Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh môn Toán năm học 2011 - 2012 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nhằm giúp cho các em chuẩn bị tinh thần tốt nhất để bước vào kỳ thi chọn HSG chính thức trong thời gian tới. Đề thi HSG lớp 9 môn Toán năm 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Hạ Hòa có kèm theo đáp án để học sinh dễ đối chiếu với kết quả làm bài của mình. Mời các bạn cùng tham khảo!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học : 2011-2012

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (3,0 điểm)

2 1 1 2 1 1





Tính giá trị của biểu thức  4 3 2 2012

A  x  x  x  2x 1 

b) Chứng minh biểu thị 3  2 2

P  n n  7  36n chia hết cho 7 với mọi số nguyên n

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình y   x 1

Tìm trên đường thẳng  các điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức 2

y  3y x  2x  0 b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y  ax  b Tìm

a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình 2

y  2x

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình x 2 y 5

x y 1





 

b) Gọi x ;x1 2 là hai nghiệm của phương trình 2  

2012x  20a 11 x 2012    0 (a là số thực)

Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức  2 1 2 2

x x

Câu 4 (4,0 điểm)

a) Cho các số thực a, b, c sao cho 1 a, b,c   2. Chứng minh rằng   1 1 1

a b c

     

b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào

rổ 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM (H,

M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)

a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE

b) Chứng minh 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn Gọi O là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH là hình gì ?

c) Đặt ACB   ;AMB   Chứng minh rằng  2

sin   cos    1 sin 

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI NĂM 2011-2012 Câu 1

a) Rút gọn x  2

Thay x  2 vào biểu thức A ta được A = 1

b)

2

P n n 7n 36 n n 7n 6 n 7n 6

n n n n n 6(n 1) n n 6 n 1

n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3

Ta có P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7

Câu 2

a) Điều kiện x  0 Tọa độ M (x;y) là nghiệm của hệ phương trình

2

y 2

y 3y x 2x 0

 

b) Vì đường thẳng d đi qua B (1;2) nên b   2 a Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng y  ax 2 a  

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 2

2x  ax a 2    0(1) (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép

     Với a = 4 suy ra b = - 2

Vậy a = 4; b = - 2 thõa mãn yêu cầu bài toán

Câu 3

a) Ta xét hai trường hợp

TH1:y  0 ta có hệ phương trình x 2y 5 x 3



  (thỏa mãn điều kiện)

TH2:y  0 ta có hệ phương trình

7 x

x 3

 







(thỏa mãn điều kiện )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   7 4

3;4 ; ;

3 3



  b) Ta có ac  0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu

Ta có : x1 x2 20a 11; x x1 2 1

2012



Do đó  2 1 2  

x x 3



  (do x x 1 2   1

2

20a 11

2012



20a 11

2012



     24 với mọi a

Vậy GTNN của P = 24 Dấu “=” xảy ra khi a 11

20



Câu 4

            

Không mất tính tổng quát , giả sử a   b c. Khi đó ta có a b b c     0

ab bc   b  ca

Từ đó suy ra a 1 a b ; c 1 c b

c    b c a    b a Suy ra a b c b c a 2 2 a c

         

 

Ta cần chứng minh 2 a c 5

c a

  

Tức là chứng minh 2a 1 1 2c 0(*)

    

Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì 2 a c 1 a 1;c 1

     

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là a ;a ;a ; ;a1 2 3 7 được xếp từ nhỏ đến lớn a1  a2  a3 a4  a5 a6  a (1)7

Xét hai trường hợp:

TH1: a5 16. Suy ra a6  17;a7  18. Do đó ta có a5  a6 a7  51 (2)

TH2: a5 15 suy ra a4  14;a3  13;a2  12;a1 11

Ta có a1   a2 a3 a4  50

Suy ra a5  a6 a7 50(3)

Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh

Câu 5

a) Do 0

DAE  90 nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy ra

D, H, E thẳng hàng

Ta có : MAE  MCA  HAD  ADE

ADE AED   90 nên 0

MAE AED   90 Suy ra MA vuông góc với DE

b) Từ ADE  MCA suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O)

Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OM

Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH // AM

Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành

c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM

Ta có : AH AM.sin 1BC.sin

2

Mặt khác AH  AC.sin   BC.sin cos   (2)

O D

E

M H

A

Từ (1) và (2) suy ra

sin 2.sin cos Ma` sin cos 1 2 sin cos (dpcm)