Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi học kì chọn HSG cấp trường sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
Trang 1TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN - Ngày thi: 10/4/2019 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a A = x 3 2019x2 2019x 2018
b 4 2
B = x 5x 4
c Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2
Bài 2 (6,0 điểm)
a Cho a; b là các số tự nhiên Chứng minh rằng: 5 5
M = a b (a b ) 5
b Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2 y2 4x 2y 5 0
c Giải phương trình x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
d Giải phương trình bậc 4 sau: 4 2
x x x
Bài 3 (4,0 điểm)
a Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và a b c 2 3(ab bc ca ) với mọi số thực a, b, c
b Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương
x+5 x+7 9 11 + 16.
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P
a) Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC
b) Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC
c) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK
d) Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC
Hết
\
Trang 2TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
TỔ KHOA HỌC – TỰ NHIÊN
HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯƠNG LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN
Bài 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a A = x 3 2019x2 2019x 2018
b B = x 4 5x2 4
c Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2
1a
(1,5)
A = x 2019x 2019x 2018
A = x 1 2019(x x 2019)
A = (x - 1)(x x 1) 2019( x x 1)
A = x x 1 (x 1 2019)
2
A = (x + x + 1 )(x 2018)
0,5 0,5 0,5
1b
(1,5)
4 2
B = x 5x 4
4 2 2
B = x x 4x 4
B = x (x 1) 4( x 1)
B = (x 1)(x 4)
B = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
0,5 0,5 0,25 0,25
1c
(1)
Cho a 5; ab 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a 2 b2
Ta có: (x y )2 0 x2 2xy y 2 0 x2 y2 2xy với mọi x; y
Do đó:
2 2 2 4 21
P = a
b b
2 2
P =
Theo đề bài : a 5 a 2 25; và ab 10
4.10 21.25
P
29
P
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 29 Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi
a = 5; b = 2
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài 2 (6,0 điểm)
a Cho a; b là các số tự nhiên Chứng minh rằng: 5 5
M = a b (a b ) 5
b Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2 y2 4x 2y 5 0
c Giải phương trình x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
Trang 3d Giải phương trình bậc bốn sau: x4 11x2 4x 21 0
2a
(1,5)
Ta có:a5 b5 (a b ) ( a5 a) ( b5 b)
Mặt khác: (a5 a)a a( 4 1)a a( 2 1)(a2 1)a a( 1)(a1)(a2 1)
2
(a 2)(a 1) (a a 1)(a 2) 5 (a a 1)(a 1)
(a 2)(a 1) (a a1)(a2)
là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên: (a 2)(a 1) (a a1)(a2) 5 và
5 (a a 1)(a1) là bội của 5 nên: 5 (a a 1)(a 1) 5
Do đó: a5 a5 Chứng minh tương tự: b5 b 5 M5
0,25 0,25
0,25 0,25 0,5
2b
(1,5)
2 2 4 2 5 0 ( 2 4 4) ( 2 2 1) 0
x y x y x x y y
(x 2) (y 1) 0
2
x
và y 1
0,5 0,5 0,5
2c
(1,5)
Ta có: x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
x 2015 2010 x 2007 2012 x 2006 2011 x 2018 2013
2010 2012 2011 2013 x 2010 2011 2012 2013
x=5
2010 2011 2012 2013 ] Vậy nghiệm của phương trình là x = 5
0,5 0,25
0,25 0,25
0,25
2d
(1,5)
4 11 2 4 21 0
x x x
4 10 2 25 ( 2 4 4) 0
(x 5) (x 2) 0
(x2 x 7)(x2 x 3) 0
2 (x x 7) 0
Hoặc (x2 x 3) 0
TH 1 (x2 x 7) 0 (4x2 4x 28) 0 [(2 )x 2 2.2x 1) 29 ] 02
2 2
[(2x 1) 29 ] 0
(2x 1 29)(2x 1 29] 0
1 29 2
x
2
x
TH 2 (x2 x 3) 0 (4x2 4x 12) 0 [(2 )x 2 2.2x 1) 13 ] 02
2 2
[(2x 1) 13 ] 0
(2x 1 13)(2x 1 13] 0
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 41 13 2
x
2
x
Vậy tập nghiệm của PT là: 1 29; 1 29 1; 13 1; 13
S
0,25
0,25
Bài 3 (4,0 điểm)
a Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và a b c 2 3(ab bc ca )
với mọi số thực a, b, c
b Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính
phương Px+5 x+7 x 9 x 11 + 16.
3a
2.0
a Chứng minh a 2 b2 c2 ab bc ca và
a b c 2 3(ab bc ca ) với mọi số thực a, b, c
Ta có: a 2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ac Với mọi a, b, c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
2(a b c ) 2( ab bc ca ) a b c ab bc ca (ĐPCM)
0,5 0,5
Ta có: 2 2 2
(a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
2 (a b c) 3(ab bc ca)
0,5 0,5
3b
2.0
Ta có: Px+5 x+7 x 9 x 11 + 16.
( 5)( 11)( 7)( 9) + 16.
( 16 55)( 16 63)+ 16.
( 16 55) 8( 16 55)+ 16.
( 16 55) 2( 16 55).4+ 4
( 16 59)
Vơi x là số nguyên thì P là một số CP
0,5 0,5 0,25 0,25 0,5
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB Vẽ đường cao AH H BC
Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường
thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P
a Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC
b.Chứng minh: Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC
c.Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK
d Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC
Trang 51
1
Q
I
K
H
B
P
0.5
4.a
1 đ
Chứng minh: ABC KPC ( G.G)
1
4b
1.5
Chứng minh: AKC BPC
Ta có: ABC KPC ( Cmt) AC BC AC KC
KC PC BC PC Và ACB BCK
Do đó: AKC BPC ( C.G C)
1
0.5
4c
1.5
Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của
đoạn thẳng AK
Ta có:
2
PB
AQ KQ (Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vuông)
Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH là đường trung trực của AK
0,75
0,75
d Chứng minh: Tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC
4d
(1.5)
Ta có: AKC BPC (cmt) BPC AKC
mà AKC 45 0 ( Do tam giác HKC vuông cân tại H) BPC 45 0
Mặt khác: BHQ KHQ 45 0 (HQ là đường trung trực của đoạn thẳng AK)
BHQ BPC
HBQ PBC ( Q BP H BC ; )
BHQ BPC
0,25 0,5 0.5 0.25
S
SS S S
S S
S S
S
S
S