Sáng kiến kinh nghiệm: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông - Phần 2

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông dưới đây để nắm bắt được những nội dung lí luận bổ túc kiến thức về tích phân, thực trạng thực tế khi chưa thực hiện sáng kiến kinh nghiệm và giải pháp mới. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

« Đây là sáng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin

2

1 )'

x x

x

a

ln

1 '

1)  u '   u  1 u/2) 1 '   2' (  0 )

2

' )'

u

u u

4) sinu' u' cosu

5) cosu'   sinu.u'6)  

8)  e u ' e u.u'9)  a u ' a u lna.u'10)  

a u

u u

a

ln

' '

11) 

u

u u

' '

.

d cx

c b d a d

cx

b ax

Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a,b) và có đạo hàm trên (a,b)

Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x

Và d(f(x))  f' (x)d(x)

Ta cò n dùng kí hiệu F(x)b F(b) F(a)

Ta cò n gọi a b là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm dưới dấu tích phân

6) Phương pháp đổi biến số

Định lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên   a b ;

Giả sử hàm số x (t)có đạo hàm liên tục trên đoạn  ,  sao cho

b a

) ( ) ( )

( )

( )

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx  ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx  '( )

 Bước 5: Áp dụng công thức trên

2 Thực trạng thực tế khi chưa thực hiện SKKN và giải pháp mới

Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3 câu hỏi trong thời gian 45 phút



x xdx

Bài toán 3 : Tính tích phân sau

2

0 cos



xdx x

Kết quả học sinh khi chưa được triển khai SKKN

* Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài toán trong đó

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

4 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với

từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thể hóa bài toán đó

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

1 ln 2

1

) 2

1

0 1

0

e e

2 1 ( 2

2 2

1 2

1 ln 2

1 2

1

) 2 1 ( 2

0 1

0

e e

x

u

x

2 1

1

3 0

1 ln

2

1 2

3 2

1 3

e u

- Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm

+ Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết.

+ Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian.

- Ở cách 2 biến đổi dài hơn nhưng một số bài tập tích phân phức tạp và cồng kềnh thì phương pháp đổi biến là sự lựa chọn thích hợp để tránh nhầm lẫn.

- Trong khi giảng dạy giáo viên nên định hướng cho học sinh làm bài tập bằng nhiều cách, vừa có mục đích khắc sâu, củng cố kiến thức, qua đó các em có thể chọn cho mình cách giải thích hợp, tối ưu nhất cho mỗi dạng bài tập đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho các em.

- Trong quá trì nh học, một phương án được gọi là phát triển tư duy nếu các bài

tập giải xong để tạo nên các bài tập khác Giáo viên làm mẫu trước sau đó hướng dẫn các em làm theo.

Cách tạo ra các bài tập mới từ 1.1

x

x x

0

2 2

2 1

Khi giải bài tập này ta làm như sau:

dx e

e x

e

x

x

x x

0

2 2

x

x x

0

2 2 1

) 2 1

dx e

e x

e

x

x

x x

0

2 2

e

e x

0 2

2

1 sin



e

e e x

x

x

x x

) 2 1 )(

cos (sin



= dx

e

e x e x e x x

x

x x

x

cos 2 sin 2 cos sin



= dx

e

x x

e x x



Vậy ta có bài tập mới

2)Tính tích phân

dx e

x x

e x

=1-3

2 1 ln 2

2 sin sin 2 cos

1

0 4

) 2 sin 1

0 4

sin 1

) 2 sin 1 ( 2

sin 1

4

2 sin sin 2 cos

sin



dx x

x x

x x

2 cos 2 sin sin sin

4

2 sin 1

2 cos (sin



2 ln 2

2 ln 2

1 ) 1 2

2



1.3) Tính tích phân

a) 4 

) cos sin

(



x x

x

x x

x

xdx x

cos sin

cos cos

x

x x x x

x



x x

x

x x x x x

cos cos

sin sin

sin ln cos

sin

) cos sin

0 4

x x

x

x

x x

sin ln cos

sin

) cos sin

0 4

x x

x x

x x

x d

Theo khảo sát ở phần trước, theo phương pháp truyền thống thông thường

nếu học sinh làm xong bài toán 4 

0 sin cos

cos



x x

x

xdx x

giáo viên dừng lại ngay Sẽ không có định hướng để các em tiếp tục phát triển

tư duy, chính vì vậy không có nhiều em giải chính xác bài toán thi đại học

A-2011, nhưng nếu người thầy sử dụng theo phương pháp mới đưa ra các bài toán tương tự và liên hệ chúng với nhau nhờ đó học sinh có thể dễ dàng giải được các bài toán tưởng chừng khá phức tạp.Từ đó giúp tư duy của các em linh hoạt hơn.Các em giải khá nhanh bài tập này.

x

x x x x

x

4

cos cos

sin



dx x x

x

x x

cos sin

cos 1

cos sin

cos

x x x

x

xdx x

1 2

2 ln 4





x x

x

x x x x x

cos cos

sin sin



x x

x

x x x x

x x

cos )

cos sin

( sin



x x

x

x x

cos sin

cos (sin

x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

+4 x dx

0 2 cos

0 2

0

2

1 2

sin 4



+ 4 x dx

0 cos 2

4 sin 2 1 2

2

2 cos 1

x

0 cos 2 4 sin 2

2 sin



(ĐH-A-2006)Giải

sin 3 1 (

0 2

3 1

3 1 3

=

3

2 )

x

0 1 sin 2 4 sin 2

2 sin



=

3

2 )

x

0 cos 2 4 sin 2

2 sin

1 4

t dt

Tổng quát:

sin cos

cos sin 2



x b x a

xdx x



dx x x

= sinx(A+B) +cosx( B –A)

3

B

A A

B

B A

x x

x x

x x

cos sin

cos sin

cos sin

2

7 cos

sin 2

x x

x x x

x

cos sin

sin 2

7 cos 2

7 cos sin 2 cos sin

x x

x

cos sin

2 sin 2

1 cos 4 sin

cos sin

2 sin 2

1 cos 4

sin

3



dx x

x

x x

2 2 sin 3 cos

10



dx x

x

x x

b) 2  

0

2

cos sin

2 2 sin 5 cos

14



dx x

x

x x

3



dx x

x x

Vậy ta có cách làm như sau:

2 sin

cos ) 1 (sin





dx x

1 2

t x

t x





dx x

dt t

cos



dx x

x x

cos 2 sin sin

3



dx x

x x

x x

x

cos sin ) 2 (sin 5



dx x

x x

Đặt sinx + 2 = t thì dt = cos x dx

2 , 2

5



dx x

x x x

cos sin 5



dx x

x x



t dt t

0 2

0 sin 2 1

2 cos

x x

x

1

) 2 ( 2

1

dt t

1

)

2 1 ( 2

1

dt t

2 1 2 sin

sin 2 1



dx x x

Đây chính là đề B-2003

3.4 Tính tích phân 2 

0

2 1 cos

cos sin 2



dx x

x x

*) Xét hàm số

x

x x

cos

1

cos

1

dt t

t

2 ln 2 1 ln

2 2 2 )

1 2

1

2 1

*) Biến đổi



x x

cos 1

cos 2 sin

1 ln

2

1 2

3

2 1

1 2

1 2

) 2

1

(

dx e

e e x

x

x x

0

2 2

2 1

2

dx e

e x e x

x

x x

1 2

) 2 1 (

dx e

e e x

x

x x

( ĐH – A_2010)

3.6) Tính tích phân: 4 

0 sin cos

cos



dx x x

x

x x

2 4

, 1

t x

t x

2 

*) Xét bài toán

Tính tích phân: 4  

0

) cos sin

.

cos 1

(



dx x x



dx x x

x

x x

.



dx x

x x

x x x x

2 

Ta có bài toán: Tính tích phân 4  

0 sin cos

cos ).

1 ( sin



dx x x

x

x x x

x

( Đại học A-2011 )

3.7) Tính tích phân:3ln.ln1dx

x x x

1 ln

(

e

e

dx x x

x

2 2 3

e e

dx

2 2 ln

1 ln

e e

dx x x

4 4 1 2 ln 4

4 8 2

4 2

1 ln ln

e

e

dx x

x

x x

x

1 2 ln 4

) ( )).

( ( )

(

x d x

g

x g x g f x

) ( )).

(

x d x

g

x g x g f

k

+ Đặt t= g(x)

+ Đổi cận và tính tích phân theo t

Biểu thức f(x) có thể có hoặc không có thành phần k.f(x) ở trường hợp này

k =0

Bài toán 4:Tính tích phân:

Giải:

Đặt t = sinx dt cos dx

2 , 0

(t t

6

1 6

1 4

Giải:

Đặt t = sinx dt cos dx

2 , 0

0

2 2

4 ( 1 t ) dt t

0

4 2

1 7

2 5

- Đặt t = sinx ( ưu tiên mũ chẵn)

- Đổi cận và tính tích phân theo t

Giải:

Đặt t = cosxdt  sinxdx

2 , 0

2

8 ( 1 t )dt t

1 9

1 )

- Đặt t = cosx ( ưu tiên mũ chẵn)

- Đổi cận và tính tích phân theo t

Giải:

Đặt t = cosxdt  sinxdx

2 , 0

0

2

5 ( 1 t )dt t

=

24

1 8

1 6

1 )

- Đặt t = cosx(nếu k>n), t = sinx (k < n) ( ưu tiên mũ lớn hơn)

- Đổi cận và tính tích phân theo t



xdx x

2 1



dx x x

0

2 2 (cos 2 1 ) sin

4

1 2 1



dx x x

0

2 2 cos 2 sin

8 1

4 cos



dx x



xdx

0 16 1



dx- 2 

0 4 cos 16 1



dx x

x

0 2

0 sin 2 64

1 6

2

cos

1 cos

1 tan





dx x x

6

2 2

2

cos

1 ) tan 1 ( tan





dx x x

x

, 3

2

2 ( 1 t )dx

3 1

2dt

t 3

3 1

4dt

15

8 3 42 5

3

3 3 1



xdx x

0

2

2 ) 1 ( t dt

2 5



xdx+ 2

0

2 1



dx

=

4 2

1 2

sin

4

0 2

2 cos 1



dx x x



dx x



dx x

4

0 4

0

8

1 4

sin 32

2 cos 1

1

dx x x

1

xdx+  

0

2 2 cos 4

1

dx x

1

dx x

0

2

2 ( 1 t ) dt t

=(t3 t5) 1  11  2

Bì nh luận: Thông qua bài toán 4 thấy rằng sau khi giải xong bài tập , việc hệ thống

lại các dạng tổng quát của bài tập đó là việc vô cùng cần thiết điều đó làm học sinh khắc sâu kiến thức và giải được một loạt các bài tập tương tự, giúp các em hứng thú

và say mê hơn trong việc sáng tạo các bài tập mới, góp phần phát triển tư duy cho các em

dx

Nhận xét:

Đây là tích phân của biểu thức có đồng thời sự xuất hiện của hàm sinx và cosx,

ta cần biểu diễn sinx và cosx theo một ẩn phụ nào đó, chỉ có thể là tan

2

2 2

2

2 1

1 2 1

2

t

t t

dt

2

3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 2

1 0 1



t dt

5.2) 2  

0 sin 3 cos 2



x x

2

2 2

2

3 1

1 2 1

2

t

t t

) 5

1 )(

1 ( 5

2

t t dt

= 



1 0

5 1

1 2

1

dt t

- 1 

0 1

1 2

1

dt t

1 ln 5

6 ln 2

2 1

5.3)

x x

x x

0 2 sin 3 cos

cos 16 sin 2



Giải:

dx x x

x x

0 2 sin 3 cos

cos 16

x x

0 2 sin 3 cos

cos 16 sin 2



x x

x x

x x

) cos 3 sin 2 ( 4 ) sin 3 cos

x x

0 2 sin 3 cos

sin 3 cos



= 4 

0 2 sin 3 cos

) cos 3 sin

x x

0 4



0

cos 3 sin

x x

x x

x x

cos 3 sin 2

) cos 3 sin 2 ( 4 ) sin 3 cos 2 ( 2

Tách 2sinx+16cosx =A(2cosx – 3sinx) + B(2sinx + 3cosx)

Hay 2sinx + 16 cosx =(2B – 3A)sinx + (2A + 3B)cosx

x x

x x

x x

cos 3 sin 2

) cos 3 sin 2 ( 4 ) sin 3 cos 2 ( 2

x

a

x n

x

m

b

a

Bước 1: Đưa msinx + ncosx = A(asinx + bcosx)’ +B(asinx + bcosx)

Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B

x b x a

x n x m

b a

 sinsin  coscos thành tổng 2 tích phân mới

Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp:

-Lấy mẫu số bất kì

Ví dụ: 5sinx + 3cosx

-Tính đạo hàm của mẫu số

( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx

x x

0 5 sin 3 cos

cos 20

sin

22



Với cách làm như trên ta có thể tạo ra vô số các bài tập tích phân mới với kết

quả ra số đẹp Giáo viên có thể định hướng cho các em học sinh thực hiện các

em sẽ rất hứng thú và say mê tìm tòi hơn, giúp các em phát triển tư duy, kết quả học tập sẽ tốt hơn rất nhiều.

Ta có các bài toán tương tự sau:Tính tích phân

x x

x x

0 4 sin cos

cos 10 sin

11



x x

x x

0 3 sin 2 cos

cos 8 sin



x x

x x

0 3 sin 5 cos

cos 9 sin

19



x x

x x

0 2 sin cos

cos 7 sin



x x

x x

0 8 sin 3 cos

cos 14 sin

13



5.4) Tính tích phân: dx

x x

x x

2 cos 5 sin 3



dx x

x

x x

2 cos

x x

x x

2 ) 1 cos (sin

4 sin cos



x x

x x



x x

x x

x x

2

2 cos 5 sin

3



2-2ln2Tương tự cách làm của bài tập 5.3 ta có phương pháp tổng quát để làm dạng toán trên như sau:

Tổng quát:Tính tích phân

dx c x b

x

a

k x n

x

m

b

a

Bước 1: Đưa msinx + ncosx + k =

A(asinx + bcosx + c )’+B(asinx + bcosx +c) + C

Bước 2: Đồng nhất hệ số để tìm A và B, C

c x b x a

k x n x m

b a

 sinsin  coscos  thành tổng 3 tích phân mới

Các bước sáng tạo ra bài tập mới để có hệ số A, B đẹp:

-Lấy mẫu số bất kì

Ví dụ: 5sinx + 3cosx+2

-Tính đạo hàm của mẫu số

( 5sinx + 3cosx)’ = 5cos x -3 sinx

x

x x

0 5 sin 3 cos 2

5 cos 20

x x

0 sin 2 cos 3

3 cos 2

sin



Bài toán 6

Tính tích phân:

6.1)I= dt

t t

) 1 1 2 1

1 ( 5

1 2

1 (

Bài làm

6.1) I =ln 1

2 2

2 1 ln 2

4 3

) tan 1 (

ln 2 2 2 3

1 0

2 3

hệ thống các bài tập tương tự tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình.

Cách sáng tạo bài tập mới:

Bước 1: Biến đổi bài toán ban đầu.

Bước 2: Thay t bằng các hàm số của biến x để tạo các bài tập mới.

Ví dụ: t= 2x+1,t =sinx,

Bước 3:Tạo ra bài tập mới

2) Bài toán trên có thể biến đổi thành:

bài toán 6.1)

2 3 1

2t t

dt =ln

4 3

*) Đặt t = cos x từ đó suy ra dt = dcosx = -sinx dx

4 2

2 sin



x x

2 , 0

Vậy ta có bài tập mới

3)Tính tính phân: 2  

2

2 3x 2

x dx

Bài toán 6.2

1 1

2

1 1

1 2

2 3

1 1

dx e

5 ln

5

3 6

2

2 3

3

x x

dx x

1 1

2

1 1

x t

t     2     2 

1 2 ) 1 ( 3 ) 1 (

1 1

dx e

2

2 x x dx

Vậy ta có bài tập mới

3)Tính tích phân: 4 

2

2 x x dx

t

1 2

1 ( 4

x

x dt

*) Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta có bài toán:

x

0

2 4

3 2 3Giải:

Đặt t = x2suy ra dt = 2xdx Với x =0 thì t = 0, x =1 thì t = 1

x x

x

0

2 4

3 2 3 =

2

1

2

1 ) 2 )(

1 (

2 1

0

2 2

x x

2

1 ) 2 )(

1 ( 1

0

) 1

1 2

2

t t

xdx

e



 ( Đại học khối B -2010)

* ) Đại học khối B -2010 ngoài cách làm trên ta cò n có cách làm khác như sau:

+) Phương pháp đưa vào vi phân:

x

x xd

x

x d

x

x d

x

x d

3 

+ ) Phương pháp tích phân từng phần:

dx dv

ln

) ln 2 ( 2 Từ đó suy ra  

x v

1

ln 2 1

2

) ln 2 (

) ln 2 (

x d

Nhận xét và bình luận:

Ở bài tập trên có sử dụng phương pháp tích phân từng phần, vậy phương pháp

này được sử dụng khi nào ?, cách đặt u, dv như thế nào cho nhanh và hiệu quả?

Dấu hiệu:

Thường được sử dụng đối với các bài có 2 loại hàm khác nhau trở lên.

Cách đặt u, dv :

Ta thường ưu tiên u theo thứ tự sau: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ

Giải thích: log( hàm loga)

Ta có trong dấu tích phân có hàm đa thức và hàm số mũ, vậy đặt u = x-2, dv=e2xdx

*) Nếu ta đặt t =sinx +2 khi đó :

sin 2



xdx x

0

2 ) 2 (sin

cos sin



x

xdx x

Vậy ta có bài toán mới

2)Tính tích phân: 2 

0

2 ) 2 (sin

cos sin



x xdx x

Bài toán 6.5 E= 1 

0 2

1

2 2

2 1 1

1 1

x x

1

2 4

2 1

1

x x

dx x

Vậy ta có bài toán mới

1

2 4

2 1

1

x x

dx

x ( Đại học Ngoại Thương 2001)

Ta có

12 1

dx ( Đại học Bách Khoa Hà Nội 1995)

* ) Đề đại học BÁCH KHOA HÀ NỘI còn có cách làm khác như sau:

Đặt x =

t

tdt dx

sin cos

1 cos 2 cos

1

2

4 2

1 cos 2

cos

1 2





t t

t x

t t

t x

x t

t t t

1 1 cos

1 cos

1 cos

dt t

tdt

=3

4 sin sin

t =2  

1

0

2 1

1

tdt t

1

tdt t

) 1 ( 2

2

t x

dt t dx

ln 4 2

3

t t

2 ln 4 3

11 

Tổng quát

dx c

dx x

x x

dx x

x x

x

1 2

1

1 +2 

1 2

2 ) (

x x

x x d

2 1

) 1 (

2 1

) 1 (

x

x

0 2 1

dt t

t t

t t t

=

5

3 ln 10 3

34 2

ln 10 5 2 3

1 2

*Vậy ở câu a,b khi gặp tích phân của các hàm đa thức f(x) mà mẫu số có bậc lớn

hơn bậc ở tử số mà mẫu là phương trì nh bậc 2 : ax 2 +bx +c có 2 nghiệm x 1 , x 2 ta làm như thế nào ?

Phương pháp: Phân tích mẫu số thành nhân tử đưa f(x) về dạng

f(x) =

x x x x

a

d cx

) )(

Từ đó tách tích phân phức tạp trở thành tổng của hai tích phân đơn giản

*) ở câu c ta tách thành tổng các tích phân mới

f(x) =

 2 2

)

B d

cx

A d

cx

b ax

Đặt x- x 1 = mtant sau đó sử dụng phương pháp đổi biến số

*) Ở câu e và f nếu f(x) là đa thức có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta phải sử dụng phương pháp chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số để từ tích phân phức tạp chia thành các tích phân đơn giản hơn.

Cách sáng tạo ra các bài tập tích phân phức tạp thực ra chỉ là tổng các tích phân đơn giản, giáo viên cũng có thể tự mình tạo ra các bài tập mới nhằm tạo nên cho bản thân mình các tài liêu phong phú hơn

Vậy việc dạy và học toán không nên chỉ dừng lại ở việc giải bài tập sau đó gấp sách lại ta nên xem xét lật đi lật lại bài toán xem có còn cách nào để giải bài tập nào khác không , bài tập này có liên hệ với các bài tập khác không?

Nếu giáo viên giúp cho học sinh thường xuyên luyện tập các kĩ năng như vậy các em học sinh sẽ cảm nhận môn toán không còn khó và khô khan nữa, các em sẽ thấy hứng thú hơn khi học môn toán rất nhiều.