Hình học 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian

Tài liệu tham khảo về môn hình học lớp 12 của trường THPT Thủ Khoa Nghĩa. Tài liệu về phần Phương pháp tọa độ trong không gian. Hệ thống lại các kiến thức cần nhớ và cập nhật kiến thức mới

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Hệ tọa độ trong không gian :

a) Hệ tọa độ trong không gian:

o Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc, ,

trong không gian.

o Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị , , i j kr ur ur lần lượt nằm trên Ox Oy Oz thì , , 2 2 2

1

i  j k 

r ur ur

và i jr ur ur ur ur r j k k i  0.

b) Tọa độ của vectơ và của điểm:

o u x y zr ; ; �u xi y j z kr r ur ur.

o M x y z ; ;  �OMuuuurxi y j zkr ur ur.

o Nếu A x y z A; A; A &B x y z thì  B; B; B ABuuurx B x y A; B y z A; B z A.

c) Vectơ bằng nhau Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u x y zr 1; ;1 1 &v x y zr 2; ;2 2 Khi đó:

o

�

� 

�

r r

.

o u vr r� x1�x y2; 1�y z2; 1�z2.

o kur kx ky kz1; 1; 1, k  ��.

d) Hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ u x y zr 1; ;1 1 &v x y zr 2; ;2 2 cùng phương  u �r r0

:

� ��r r, tức là

z kz

� 

�

� 

�

x  y z .

e) Tích vô hướng của hai vectơ : Cho u x y zr 1; ;1 1 &v x y zr 2; ;2 2 Khi đó:

o uv u v cr r  r r os , u vr r x x1 2y y1 2z z1 2.

ur  ur  x y z

B A B A B A

AB ABuuur  x x  y y  z z

os ,

x x y y z z

c u v



r r

.

o u vrr � x x1 2y y1 2z z1 20.

f) Tích có hướng của hai vectơ : Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u x y zr 1; ;1 1 và

 2; ;2 2

v x y zr

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

o Tích có hướng của hai vectơ & u vr r, kí hiệu là ,� �� �u vr r , được xác định bởi:

, y z z x x y; ;

u v

y z z x x y

r r

.

o � �� �u vr r, u u vr r r, ,� �� �vr .

o � �� �u vr r, u vr r .sin , u vr r .

o u vr & r cùng phương khi và chỉ khi ,� �� �u vr r 0r.

o Ba vectơ , ,w u vr r ur đồng phẳng � � �� � u v wr r ur, 0.

g) Các ứng dụng của tích có hướng:

o Diện tích tam giác: 1 ,

2

ABC

S  ��AB ACuuur uuuur��.

o Thể tích khối hộp: V ABCD A B C D ' ' ' ' ��AB AC ADuuur uuuur uuuur, �� .

6

ABCD

V  ��AB AC ADuuur uuuur uuuur�� .

h) Mặt cầu:

o Mặt cầu tâm I a b c , bán kính R có phương trình là: ; ; 

  2  2 2 2

x a  y b  z c R

o Phương trình x2y2z22ax2by2cz d   , với   0 a b2 2 c2 d , là phương trình của mặt cầu có tâm I    và bán kính a b c; ;  R a b2   2 c2 d

2 Phương trình mặt phẳng:

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

o n �ur r0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   nếu giá của nur vuông góc với

  , viết tắt là nur  .

o Nếu hai vectơ u x y zr 1; ;1 1 &v x y zr 2; ;2 2 không cùng phương và giá của chúng

song song hoặc nằm trên   thì vectơ 1 1 1 1 1 1

, y z z x x y; ;

n u v

y z z x x y

� �

ur r r

là một

vectơ pháp tuyến của  

b) Phương trình mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến: Mặt phẳng qua điểm

 0; ;0 0

M x y x và có vectơ pháp tuyến n A B Cur ; ;  có phương trình tổng quát là

 0  0  0 0

A x x B y y C z z 

c) Phương trình tổng quát của một mặt phẳng có dạng Ax By Cz D    , với0

A B C � Khi đó, n A B Cur ; ;  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

d) Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng

Xét mặt phẳng   có phương trình Ax By Cz D    Khi đó:0

o D �0   qua gốc tọa độ.

o C 0,D � �0   song song với trục Oz

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

o C D  �0   chứa trục Oz

o B C 0,D � �0   song song với Oyz 

o B C D  �0   chính là Oyz 

o Các trường hợp khác tương tự……

e) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng   :Ax By Cz D    và 0  ' : 'A x B y C z D '  '  ' 0

Khi đó:

o     �' �   

o     / / ' �   �

o   cắt   ۹' A B C: : A B C ': ': '

o      ' �AA BB CC' ' ' 0 .

f) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Mặt phẳng   không qua gốc tọa độ, cắt trục Ox Oy Oz lần lượt tại, ,

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 

A a B b C c , có phương trình theo đoạn chắn là: x y z 1 abc 0

.

g) Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 &  ' : 'A x B y C z D '  '  ' 0

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng     &  ,'

khi đó:

cos

AA BB CC

h) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho   :Ax By Cz D    và điểm 0 M x y z 0; ;0 0.

Khi đó:       

d M

3 Phương trình đường thẳng:

a) Phương trình đường thẳng qua một điểm và có một vectơ chỉ phương

Đường thẳng d qua M x y z và có vectơ chỉ phương  0; ;0 0 u a b cr ; ;  Khi đó:

o Đường thẳng d có phương trình tham số là

0 0 0

x x at

z z ct

�

�  

�

.

o Nếu M d � thì M x 0at y; 0bt z; 0ct.

o Đường thẳng d có phương trình chính tắc là x x0 y y0 z z0, abc 0

�

b) Đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   :Ax By Cz D   0 & ' : 'A x B y C z D '  '  ' 0 với

điều kiện A B C: : �A B C': ': ' Gọi d     �'

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

Khi đó một vectơ chỉ phương của d là ur ��n nur uur, '�� với n A B Cur ; ;  & 'n A B Cuur '; '; '.

c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d qua 1 M có vectơ chỉ phương 1 uur1 và d qua 2 M và có vectơ chỉ2 phương uuur2 Khi đó:

o d1&d cùng nằm trong một mặt phẳng 2 � � ��u u M Mur uur uuuuuuur1, 2� 1 20.

u u

u M M

� � �

�

ur uur r

ur uuuuuuur r

/ /

u u

u M M

� �

�

ur uur r

ur uuuuuuur r

o d1&d cắt nhau 2 1 2 1 2

1 2

u u M M

u u

�

�� �

�

ur uur uuuuuuur

o d1&d chéo nhau 2 ۹ � ��u u M Mur uur uuuuuuur1, 2� 1 2 0.

Lưu ý: Có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình để

tìm giao điểm của hai đường thẳng (nếu có và xét thêm phương của chúng trong trường hợp hệ vô nghiệm).

d) Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d d lần lượt có vectơ chỉ phương 1, 2 u a b cur1 1, ,1 1 &u a b cuur2 2, ,2 2 Gọi  là góc giữa d1&d 2

Khi đó, 0� � 900 và 1 2 2 1 22 21 2 21 2 2 2

os

c

ur uur

e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u a b cr ; ;  và   có vectơ pháp tuyến

 ; ; 

n A B Cur Gọi  là góc giữa d &  

Khi đó, 0� � 900 và

sin

r ur

f) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M , đường thẳng  qua 1 M và có vectơ chỉ phương u0 r.

1

,

d M

u

 

uuuuuuur r

g) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

Cho hai đường thẳng chéo nhau:  qua 1 M có vectơ chỉ phương 1 uur1 và  qua 2 M có2 vectơ chỉ phương uuur2 Khi đó   1 2 1 2

1 2

1 2

, ,

,

u u M M d

u u

  

ur uur uuuuuuur

ur uur .

II CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

1 Cho ba vectơ ar2; 5;3 ,  br 0;2; 1 ,  cr 1;7;2:

a) Tính tọa độ của vectơ 4 1 3

3

ur ar br cr

b) Tính tọa độ của vectơ v ar r 4br2cr

2 Cho hình hộp ABCD A B C D biết ' ' ' ' A1;0;1 , B 2;1;2 , D 1; 1;1 , ' 4;5; 5  C  Tính

tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

3 Tìm tọa độ tâm và bán kính mỗi mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2y2z28x2y 1 0

b) 9x29y29z26x18z   1 0

4 Lập phương trình của mặt cầu  S trong các trường hợp sau:

a)  S có đường kính AB với A6;4; 3 &  B2;8;1.

b)  S có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm M 0;1;2 & N1;0; 1 

5 Cho bốn điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 , D 2;1; 2 

a) Chứng minh rằng , , , A B C D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD.

d) Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.

6 Cho các vectơ ar1;0; 2 , 1;2; 1 ,  br   cr 0;3; 2  Tìm tọa độ của ur biết:

a) 2 a br r  3cr 2ur r0.

b) u a u brr r, r & ur  21.

7 Cho các điểm A1;2; 1 ,  B 2; 1;3 ,  C 2;3;3.

a) Chứng minh , , A B C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ của điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM

c) Tìm tọa độ các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, ngoài của góc A của ABC .

d) Chứng minh , , , O A B C là bốn đỉnh của một tứ diện Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện đó.

8 Cho các điểm A2;1; 2 ,  B 3;0;1 , C 2; 1;3 ,  D Oy� .

a) Tính diện tích ABC

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC .

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 5.

d) Tính góc giữa đường thẳng BC &OA

9 Hãy viết phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua A5; 2;1  và có tâm K 3; 3;1 .

b) Đi qua điểm M0;8;0 , N 4;6;2 , P 0;12;4 và có tâm nằm trên mặt phẳng Oyz

.

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

c) Có tâm I 1;2;3 và tiếp xúc với mp Oyz  

10 Cho mặt cầu  S có phương trình x2y2z22x4y4z  0

a) Xác định tọa độ tâm và bán kính của  S

b) Xác định tọa độ giao điểm của  S với các trục tọa độ.

11 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A2;0; 1 ,  B 1; 2;3 ,  C 0;1;2.

12 Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A0;1;1 , B 1;0;2 và vuông góc với mặt phẳng x y z     1 0

13 Tính khoảng cách từ A2;4; 3 đến mặt phẳng 2 x y 2z   9 0

14 Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm H1;0;0 , I 0; 2;0 ,  K 0;0;3 .

15 Viết phương trình mặt phẳng   qua M 1;2;3 , N 2; 2;4  và song song với Oy

16 Viết phương trình mặt phẳng   qua gốc tọa độ, vuông góc với  Q x: 2y z   và0

tạo với mp Oyz một góc   45 0

17 Cho A2; 2;0 ,  B 4;2; 2   Viết phương trình mặt phẳng  P vuông góc với AB và cách K 1; 1;0  một khoảng bằng 3.

18 Viết phương trình mặt phẳng  P song song Oz , vuông góc với  Q x y z:    và0

tiếp xúc với mặt cầu  S x: 2y2z22x2y4z   3 0

19 Cho   : 4x ay 6z10 0,   :bx12y12z   Xác định ,4 0 a b để

    / /  , rồi tính khoảng cách từ   đến  

20 Cho A2;3;1 , B 4;1; 2 ,  C 6;3;7 , D  5; 4;8 Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện ABCD

21 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng qua

2;3;  & 1;2;4

22 Cho điểm M 3;2; 1 

a) Viết phương trình tham số của đt qua M và song song với đt 1 1

x  y  z

b) Viết phương trình chính tắc của đt  qua M và song song với đt

1 2

3 3 5

�  

�   

�

� 

�

.

23 Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng d1&d cho bởi các phương trình sau:2

.

24 Lập phương trình chính tắc của đt giao tuyến của hai mặt phẳng 2 3 4 0

�    

25 Chứng minh hai đt sau chéo nhau và vuông góc nhau:

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

3

.

26 Lập phương trình đường thẳng d biết:

a) d qua A0;1;2 và vuông góc với mặt phẳng  P :x2y   1 0

b) d qua B1;2 3 , song song với   Q x: 2y z   và vuông góc với0

d x t y  z   t

c) d tiếp xúc với mặt cầu  S x: 2y2z22x4y   tại điểm 1 0 M  1;1;1 và tạo

với Oz một góc 45 0

27 Lập phương trình tham số của đường vuông góc chung của hai đường thẳng:

28 Tìm phương trình chính tắc của hình chiếu của đường thẳng: 2 2 1

x  y z

trên mặt phẳng x2y3z   4 0

29 Tìm phương trình tham số của hình chiếu của đt :

1 2

2 3

y t

�  

� 

�

�   

�

trên mặt phẳng Oxz 

30 Xác định tọa độ điểm đối xứng của điểm A3;1; 1 qua đt  là giao tuyến của hai mặt

phẳng  P :4x3y   và 13 0  Q :y2z  5 0

III MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP

1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm , , , A B C D có tọa độ xác định bởi:

2;4; 1 , 4

A  OB iuuur r  r rj k, C2;4;3, ODuuur  2 2ri r rj k

a) Chứng minh rằng AB AC AC AD AD AB ,  ,  Tính thể tích khối tứ diện

ABCD

b) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung  của hai đương thẳng

&

AB CD

c) Tính góc giữa & ABD .

d) Viết phương trình mặt cầu  S đi qua bốn điểm , , , A B C D

e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện   của  S song song với ABD 

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A1; 1;2 , 

1;3;2 ,

B C4;3;2 , D 4; 1;2 

a) Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng.

b) Gọi A là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng Oxy Viết phương trình mặt'

cầu  S qua bốn điểm ', , , A B C D

c) Viết phương trình tiếp diện   của  S tại ' A

3 Trong không gián với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

 S x: 2y2 z2 2x2y4z   và hai đường thẳng 3 0  1

1 :

y

  và  là2

đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng 2 2 0

�

�  

a) Chứng minh1 &  chéo nhau.2

b) Viết phương trình tiếp diện của  S , biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng

1& 2

4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A1;0; 1 , 1;2;1 , 0;2;0  B  C  G

là trọng tâm ABC

a) Viết phương trình đường thẳng OG

b) Viết phương trình mặt cầu  S qua bốn điểm , , , O A B C

c) Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu  S

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;6 B  C .

a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , A B C Tính diện tích ABC .

b) Gọi G là trọng tâm ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

1

y

x    z và mặt phẳng  P có phương trình x y 3z   2 0

a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và  P

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với  P

7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1; 1;0 và mặt phẳng  P có phương trình x y 2z   4 0

a) Viết phương trình mặt phẳng  Q qua M và song song với  P

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với  P Tìm tọa

độ giao điểm H của d và  P

8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 2 1

y

2

1

1 3

�   

�  

�

�   

�

a) Chứng minh rằng d1d2

b) Viết phương trình mặt phẳng qua K1; 2;1  qua vuông góc với d2

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E1; 4;5 ,  F 3;2;7 ,

1;0;2 , 3;1;5  

1 2

6

�  

�   

�

�  

�

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua F và có tâm là E

b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của EF

c) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d d) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;2;3 và mặt phẳng

  :2x3y6z35.

a) Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với  

b) Tính khoảng cách từ M đến  

c) Tìm điểm N trên Ox sao cho MN d M  ,  .

11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3; 2; 2  và   P :2z2y z  1 0

a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với  P

b) Tính khoảng cách từ A đến  P

c) Viết phương trình  Q song song với  P sao cho d Q    , P  d A P ,  

12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với

1;4; 1 , 2;4;3 ,   2;2; 1

a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2;1; 2 và đường thẳng

1 1

:

y



a) Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với 

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với 

14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M1; 2;0 ,  N 3;4;2 và mặt phẳng  P :2x2y z  7 0

a) Viết phương trình đường thẳng MN.

b) Tính khoảng cách từ trung điểm của MN đến  P

15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A2; 1;3  và

 P x: 2y2z10 0

a) Tính khoảng cách từ A đến  P

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với  P

16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa

S x  y  z  và mặt phẳng  P x: 2y2z18 0

a) Tìm tâm T và bán kinh của mặt cầu  S Tính khoảng cách từ T đến  P

b) Viết phương trình tham số của d đi qua T và vuông góc với  P Tìm tọa đô giao điểm của d và  P

17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1; 2;3  và đường thẳng

2

:

y

 .

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với d.

b) Tính khoảng cách từ A đến d c) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.

18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;0 , 0;3;0 , 0;0;2 B  C .

a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ABC 

b) Viết phương trình đường thẳng qua M8;5; 1 và vuông góc với  ABC

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M trên ABC 

19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P :2x y    và 2 0 d là đường thẳng m giao tuyến của hai mặt phẳng  

�

�

để d song song với m  P

20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 1

1

1 2

�  

�  

�

�  

�

và d là đường thẳng giao2

tuyến của hai mặt phẳng 2 4 0

�

�    

a) Viết phương trình mặt phẳng  P chứa d và song song với 2 d 1

b) Cho M l l Tìm tọa độ điểm H thuộc 2 1 4 d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ1 nhất.

21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho  P : x y 2z   và đường thẳng giao5 0

tuyến  của hai mặt phẳng k 3 2 0

1 0

kx y z

�

�    

� Tìm giá trị tham số k để đường thẳng

k

 vuông góc với  P

22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;0;0 , B 0;0;8 và điểm C

thỏa mãn ACuuur0;6;0 Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA