Tài liệu Đề thi HSG cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Nam Trực giúp cho học sinh tham khảo, ôn tập và làm quen với các bài thi trước khi bước vào kỳ thi học sinh giỏi. Chúc các em ôn tập và thi tốt.
Trang 1PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO
NAM TRỰC
Đ THI H C SINH GI I C P HUY N NĂM H C 2016 - Ề THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỆN NĂM HỌC 2016 - ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016
-2017
Môn: TOÁN – Lớp: 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm: 01 trang
Bài 1 (4,0 điểm)
1 Phân tích thành nhân tử: x2 – 2x – 4y2 - 4y
2 Rút gọn biểu thức:
1 -x
3
-x -1
-x
1 -2x -1
x
3
2
x
Bài 2 (5,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2
x -x
3 2
-x
3 1
x
2
x
b) (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72
2 Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Với x > 0, y > 0 Chứng minh rằng: 11yx 4y
x
b) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn: 0
z
1 y
1 1
Tính giá trị của biểu thức: A yz xz xy
2 z
xy 2
y
xz 2
x
yz
2 2
2
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H Gọi M
là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM; a cắt AB, AC lần lượt tại
I và K.
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK; b cắt đường thẳng AH,
AB theo thứ tự tại N và D Chứng minh: NC = ND và HI = HK.
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh: AH BH CH 6
HE HF HG
Bài 5 (2,0 điểm)
Trên một mặt phẳng cho trước, giả sử rằng mỗi điểm đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có ba đỉnh cùng màu
Đ CHÍNH TH C Ề THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỨC .
Trang 2PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ỤC VÀ ĐÀO TẠO ẠO
NAM TR C ỰC
H ƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP NG D N CH M THI H C SINH GI I C P ẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP ẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - ỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 ẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016
-HUY N ỆN NĂM HỌC 2016 NĂM H C 2016 - 2017 ỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016
-Môn: TOÁN – Lớp: 8
1
1 x2 – 2x – 4y2 - 4y = x2 – 2x + 1 – 4y2 - 4y – 1
= (x – 1)2 – (2y + 1)2
= (x – 1 + 2y + 1)(x – 1 – 2y – 1)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2
1
1
1 x
) 1 )(
1 (
3 )
1 2
( 3 2 x
) 1 )(
1 (
) 3 ( ) 1 )(
1 2 ( ) 1 )(
3 ( 1 -x
3
-x -1
-x
1 -2x -1
x
3
2 2
2 2
2
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
2
1 Điều kiện: x 1 ; x 2
đk) (t/m 2 1
2 4
2 3
3 3 4 x
) 2 )(
1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 2 )(
2 (
1 ) 2 )(
1 (
3 2
3 1
2 x
1 2
x -x
3 2
-x
3 1
x
2
2 2
2
x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x
Vậy PT có nghiệm 1
2
x
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72
Đặt x + 7 = t Ta có: (t+1)(t-1)t2 = 72
< => (t2 -1)t2 = 72 < => t4 – t2 – 72 = 0
< => (t2+8)(t2-9) = 0
< => t2 – 9 = 0 (vì t2+8 > 0)
< = > t = 3 hoặc t = -3
= > x = - 4; x = -10
kết luận nghiệm
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ
3 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24 < => (2x +1)2 + (y – 3)2 = 34
Ta có: 34 = 12 + 33 = 32 + 25 = 52 + 9=(-1)2 + 33 = (-3)2 + 25 =
(-5)2 + 9
Chỉ có 8 trường hợp:
0,5 đ 0,25 đ
1,0 đ
Trang 3y-3 3 -3 5 -5 -3 3 -5 5
Nghiệm nguyên (x;y) của phương trình là
(2;6), (-3;0),(1;8), (-2;-2), (2;0), (-3;0), (1;-2), (-2;8) 0,25đ
3 1 Với x > 0, y > 0
0 ) (
4 ) ( y
x
4 y
1 1
2
2
y x
xy y
x x
Luôn đúng với mọi x, y
0,5 đ 0,5 đ
2
Từ gt 1 1 1 0.
yz xz xy
yz xz xy xyz
( vì x, y, z khác 0)
=>yz = -xy – xz x2 2yzx2 yz xy xz (x z x y ).( )
Cmtt ta có:
2 2
Khi đó ta có:
1
A
yz y z xz z x xy x y
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z y z
x z x y y z
x x z y z y y z x z
x z x y y z
x z x y y z
x z x y y z
0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 4
D
N
E
K
M
A
1
Cminh: AEC BFC g g( ) CE CA
Trang 4Xét ABC và EFC có:
2 Vì CN // IK nên HM CN
Từ đó suy ra M là trực tâm của HNC
=> MN CH mà CH AD
nên MN// AD
Do M là trung điểm BC => NC = ND
Từ đó chứng minh: HI = HK ( Talet)
0,25 đ 0,25 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ 3
=>HA HB HC
HE HF HG= =
BHC
S
+ BHC BHA
AHC
S
+ BHC AHC
BHA
S
6 Dấu “=” xảy ra <=> Tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên dấu
bằng không xảy ra
HE HF HG
0,25 đ
0,5 đ 0,75 đ
0,25 đ 0,25 đ
5 - Nếu mỗi điểm chỉ được tô màu đỏ hoặc màu xanh khi đó luôn
tìm được 3 đỉnh còn lại của hình vuông cùng màu Suy ra bài
toán luôn xảy ra
- Nếu có hai điểm phân biệt cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh:
+ Giả sử A, B là hai điểm phân biệt cùng màu đỏ Ta vẽ hình
vuông ABCD tâm O
+ Nếu C màu đỏ thì tam giác ABC vuông cân có ba đỉnh cùng
màu Tương tự với điểm D
+ Nếu C, D cùng màu xanh Khi đó, nếu O màu đỏ thì tam giác
ABC vuông cân có ba đỉnh cùng màu đỏ Còn nếu O màu xanh
thì tam giác OCD vuông cân có 3 đỉnh cùng màu xanh
Tóm lại trong tất cả các trường hợp ta đều tìm được tam giác
vuông cân có 3 đỉnh cùng màu
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ
Trang 5B
C