, 1] bởi các số mờe

Aiji (ji ∈ J, i = 1, 2, , n) với hàm thuộc như sau

µAei

ji(t) = eA(t− ji/N ) với ji ∈ {0, ±1, , ±N}, (2.20)

trong đó eẶ) là hàm Spline bậc hai được xác định trong (2.18) với m = 1.Chúng tôi xét hệ mờ Takagi-Sugeno phân tầng y1,N, y2,N, , yM,Nvới Mtầng và n biến vào x1, x2, , xn (xem mục 1.2.2) cùng với phép phân hoạchmiền X thành (2N)n hình hộp con Xj 1 j n Mỗi biến vào xi là một biến ngônngữ xác định trên (2N+1) số hạng ngôn ngữ eAiji (ji ∈ J, i = 1, , n) đượcxác định như (2.20).

c) Xấp xỉ hàm liên tục bởi hệ mờ phân tầng

Sử dụng hàm tuyến tính từng mảnh làm trung gian, chúng tôi chứng minhđược khả năng xấp xỉ của hệ mờ phân tầng cho lớp hàm phi tuyến liên tục.Kết quả được trình bày cụ thể trong định lý saụ

Định lí 2.1.13 Cho f : X → R là một hàm liên tục Khi đó với ε > 0 tùy

ý cho trước, tồn tại một hệ mờ Takagi-Sugeno phân tầng y1,N, y2,N, , yM,N,xác định bởi các phương trình (1.25), (1.27) và (1.29), sao cho

trên mỗi hình hộp con Xj1 jn, ji ∈ {−N, −N + 1, , N − 1}, i = 1, , n

Áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm nhiều biến ta nhận được bấtđẳng thức sau

...

2.1.2 Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng

Trong phần này, cách sử dụng hàm Spline bậc hai làm hàm thuộccủa tập mờ đầu vào hệ mờ, nhận kết xấp xỉ hệ

mờ Takagi-Sugeno... thị hàmthuộc số mờ

Hình 2.2: Đồ thị hàm thuộc số mờ Spline A(j), j = −5, ,

b) Hệ mờ phân tầng

Trong phần này, để đơn giản cách trình bày, chúng tơi xét khơnggian vào hệ mờ. .. Xấp xỉ hàm liên tục hệ mờ phân tầng

Sử dụng hàm tuyến tính mảnh làm trung gian, chúng tơi chứng minhđược khả xấp xỉ hệ mờ phân tầng cho lớp hàm phi tuyến liên tục.Kết trình bày cụ thể định