Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo Đề thi HSG cấp huyện môn Toán lớp 9 năm 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Gio Linh để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi.
Trang 1TRƯỜNG THCS GIO SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN TOAN 9
Thời gian:150 phút
Câu 1: (6 đ) Cho biểu thức:
P =
x √ x−3 x−2 √ x−3 −
2( √ x−3)
√ x+1 +
√ x +3 3− √ x
a)Rút gọn P.
b)Tính giá trị của P với x = 14 - 6 √
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (4đ)
a )Giải phương trình
x 1 4 x 5+ 11 x 8 x 5 = 4
b) Cho 2 số dương x, y có tổng bằng 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
1
x+
1
y
Câu 3.(4đ)
a Cho các số dương a, b, c thoả mản a + b + c = 4
Chứng minh: √ a+b+ √ b +c + √ c+ a>4
b Cho (x+ √ x2+ 3 )(y+ √ y2+3 ) = 3 Tìm giá trị của biểu thức P = x + y
Câu 4( 3 đ ): Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
Chứng minh rằng: Sin
A
2≤
a
2√bc
Câu 5 : ( 3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC Qua A kẻ tia Ax
vuông góc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đường thyawngr qua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh :
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi
b) Δ AEF ~ Δ CAF vàAF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC chứng minh : EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi
Trang 2Đáp án và biểu điểm
Câu 1.( 6đ) Điều kiện xác định của biểu thức P là : x0; x 9 (0,5 ) a) Rút gọn:
P =
x √ x−3
( √ x+1)( √ x−3 ) −
2( √ x−3)
√ x+1 −
√ x+3
√ x−3
=
x √ x−3−2( √ x−3)2−( √ x+3)( √ x+1 )
=
x √ x−3−2 x+12 √ x−18−x−3 √ x− √ x−3
=
x √ x−3x+8 √ x−24
( √ x−3)( √ x+1) =
√ x( x+8)−3( x+8)
( √ x−3)( √ x+1) =
x+8
b) x = 14 - 6 √ 5 = ( √ 5 )2 - 2.3 √ 5 + 9 = ( √ 5 - 3)2 √ x = 3 - √ 5 (1,0 )
Khi đó P =
14−6 √ 5+8 3− √ 5+1 =
22−6 √ 5 4− √ =
58−2√5
Vậy với x = 14 - 6 √ 5 th× P =
58−2√5
c)
P=
x +8
√x +1=
x−1+9
√x +1 =√x−1+
9
√x +1=√x +1+
9
√x +1−2≥2√9−2=4 (1 ).
( Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương √x+1 ; 9
√x+1 )
Dấu"=" xảy ra √x+1= 9
√x +1 x = 4 (thoả mản điều kiện) (0,5 ).
Câu 2(4đ)
a, x 1 4 x 5 + 11 x 8 x 5 = 4
x 5 4 x 5 4 + x 5 2.4 x 5 16 = 4 (0,5 )
2 x 5+ 4+ x 5= 4 (x 5)
Trang 32 x 5 = -2 Vô lý (0,5 )
b,
A =
(0,5
Để A nhỏ nhất xy lớn nhất với x > 0; y > 0 ; x + y = 5 ta luôn có ( x y ) 2 0
x + y 2 xy Vậy xy lớn nhất khi x = y =2,5 (1 )
Khi đó Min A =
4
Câu 3.(4đ)
a), Do a , b, c > 0 và từ giả thiết ta có :
a + b < a + b + c = 4 => √ a+b< 2⇒ a+b< 2 √ a+b (1 ) 0,5
Tương tự ta có b + c < 2 √ b+c (2) 0.5
a + c < 2 √ c+a (3) 0,5
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta có
2 ( a+b+ c ) < 2 ( √ a+b+ √ b+c + √ a+c ) 0.25
hay ( ĐPCM) 0,25
b) Xét biểu thức (x+ √ x2+ 3 )(y+ √ y2+3 ) = 3 (1)
Nhân 2 vế của (1) với (x- √ x2+ 3 ) ¿ 0 ta được:
-3(y+ √ y2+3 ) = 3(x- √ x2+ 3 ) 0,5
<=> -(y+ √ y2+3 ) = (x- √ x2+ 3 ) (2)
Nhân 2 vế của (1) với (y- √ y2+3 ) ¿ 0 ta được:
-3(x+ √ x2+ 3 ) = 3(y- √ y2+3 ) 0,5
<=> -(x+ √ x2+ 3 ) = (y- √ y2+3 ) (3)
Lấy (2) cộng với (3) ta được: 0,5
-(x+y) = x+y => x+y = 0
Vậy A = x+y = 0 0,5
Câu 4 3đ)
Trang 4Kẻ Ax là tia phan giác của góc BAC, kẻ BM ¿ Ax và CN ¿ Ax 0,5
Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có:
Sin MAB = Sin
A
2=
BM
AB => BM = c.sin
A
2 0,5 SinNAC = sin
A
2 =
CN
AC => CN = b.sin
A
2 0,5
Do đó BM + CN = sin
A
2 (b+c) Mặt khác ta có BM + CN ¿ BD + CD = BC = a 0,5
=> sin
A
2 (b+c) ¿ a, và sin
A
2 < 1 0,5
Do b+c ¿ 2 √ bc nên
1
b+c≤
1
2√bc 0,5
Hay sin
A
a
2√bc ( đpcm)
Câu 5 (3,đ):
a)(1đ) Δ ABE = Δ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF
Δ AEF vuông cân tại A nên AI EF
Δ IEG = Δ IEK (g.c.g) ⇒ IG = IK
Tứ giác EGFK có 2 đường chéo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường và vuông góc nên EGFK là hình
thoi
b)(1 đ) Ta có :
KAF = ACF = 450 , ggóc F chung
Δ AKI ~ Δ CAF (g.g) ⇒
AF
CF=
KF
AF⇒AF
2
=KF CF
c)(1 đ)Tứ giác EGFK là hình thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE
Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( không đổi)