Đề thi tuyển chọn HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Xuyên Mộc

Việc học tập và rèn luyện luôn là mối quan tâm hàng đầu của bậc THCS nhất là khối lớp 9. Đề thi tuyển chọn HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2016 - 2017 - Sở GD&ĐT Xuyên Mộc sẽ giúp các em phần nào tự đánh giá kiến thức của bản thân. Mời các em tham khảo!

UBND HUYỆN XUYÊN MỘC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài thi 150 phút

Ngày thi …… tháng 01 năm 2017

Bài 1:(2,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 3 2 2

2n mn 3n 14n 7m 5 0  

Bài 2: (7,5 điểm)

a) t g n u th c

3

b) x 2014  x 2016 y 2016 x 2016

c) Tìm GTNN của u th c 3 4 x

A

x 1







d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Ch ng m nh rằng x + y + y + z + z + x  6

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a + + c (a, , c là độ dà a cạnh của tam g ác)

Ch ng m nh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

Bài 4:(5,0 điểm)

Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ) G (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H khác A), HK là đường kính của đường tròn (O) G a là độ dà đoạn OI Ch ng m nh rằng a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng

b) HB = HI

c) IA.IH 2 2

R a

  d) 2 2

R  2Rr  a

Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN

của đường tròn thay đổ (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn, (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F

1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE

2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R

- HẾT -

H và tên thí s nh ……… Chữ ký g ám thị số 1 ………

Số áo danh ………

UBND HUYỆN XUYÊN MỘC

PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9

(Hướng dẫn chấm có ……… trang) Bài 1:(2,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (m, n) sao cho 3 2 2

2n mn 3n 14n7m 5 0

1.2

(2,5đ)

2

16 (1) 7

2 3

n



Vì m, n  Z nên

0,75

Từ (1) và (2) suy được

( , )m n  (1;1),( 3; 1);(4;3),( 8; 3)    0,75

Bài 2: (7,5 điểm)

a) t g n u th c

3

b) x 2014  x 2016 y 2016 x 2016 (1)

c) Tìm GTNN của u th c 3 4 x

A

x 1







d) Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Ch ng m nh rằng x + y + y + z + z + x  6

2.1

(2,0đ)

Ta có

3

3

(2 1)( 1 )( 1)( 1) 1

1,0

1,0

2.2

(2,0đ)

x 2014  x 2016 y 2016 x 2016 (1)

Ta có: x 2016  x 2016 x  x  x 2016 x  2016 (2) 0,5 Chỉ ra được dấu « = » xảy ra kh 0  x 2016 (*)

Từ (1) và (2) suy được x2014 y 2016 0

0,25x2

Lập luận suy được 2014

2016 0

y

y 2016

   





Đố ch ếu ĐK (*) và kết luận được ngh ệm

0,5

0,5

2.3

(1,5đ)

ĐK x 0

2 4) ( ( x 2)

1 1

x 1

A





Chỉ ra được M n A = -1 kh x = 4 (tmđk)

1,0

0,5

2.4

(2,0đ)

Áp dụng BĐT Bunh akopsk có

2 2

2 2 2

1.

A x + y +1 y + z + 1 z + x

x + y y + z z + x



1,0

= 3.2(x +y + z) = 6.1 = 6 (vì x + y + z = 1)

Suy được A 6 khi 1

a b c

3

0,5 0,5

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho tam g ác ABC có chu v 2p = a + + c (a, , c là độ dà a cạnh của tam g ác)

Ch ng m nh rằng : 1 1 1 2 1 1 1

3

(2,0đ)

2

b c a

p a     p b  p c 

Áp dụng BĐT Cô s ta có :

0,5

p a p b p a p b c

0,25

p b p c a p c p ab

4

     

Suy được đpcm và

Dấu “=” xảy ra kh a b c

0,25

0,25

0,5

Bài 4:(5,0 điểm)

Cho tam g ác ABC nộ t ếp đường tròn (O ; ) G (I ; r) là đường tròn nộ t ếp tam g ác ABC, M là t ếp đ m của AB vớ đường tròn (I); H là g ao đ m của AI vớ đường tròn (O) (H khác A), HK là đường kính của đường tròn (O) G a là độ dà đoạn OI Ch ng m nh rằng a) Tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng

b) HB = HI

c) IA.IH 2 2

R a

 

d) 2 2

R  2Rr  a

A

I

H

K

M

F O

E

1 2

1 3 1

4.a

(1,75đ)

* Hình vẽ đ ng

– Ch ng m nh được các tam g ác AMI và KCH là các tam g ác vuông

- Ch ng m nh được A1A2 K

- Suy ra được tam g ác AMI và tam g ác KCH đồng dạng (đpcm)

0,25

0,5 0,5 0,5

4.b

(1,0đ)

- Ch ng m nh được I1A1B ; IBH1 B2B3B1A1

Do đó I 1  IBH  HB  HI (đpcm)

0,5 0,5

4.c

(1,0đ)

G EF là đường kính của (O) và đ qua I

- Nêu được IA.IH = IE.IF (hệ th c trong đường tròn)

- Suy ra: IA.IH = (R – a).(R + a) = R2 – a2

0,25 0,25 0,5

4.d

(1,25đ)

Từ câu a), ta có IA IM

HK  HC  IA.HC = HK.IM = 2Rr (*)

Mà HB = HC (do A1A2) HC = HI

Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R2 – a2 = 2Rr  2 2

R  2Rr  a (đpcm)

0,50 0,25 0,50

Bài 5:(3,0 điểm) Cho đường tròn (C) đường kính PQ = 2 cố định và một đường kính MN

của đường tròn thay đổ (MN khác PQ) Qua P vẽ đường thẳng (d) là t ếp tuyến của đường tròn, (d) cắt QM và QN lần lượt ở E và F

1) Ch ng m nh tam g ác QMN đồng dạng vớ tam g ác QFE

2) Tìm vị trí của đường kính MN đ EF có độ dà nhỏ nhất và tính g á trị nhỏ nhất đó theo R

A B

M

I E

H O F

P

Q

M

N

C

5.1

(1,5đ)

Ch ng m nh được QM.QE = QN.QF(=PQ2) QM QN

Chỉ ra được QMN đồng dạng QFE (c.g.c) 0,75

5.2

(1,5đ)

QFE vuông tạ Q có PQEF (gt) (1)  PQ2 = PE.PF(hệ th c 2)

Áp dụng ất đẳng th c Cô s cho 2 số EP, PF > 0 ta có

2

EFEP PF 2 EP.PF2 4R 4R

 EF nhỏ nhất ằng 4 kh EP = PF (2)

0,25

Từ (1) và (2)  ∆QEF cân tạ Q có PQ là đường cao đồng thờ là phân giác

Chỉ ra được PMQN là hình chữ nhật

0,25

0,25

 PMQN là hình vuông MNPQ Vậy Khi MNPQ thì EF có độ dà nhỏ nhất ằng 4 ’

0,25

0,25

Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương

2 Điểm toàn bài không được làm tròn