Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số được viết nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG

Người thực hiện : NGUYỄN THỊ THANH Lĩnh vực nghiên cứu :

Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học bộ môn :………

Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :………

Có đính kèm :

Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác

BM 01-Bia SKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :

1 Họ và tên : NGUYỄN THỊ THANH

2 Ngày tháng năm sinh : 20 - 04 - 1987

8 nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11C7 11C11

9 Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO :

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng : 2010

- Chuyên ngành đào tạo : Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC :

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy Toán

- Số năm có kinh nghiệm : 05 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây : Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng

BM02-LLKHSKKN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

- Trong năm học vừa qua tôi được phân công giảng dạy lớp 12 Đa số học sinh

còn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn

- Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn giải tích 12 học sinh đã

được tiếp cận với các vấn đề liên quan đến khảo sát hàm số Tuy nhiên, trong chương trình SGK giải tích 12 hiện hành được trình bày ở chương I, phần bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa ra nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ năng giải cho học sinh Trong khi

đó, trong thực tế các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số rất phong phú và

đa dạng và đặc biệt trong các đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa

- Vì vậy tôi mới tổng hợp một số dạng bài tập để giúp các em học sinh lớp 12 có

thể tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt các đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

1 Cơ sở lí luận:

- Nhiệm vụ trung tâm của trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc

biệt là bộ môn Toán rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa

phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn

Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu nôm Toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Trong SGK giải tích 12 chỉ nêu một số bài tập liên quan đến khảo sát hàm số

đơn giản chưa tạo sự hứng thú, tìm tòi sáng tạo của học sinh Vì vậy khi gặp các bài toán phức tạo hơn các em sẽ lúng túng trong việc tìm lời giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) này với mục

đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

- Trong giới hạn SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán liên

quan đến khảo sát hàm số thường gặp

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

Đưa ra một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và đề ra phương pháp

giải

A LÝ THUYẾT

1 Dấu của tam thức bậc 2:

a) Dấu của tam thức bậc hai f(x)ax2 bxc(a0):

+ Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a

+ Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi

a

b x

2





+ Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với a khi xx1 hoặc x2 x trái dấu với a khi

c bx

c bx

ax

b) So sánh hai nghiệm của tam thức với số  :

)0()

(x ax2 bxc a

f có hai nghiệm x1, x2 và số R, ta có: + x1  x2 a.f()0

0

2 1

S

f a x

0 2

1

S

f a x

x

2 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

Định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K

+ f(x) đồng biến trên K  f (x)  0 , xK

+ f(x) nghịch biến trên K  f (x)  0 , xK

( f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K )

3 Cực trị của hàm số:

a) Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K  (x0h;x0 h)và

có đạo hàm trên K hoặc K \ x 0 , với h > 0

+ Nếu f (x)  0 trên (x0 h;x0) và f (x)  0 trên (x0;x0 h) thì x0 là điểm cực đại

+ Nếu f (x)  0 trên (x0 h;x0) và f (x)  0 trên (x0;x0 h) thì x0 là điểm cực tiểu

b) Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (x0h;x0h),

với h > 0 Khi đó:

+ Nếu f (x0)  0 và f  (x0)  0 thì x0 là điểm cực đại

+ Nếu f (x0)  0 và f  (x0)  0 thì x0 là điểm cực tiểu

c) x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì y (x0)  0

4 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)hàm số y = f(x) tại

) ( )

)

,

(

b a

c by ax M

) (

) (x B x A y B y A

AB   

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f (x)

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0)  (C)

 Tính f(x) và f (x0)

 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) là: y f (x0)(xx0)  y0

Ví dụ1 : Cho hàm số yx3x 3có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 5)

Giải:

Ta có: y  3x2 1, y ( 1 )  4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1; 5) là:

5 ) 1 ( 4 )

Ví dụ 3: Cho hàm số yx3 2x2  2x 4 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Tại điểm x0 là nghiệm của phương trình y (x0)  0

Giải:

a) Gọi A(x0;y0) là tiếp điểm Ta có A (C) Ox nên y0  0và x0 là nghiệm của phương trình x3  2x2  2x 4  0  x 2 Vậy A(2; 0)

Ta có y  3x2  4x 2 y ( 2 )  6

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 6 (x 2 )  0  y 6x 12

b) Gọi B(x0;y0) là tiếp điểm Vì B (C) Oy nên x0  0  y0  y( 0 )   4

2 ( , 27

88 3

2 0

2 ( 

27

100 3

2 27

88 ) 3

2 (

Ví dụ 4: Cho hàm số 4 2

2 4

1

x x

y  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) tại điểm có tung độ bằng

4 9

9 8 4

9 2 4

1 4

9

0 2

0

2 0 2

0 4 0 2

0 4 0

x x

x y

+ Với

4

9 ,

M là: 4

171 15

4

9 ) 3 (

4

9 ) 3 (

 Tiếp tuyến có phương trình dạng: ykxb

 Điều kiện tiếp xúc: hệ

b kx x f

) (

) (

có nghiệm b

 Kết luận

Chú ý:

+ Tiếp tuyến song song đường thẳng d: yaxb thì f (x0) a

+ Tiếp tuyến song song đường thẳng d: y axb thì

a x

f ( 0)  1

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2

1 3

Giải:

Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm Ta có 2

) 2 (

) 2 ( 7 ) 2 (

7 7

) (

0

0 2

0 2

0 0

x

x x

x x

y

+ Với x0   3 y0  10 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M1(  3 ; 10 ) là:

31 7 10 ) 3 (

Gọi N(x0;y0) là tiếp điểm Ta có: y x2  2x

Vì tiếp tuyến song song với d:y x 5 nên

3

1 1

0 1 2 1

) ( 0    02  0    0    0  

N là:

3

4 3

1 ) 1 (     

Vì tiếp tuyến vuông góc với

8

1 8

1 0

1 8 :x y  y  x

4 1

0 8 4 4 8 ) ( 8

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm P( 1 ; 4 )là: y 8 (x 1 )  4  8x 4

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(x A;y A)  (C)

 Gọi  là tiếp tuyến cần tìm

  đi qua A(x A;y A) và có hệ số góc k có phương trình dạng:

A

x x

y x x k x

f A A

) (

) (

) (

3 3 ( )

4 4 1 0

4 3

0

0 0

2 0 0 2

0 3

0

x

x x

x x x

 đi qua A(-2; -1) và có hệ số góc k là: yk(x 2 )  1 kx 2k 1

k kx x

x

3 3

1 2 1

4 4 1 0

x x x

x

+ Với x 1 k 0 Vậy phương trình tiếp tuyến là: y  1

+ Với x0   2 k  9 Vậy phương trình tiếp tuyến là:

17 9 1 ) 2 (

9    

Vấn đề 2: Các dạng bài tập về đồng biến, nghịch biến

 Tìm tập xác định

 Tính f(x) Tìm các điểm x i (i 1 ; 2 ; ;n) tại đó f(x) bằng 0 hoặc f(x)

không xác định

 Lập bảng biến thiên

 Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến

Ví dụ 1: Xét tính đơn diệu của các hàm số sau:

Giải:

a) TXĐ: D = R

3 4

3 4

0 2

x

x x

x y

) 1 (

Vậy hàm số đồng biên trên mỗi khoảng ( ; -1), (-1;  )

0 x R a y

0 x R a y

 Dựa vào bảng biến thiên tìm m

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y x3 mx2 m đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) Giải: TXĐ: D = R

0 0

2 3

x

x mx

x y

+ TH1: m = 0

Ta có y   3x2  0 , xR suy ra hàm số nghịch biến trên R

Nên m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán

Nên hàm số không đồng biến trên (1; 2)

Kết luận: 3 m thì hàm số đồng biến trên (1; 2)

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y x3  3 ( 2m 1 )x2  ( 12m 5 )x 2 nghịch biến trên

) 2

1 6

1

1 2 2

0 29 36

6

1 6

1

2

2

0 ) 2 (

.

3

6

1 6

1

m m

m m

m m

m m

S

y

m m

6

1 6

1 36

b ax y

D \

) (cx d

bc ad y

y đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Giải:

TXĐ: DR\ 2 Ta có 2

) 2 (

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

3 0

3 2

y nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (  ;  2 ), (  2 ;  )

Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán (1)

+ TH2: m 0

) 2 (

1 3

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

3

1 2

, 0 1

 Tìm tập xác định

 Tính f(x) Giải phương trình f (x)  0 tìm các nghiệm x i (i 1 ; 2 ; ;n)

 Tính f (x) và f  (x i)

 Dựa vào dấu của f  (x i) suy ra tính chất cực trị của x i

Chú ý: Cách 1 dùng cho các hàm tính đạo hàm cấp hai phức tạp

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số

a) yx3  2x2 x 1 b)

1

3 2

1 0

1 4 3

x

x x

x y

1 0

1 4 3

x

x x

x y

y  6x 4

0 2 4 1 6 )

1 (     



y

Vậy hàm số đạt cực đại tại

5 2

6 1 0

5 2

x

x x

x y

 Tìm tập xác định

 Tính y

 Hàm số có một cực đại, một cực tiểu thì phương trình y  0 có hai

nghiệm phân biệt a m

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc 3 yax3 bx2 cxd

không có cực trị

 Tìm tập xác định

 Tính y

 Hàm số không có cực trị thì phương trình y  0vô nghiệm hoặc có

Chú ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm m để hàm số có cực trị mà hệ số a có

chứa tham số thì phải xét hai trường hợp a 0 và a 0

2  

x x y

Để hàm số có cực trị thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt

0 ) 2 ( 3 ) 1 (

6 2

2

6 2 2

6 2 0

0 1 4 2

0

2

m m

m m m

m m

m

Vậy

2

6 2 2

6 2 ,

0 3 4

vậy m = 0 không thỏa yêu cầu bài toán (1)

3 2 3 2 0

0 9 4

0 0

m m m

m

m m

m thỏa yêu cầu đề bài

Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số trùng phương yax4 bx2 c có ba cực trị

0 0

) 2

( 2 0

2 2

b ax

x b

ax x y

 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Chú ý: + Hàm trùng phương hoặc có một cực trị hoặc có ba cực trị

+ Nếu hệ số a chứa tham số thì ta phải xét hai trường hợp a 0 hoặc

0



a

Ví dụ 6 : Tìm tham số m để hàm số yx4  (m2 m)x2 m2  2 có ba cực trị Giải: TXĐ: D = R

0 0

) 2

( 2 0 ) (

2 4 0

2 2 2

2 2

3

m m x

x m

m x x x

m m x

Hàm số có ba cực trị  2x2 m2m 0 có hai nghiệm khác 0

m2 m 0   1 m 0

Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số trùng phương yax4 bx2 c

có một cực trị

0 0

) 2

( 2 0

2 2

b ax

x b

ax x y

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

0 0

) 3 2 2 ( 2 0

2 2

m x

x m

x x y

Hàm số có một cực trị  2x2 2m 3  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

2

3 0

2

3

2     

Bài toán 1: Tìm m để hàm số y f ( m x, ) có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

Ví dụ 8: Cho hàm số

m x

m x m x y

Giải: TXĐ: DR\ m

2

2 2

) (

1 2

m x

m mx

Ta có  2m2 1  0 , msuy ra pt y  0có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Vậy hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m

Gọi x1,x2(x1x2) là hai nghiệm của (1) ta có y CĐ y(x1)  2x1m 1,

1 2

1 ( 2 4

0 ) 1 2

)(

1 2

Ví dụ 9: Cho hàm số y x3 ( 2m 1 )x2  (m2 3m 2 )x 4có các điểm cực đại

và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung

Giải: TXĐ: D = R

Ta có y   3x2  2 ( 2m 1 )x (m2  3m 2 )

Hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung

0





 y có hai nghiệm trái dấu  3 (m2  3m 2 )  0  1 m 2

Bài toán 3: Tìm m để hàm số y f ( m x, ) có hai điểm cực trị nằm phía trên

( hoặc phía dưới ) trục hoành

y

y y

CT CĐ

0(**)

( Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành 0

x mx

x y

2

0 0

6 3

Hàm số có hai cực trị  2mm 0 (*)

Tọa độ hai điểm cực trị là A( 0 ; 4m3 4 ),B( 2m; 4 )

Hàm số có hai điểm cực trị nằm trên trục hoành

1 1

m m

 Tìm tập xác định

 Tính y

 + Hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương  y  0 có hai nghiệm

dương phân biệt

a c a b

+ Hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ âm  y  0 có hai nghiệm âm

a c a b

Ví dụ 11: Cho hàm số yx3 ( 2m 1 )x2 ( 2 m)x 2 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ âm

4

5 1

0 3 2

0 3

) 1 2 ( 2

0 5 4

0 0

m m

m m

m m

 Hàm số có hai cực trị y  0 có hai nghiệm phân biệt a m

c by ax AB

y   có hai cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng  :yx

x m

x x y

2

0 0

) 2 ( 3 0

Để hàm số có hai cực trị thì m 0 (*)

Gọi A, B là hai điểm cực trị Ta có A( 0 ; 4m3),B( 2m; 0 ) suy ra AB ( 2m;  4m3)Gọi I là trung điểm của AB Ta có I(m; 2m3)

0 :    

0 0

4 2

0 2 0

.

0 2

3

3 3

m

m

m m

m m u

AB

m m AB

m thỏa yêu cầu bài toán

Bài toán 6: Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị

cách đều gốc tọa độ O

 Tính y

 Hàm số có một cực đại, một cực tiểu thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt a m

Giải: TXĐ: D = R

Ta có y   3x2  6x 3 (m2  1 )

Để hàm số có cực trị thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt

0 ) 1 ( 3 6

3 2   2 



 x x m có hai nghiệm phân biệt

0 0

m x

m x x y

1

1 0

) 1 ( 3 6 3

Gọi A, B là hai điểm cực trị, ta có: A( 1 m; 2m3  2 ),B( 1 m;  2m3  2 )

Mà O cách đều A và B nên ta có OA = OB

2 3 2

2 3 2

) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 ( )

0 0

4

16 3

m

m m

m

(**)

m thỏa yêu bài toán

Bài toán 7: Tìm m hàm số y f ( m x, ) có các điểm cực trị tạo thành một tam

giác đặc biệt

 Tính y

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các cực trị (*)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị theo m

 Từ tính chất đặc biệt của tam giác suy ra m (**)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt

; ( ), 1 2

) 2 2

( ) 2 (

) 2 2

( )

0 0

) 1

2

(

m

m m

Kết hợp (*) và (**) ta có m =

2

1 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 15: Tìm m để hàm số 4 2 2

) 1 (

2 m x m x

y    có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

0 0

) 1 (

4

0

2 2

m x

x m

m x

x y

Gọi A, B, C là các điểm cực trị, ta có

) 1 2

; 1 (

), 1 2

; 1 (

Ta có: AB = AC nên tam giác ABC vuông tại A  AB.AC 0

) 1 (

1 0

1 ) 1 ( ) 1 ( 0 ) 1 (

)

1

(

3 3

4

m

m m

m m

m m

Kết hợp (1) và (2) ta có m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

Bài toán 8: Tìm m để hàm số y f(x,m) có các điểm cực trị tạo thành một

tam giác có diện tích a

 Tập xác định

 Tính y

 Tìm điều kiện m để hàm số có các điểm cực trị (*)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị theo m

y   có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 ( O là gốc tọa độ )

x mx

x y

2

0 0

6 3

m m

OA

B

) 3 (

2 3

)

,

(

2 3

48 2

3 2

1 48 ,

2

m

m m

m m OA

B d OA

Kết hợp (*) và (**) ta có m  2 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 17: Tìm m để hàm số yx4 2m2x2  1 có hai điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 32