Tuyển chọn các bài Max – Min (câu 10 điểm) trong 21 đề thi thử Tây Ninh 2015 tập hợp những bài tập về Max – Min được lọc ra trong các đề thi thử THPT Quốc gia tại Tây Ninh năm 2015. Tài liệu giúp cho các bạn có cơ sở để ôn tập và luyện thi một cách tốt hơn. Mời các bạn tham khảo.
Trang 1hoctoancapba.com xin giới thiệu
Tuyển chọn các bài MAX – MIN (CÂU 10 ĐIỂM) trong 21 ĐỀ THI THỬ TÂY NINH 2015
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn chuyên đề MAX –
MIN trong kỳ thi THPT QG sắp tới.
ĐỀ 1 THPT Quang Trung – Tây Ninh
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: xyz = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P log23x 1 log23y 1 log23z 1
Trong mp(Oxy), gọi a (log ;1),3x b (log ;1),3y c (log ;1)3z
và n a b c n (1;3)
Ta có: a b c a b c log23x 1 log23y 1 log23z 1 12 32
0,5
P 10
, dấu = xảy ra khi ba vecto a b c, , cùng hướng và kết hợp điều
kiện đề bài ta được x=y=z=3 3
Vậy MinP= 10 khi x=y=z=3 3
0,5
ĐỀ 2 THPT Trần Phú – Tây Ninh
Cho ba số thực a, b, c thỏa: a0;1 , b0;2 , c0;3
Tìm giá trị lớn nhất của
P
Ta có: a0;1 , b0;2 , c0;3
2 2
a b c ab bc ac
a c ab bc
b a c
ab ac bc ab ac bc
0.25
Trang 2Mặt khác b c a b c ( vì a0;1)
b c b a c a b c b a c ab bc ac
Với mọi số thực x, y, z, ta có
2
2 2 2
3
2 2 2
12a 3b 27c 3 2 a b 3c 2a b 3c 2a b 3c 2ab bc ac
=> 12a2 3b b2 27c2 82ab bc ac b 8
0.25
Suy ra
P
ab bc ac ab bc ac ab bc ac
ab bc ac
P
ab bc ac ab bc ac
Đặt t 2ab bc ac t 0;13
Xét hàm số 2 8 , 0;13
t
2 2
0.25
0 1; 6 16; 13 47 16 0;13
Do đó: P 167 Khi a1;b2;c23 thì P 167 Vậy giá trị lớn nhất của P là 167
0.25
ĐỀ 3 THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh
Cho x là số thực thuộc đoạn [ 1, ]5
4
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
P
Trang 3Đặt a 5 4 , x b 1 x thì a2 4b2 9, với a b , 0
Do đó đặt [0, ]
2
với a=3sin ,2b=3cos Khi đó:
3 3sin cos 2sin cos
2
2 6 3sin 3cos 6 2sin 2cos 4
a b
P
a b
0,25
Xét hàm số ( ) 2sin cos
2sin 2cos 4
f x
với [0, ]
2
x
Ta có /
2
6 4sin 8cos
0,25
Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0, ]
2
Do đó:
min ( ) (0) ;max ( ) ( )
0,25
P khi x
1
1 3
Max P khi x
0,25
ĐỀ 4 THPT Lê Hồng Phong – Tây Ninh
Cho 3 số thực dương a b c, , thoả mãn abc 1
b a c b a c
Giải
Ta có
1
a ba
b a a ba
Tương tự:
1 2
b bc
c b
1 2
c ac
a c
Cộng các vế của các BĐT trên ta có:
Trang 41 1 1
b a c b a c
=
1
bc bca babc b cb b bc bac
bc b b cb b bc (điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
ĐỀ 5 THPT Nguyễn Trung Trực – Tây Ninh
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
3
2
abc P
Áp dụng Bất đẳng thức x y z 2 3xy yz zx , x y z, , ta có:
ab bc ca 2 3abc a b c 9abc 0
3
Ta có: 1 a 1 b 1 c 1 3 abc3, a b c, , 0. Thật vậy:
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca abc
3 3 2 3 3
1 3 abc 3 abc abc 1 abc
0,25
Khi đó
3 3
2
1 1
3 1
abc
abc abc
Đặt 6 abc t Vì a b c , , 0 nên
3
3
a b c abc
0,25
Xét hàm số
2 2 3
2
, t 0;1 1
3 1
t Q
t t
5
Q t
0,25
Trang 5Do hàm số đồng biến trên0;1 nên 1 5 2
6
Q Q t Q
Từ (1) và (2) suy ra 5
6
P
Vậy max 5
6
P , đạt được khi và chỉ khi: a b c 1 0,25
ĐỀ 6 THPT Lý Thường Kiệt – Tây Ninh
Cho 3 số thực x y z, , khác 0 thỏa mãn: x y z 5 và x y z 1 Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P 1 1 1
Ta có: y z2 4yz 5 x2 4 x 0 3 2 2 x 4 x 3 2 2
x
0,25 Xét hàm số: f x 1 x5 x f ' x 12 5 2x
Với: x 0 3 2 2 x 4 x 3 2 2
2
0,25 Lập bảng biến thiên đúng
Tính được:
1 2 3 2 2 1 4 2
1 2 3 2 2 1 4 2
0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 4 2
đạt tại: x y 1 2,z 3 2 2 hay x z 1 2, y 3 2 2
Trang 6hoặc x y 3 2 2, z 1 2 hay x z 3 2 2, y 1 2 0,25
ĐỀ 7 THPT Tân Châu – Tây Ninh
ĐỀ 8 THPT Lê Duẫn – Tây Ninh
Cho x, ,y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
P
x xy xyz x y z
2 8 2 8 32
x xy xyz x x y x y z
x x y z x y z
0.25
t x y z t P f t
t t
33 12; 0 1
t t
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) ta được min
3 2
P tại t=1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16 21 1
4
2 8
21
21
x
x y z
z
0.25
ĐỀ 9 THPT Hoàng Văn Thụ - Tây Ninh
Cho a, b, c không âm và a2 b2 c2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P ab bc ca b c
Cho a, b, c không âm và a2 b2 c2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Trang 7Ta có 3 a b c 2 3a2 b2 c2
3 a b c 2 9
3 a b c 3
0,25đ
Đặt t a b c với t 3; 3
3
ab bc ca
0,25đ
Nên 1 2 5
5
P t t t
P t t t
0,25đ
BBT
t 3 3
P’(t) +
P(t)
22
4 5 3
Vậy P max 22 với t 3 a b c 1
0,25đ
ĐỀ 10 THPT Trảng Bàng – Tây Ninh
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc và a2 b2 c2 5
Chứng minh rằng: (a b)(b c)(c a)(abbcca) 4
Ta có: (a b)(b c)(c a)(abbcca) 4
P (a b)(b c)(a c)(abbcca) 4
Do abc nên
Nếu ab+bc+ca<0 thì P 0 4(đúng)
0,25
Trang 8Nếu ab+bc+ca 0thì đặt ab+bc+ca = x 0
Áp dụng BĐT Côsi :
4
) ( ) )(
(
2
c a c b b
a
) 1 ( 4
) ( ) )(
)(
(
3
c a c a c b
b
a
Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2(a b) 2 (b c) 2 (a c) 2
và 4 (a2 b2 c2 ab bc ca) 2 (a b) 2 2 (b c) 2 2 (a c) 2
) 2 ( 3
5 2 5
0 ) ( 3 )
5
(
4
) ( 2 ) ( ) (
4
2
2 2
2 2
2
x c
a
va
x
c a x
c a c
a ca bc ab c b
a
Từ (1) và (2) ta có:
3
3
) 5 ( 9
3 2
4
)
(
x x
x
c
a
0,25
Xét hàm số ( ) ( 5 ) 3 ; 0 ; 5
x f
5
2 0
) ( '
; ) 2
5 5 ( 5
)
(
'
x
x x
f x
x x
f
Ta có: f( 0 ) 0 ; f( 2 ) 6 3 ; f( 5 ) 0
( ) 6 3 ( ) ( 5 ) 3 6 3 ; 0 ; 5
5
;
0 f x f x x x x
Max
0,25
4 3
6
.
9
3
2
0 2
5 2 2
5 2 2
2 2 2 2
2
b c
b a a c a b
ca bc ab
c b a c a
c b b a x
0,25
ĐỀ 11 THPT chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh
Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
Trang 9x y z
Tương tự ta có
2
x y z
y zx y zx (2)
x y z
z xy z xy (3)
0.25 Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
ĐỀ 12 THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tây Ninh
Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
b c2 c d2 d a2 a b2 2
1 1 1 1
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
2
a a ab c a ab c a ab c a ab c a ab abc
b c 1+b c b c
2
2 1
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
2
bc d
b b bc d b bc d b bc d b b bc bcd
c d 1+c d c d
2
1
(2)
2 1
2
cd a
c c cd a c cd a c cd a c c cd cda
d a 1+d a d a
2
1
(3)
2 1
2
da b
d d da b d da b d da b d d da dab
a b 1+a b a b
2
1
(4)
2 1
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
0,25
Trang 10a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
b c2 c d2 d a2 a b2 4 4 4
0,25
Mặt khác:
ab bc cd da a c b d a c b d
2
4 2
Dấu "=" xảy ra a+c = b+d
abc bcd cda dab ab c d cd b a a b c d c d b a
abc bcd cda dab a b c d a b c d a b c d
a b c d abc bcd cda dab
2
4 2
Dấu "=" xảy ra a = b = c = d = 1
b c2 c d2 d a2 a b2
4 4 4
4 4
1 1 1 1
b c2 c d2 d a2 a b2 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
0,25
Trang 11ĐỀ 13 THPT Nguyễn Trãi – Tây Ninh
Cho a,b là hai số thực dương thỏa 2 5
4
a b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1
4
F
Ta có : 2 1 2 8 1 4 (8 4 )
4
Bất đẳng thức Côsi cho :
8a 8
a
4 2
4b b
Suy ra F 5
0.25
5
MinF đạt khi
2 8
1 1
4
1 5
4 , 0
a a
a b
b
b
a b
a b
0.25
ĐỀ 14 THPT Nguyễn Huệ - Tây Ninh
Cho x,y R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2
( 1)( 1)
P
Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có 2
4
t
3 2 (3 2)
1
t t xy t
P
xy t
Do 3t - 2 > 0 và 2
4
t xy
Trang 123 2
2 2
(3 2) 4
2 1
4
t t
P
t
Xét hàm số
2
4
f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
t 2 4 +
f’(t) - 0 +
f(t)
8
0,25
Do đó min P = (2; min ( ) ) f t
= f(4) = 8 đạt được khi x xy y44 x y22
ĐỀ 15 THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh
Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a c và ab bc 2c2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c
a b b c c a
Theo giả thiết: 2 ên 1
2
a
a c n
c
2 a b b 2 a c 1
ab bc c
Vì 1
2
a
c nên 4
3
b
c
Đặt t c
b
thì 0 3
4
t
2 2
1
1 1
t t
P
Xét hàm số ( ) 1 2 7 , 0;3
Trang 133 '( ) 0, 0;
4
f t t
, do đó f t( )đồng biến trên 0;3
4
Do đó GTLN của hàm số đạt tại 3
4
t , suy ra max 27
5
P
Đẳng thức xảy ra khi
2 2
2
ab bc c
a c
(a,b,c)=(3,8,6)
ĐỀ 16 THPT Trần Quốc Đại – Tây Ninh
Cho a b c, , là các số dương và a b c 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a bc b ca c ab
Vì a + b + c = 3 ta có 3a bc bc a a b c( bc ) bc (a b a c bc)( )
2
bc
a b a c
Vì theo BĐT Cô-Si: a b a c1 1 (a b a c2)( )
, dấu đẳng thức xảy ra b = c
0,25
2 3
b a b c
b ca
2 3
c a c b
c ab
Suy ra P2(bc ca a b ) 2( ab bc c a ) 2( ab ca b c ) a b c 2 32
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3
2 khi a = b = c = 1 0,25
ĐỀ 17 THPT Nguyễn Chí Thanh – Tây Ninh
Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3
Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
Trang 143 3 3
Cộng từng vế của (1), (2) ta có
3
0,25
Mặt khác ta lại có 1 1 4 1 4 1 1 4
3
0,25
Theo giả thiết x = y = 4 nên
2 3
3 .7
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 7 1
2
1 7
2 4
x x
y
x y
x y
Vậy min 343
4
S
0,25
ĐỀ 18 THPT Bình Thạnh – Tây Ninh
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x (y z)2 y (z x) z (x y)2 2
Ta có : P x2 x2 y2 y2 z2 z2
Trang 15Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y R
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay x2 y2 x y
y x x, y > 0 Tương tự, ta có :
y z
y z
z y y, z > 0
z x
z x
x z x, z > 0
0,25
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 0,25 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 13 Vì vậy, minP = 2 0,25
ĐỀ 19 THPT Lộc Hưng – Tây Ninh
Cho x0,y0 thỏa mãn x y xy2 2 x y 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2 2 (1 2 ) 3
2
xy
xy
+ Ta có
3
2
t
+ Ta có
3
Nên f(t) đồng biến trên
0.25 điểm
0.25 điểm
Trang 164; ( ) (4) 71
4
Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71
4 khi x = y = 2
0.5 điểm
ĐỀ 20 THPT Châu Thành – Tây Ninh
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P 2xy y 5(x2 y2 ) 24 8( 3 x y ) ( x2 y2 3)
2
x y x y x y xy
Ta có 5(x2 y2 ) 2x y 2 5(x2 y2 ) 2 x y và
2 2 2
2 2
Suy ra P 2(xy x y ) 24 2( 3 x y xy 3)
0,25
Đặt t x y xy t , 0;5 , Pf t( ) 2 t 24 2 3 t 6
2 3
/
(2 6) 8 24.2
3 (2 6) (2 6)
t
Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng 0;5
Suy ra min ( )f t f(5) 10 48 2 3
min 10 48 2,
1
x
y
0,25
ĐỀ 21 THPT Trần Đại Nghĩa – Tây Ninh
Xét các số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x2 y2 z2 3 Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức P=xy+yz+zx+ 4
x y z
Trang 17
2
2
1 2
3 2
2
x y z
x y z
x y z
Ta có: xy + yz + zx =
=
Do đó P=
0.25
2
2 2
3 3
3 2
x y z
x y z
x y z
x y z
Vì 0 xy + yz + zx
Nên 0
Suy ra
0.25
2
2
3
3 4
2
3 4
2
t t
t
t
t t
t
Đặt t =x+y+z,
P=
Xét f(t)= với
f'(t)=
(loại)
0.25
Trang 18
4 3
3
3
13
3
3
13
3 13
3
13 3
13 3
f
f
Nên f khi
Do đó P
Khi x=y=z=1 thì P=
Do đó giá trị lớn nhất của P là
0.25