Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB CD.. Biết rằng đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có tiếp điểm với các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt tại K, L, M và N.. 1 Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội ti
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THPT
NĂM HỌC 2016-2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai: 29/10/2016
Bài 5 (7,0 điểm)
1) Cho số tự nhiên n thỏa: 1 2
2n1 2n1 2n n1 1023
C C C Tìm hệ số của số hạng
chứa x 8 của khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) n
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p q thỏa mãn ; 2 2
p q
Bài 6 (7,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB CD AD BC AC BD Biết rằng đường tròn
nội tiếp tứ giác ABCD có tiếp điểm với các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt tại K, L,
M và N
1) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn
2) Chứng minh KL2 MN2 KN2 LM2
Bài 7 (6,0 điểm)
Tìm các số tự nhiên a 1 ; a 2 ; a 3 …; a n thỏa mãn a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = 2015
sao cho biểu thức P = a 1 a 2 a 3 …a n lớn nhất có thể
……… Hết ………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và không được sử dụng máy tính cầm tay
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh ……… … Số báo danh ………… Phòng thi …… Cán bộ coi thi thứ nhất ……… Cán bộ coi thi thứ hai ………
Trang 2Vòng 2
NĂM HỌC 2016-2017 Môn: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng
a Cho số tự nhiên n thỏa: 1 2
2n 1 2n 1 2n n 1 1023
C C C Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 của khai triển (1 + x + x 2 + x 3 ) n 2.0
Ta có:
2 1
2 1
2 1 0
n
n k
1a
2 điểm
Vì hệ số chứa x8 nên ta có k+2m =8 suy ra (k;m) = (0;4), (2;3), (4;2)
Vậy hệ số cần tìm là 0 4 2 3 4 2
5 5 5 5 5 5
1b
5 điểm b Cho dãy số thực x n xác định bỡi
1
*
2015
1
n n
n
x
x
x
5, 0
Trang 31,0
1,0
1,0
1,0
1,0
a. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1),(C2)lần lượt có phương trình: x2y2 2x4y ; 0 x2 y22x6y Lập phương 1 0
trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1) và cắt (C2) tại A, B thỏa mãn
2
1 arccos 9
AI B với I 2 là tâm của đường tròn (C2)
3.0
Ta có I1(1; 2); R 1 5; ( 1; 3); RI2 23
Phương trình đt I 1 I 2 : x 2y 5 0 0.75
Do
2
1 arccos 9
2
1 osAI
9
c B
AB I A I B I A I B AI B
suy ra d I d( ; )2 I H2 5
H B A
I 2
0.75
2a
3.0
điểm
Do d tiếp xúc với (C1) nên d I d( ; )1 R1 5
Vì khoảng cách từ 2 điểm I I1; 2 đến d bằng nhau nên d song song I 1 I 2 hoặc d đi
Trang 42 2
a b
19a2 4ab 16b2 0 ab 0 (vô lý)
ĐS: x 2y 0; x 2y 10 0
2b
4 điểm
b Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB = 2a, AD = DC = a Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 ; I là t
rung điểm của AD, mặt phẳng (SIB) và mặt phẳng (SIC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), H là hình chiếu của I lên SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC) theo a
Trang 51,0 1,0
1,0
1,0
Tìm các số tự nhiên a 1 ; a 2 ; a 3 …; a n thỏa mãn a 1 + a 2 + a 3 + … + a n =
2015 sao cho biểu thức P = a 1 a 2 a 3 …a n lớn nhất có thể 6,0
Ta chứng tỏ trong các số a 1 ; a 2 ; a 3 …; a n không có số 1
Thật vậy, giả sử tồn tại một số bằng 1, chẳng hạn là a1 = 1, khi đó trong các số còn lại phải có số aj >2, ta giả sử là a2 >2, vì ngược lại dễ thấy điều
vô lý
1,5
3
6,0
điểm
Khi đó ta thay a1 bởi số 2 và a2 bỡi a2 -1 2
2 3
2
2 2( 1) 1
n
a
Vi phạm P = a 1 a 2 a 3 …a n lớn nhất có thể
1,0
Trang 62.2.2 8 3.3 9
Tức là có thể thay ba số 2 thành hai số 3 để có tích lớn hơn
Lại có 2015 = 3.671 +2
Từ đó suy ra có 672 số a 1 ; a 2 ; a 3 …; a 672 trong đó có 671 số 3 và một số 2 thì
……… HẾT………