Các nghiệm điều thỏa điều kiện.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT CƯM’GAR
KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ IV, NĂM 2019
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP: 11
Trang 2ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN
Câu 1(4đ) Tìm nghiệm của phương trình
cos 2 sin cos
1 sin 2
x
x
trên khoảng ;0
Đáp án câu 1.
Câu 1:
4,0
điểm
Điều kiện: ,
4
x k k R
Ta có:
cos 2 sin cos
1 sin 2
x
x
sin cos sin cos sin cos
sin cos
1,0
sinx cosx sinx cosx sinx cosx
sin cos 0 sin cos 1
1,0
4
1 sin
x x
4 2 3 2 2
k R
x k
Các nghiệm điều thỏa điều kiện 1,0
Vì x ;0
nên x 4
; x 2
1,0
Câu 2 (4đ): Cho dãy số (un) xác định bởi
n
n 1 n
0 u 1
1
u (1 u )
4
; nN* Tính nlim un
Đáp án câu 2.
Câu 2:
4,0
điểm
Chứng minh dãy (un) là dãy tăng :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương un 1 và 1 u n, ta có:
1
2
là dãy tăng
1,0
Trang 3Vì ( )u n là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 nên dãy số (un) có giới hạn, giả
Ta có:
u (1 u ) , n N* lim u (1 u )
n 1 n 1 n
1 lim u lim(u u )
4
a a
4
a 2
Vậy n
1 lim u
2
Câu 3(3đ) Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là
f (A) A,f (B) B,f (C) C Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó
Đáp án câu 3.
Câu 3:
3,0 điểm
Vì f (A) A,f (B) B và f (C) C nên f biến tam giác ABC thành tam giác
ABC
1,0
Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và f (M) M ' thì M ' thuộc mp(ABC) và
Nếu M ' và M phân biệt thì ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực của
đoạn thẳng MM ' trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác
Câu 4 (3đ) Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn: x f x2 f 1 x 2x x 4 1 , x R
Đáp án câu 4.
Câu 4:
3,0
điểm
x f x f 1 x 2x x 1 , x R Giả sử hàm số f : R R là một nghiệm hàm
Trong (1) thay x bởi 1-x ta có: 1 x f 1 x 2 f x 2 1 x 1 x 4
(2),
x R
1,0
Từ (1) và (2) ta có: x2 x 1 x 2 x 1 f x 1 x2 x2 x 1 x 2 x 1
, x R
1,0
Trang 4 2 2 2
x x 1 f x 1 x x x 1
, x R
Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x2 x 1 0
Ta có:
2
1 x khi x a, x b
f x c khi x a
d khi x b
với c,d thuộc R tùy ý Thử lại ta thấy thỏa mãn
1,0
Bài 5 (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; số 23n 1 chia hết cho 3n1 nhưng không chia hết cho
2
3n
Đáp án câu 5.
Câu 5:
3,0 điểm
Đặt A n = 23n 1
n = 0 thì A 0 = 2 11 = 3 chia hết cho 31 mà không chia hết cho 32
1,0
Giả sử A k = 23k 1chia hết cho 3k+1 mà không chia hết cho 3k+2 (A k = B.3 k+1 ; với B
nguyên, không chia hết cho 3).Ta có:
2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 2 k 1
A k+1 A A k k2 3 2 3k
= B 3k 1B 3k 12 3 23k
Dễ thấy: B3 2 1.3 k chia hết cho 3 mà B 23k không chia hết cho 3 (vì B không chia
hết cho 3) nên 2 2.3 1 23
k
k
B không chia hết cho 3
Câu 6 (3đ) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi
một khác nhau sao cho trong đó luôn có ba chữ số 1, 2, 3 và có ba chữ số có tổng bằng 9
Đáp án câu 6.
Câu 6:
3,0 điểm Ta có 9 1 2 6
1 3 5 2 3 4
Vì trong số cần lập luôn có ba chữ số 1, 2, 3 nên trong ba chữ số còn lại cần có ít nhất một chữ số thuộc 4;5;6
1,0
Trường hợp 1: Số cần lập có một chữ số thuộc 4;5;6 , có 1 2
3 3
C C 6! 6480 (số)
Trường hợp 2: Số cần lập có hai chữ số thuộc 4;5;6 , có 2 1
3 3
C C 6! 6480 (số)
Trường hợp 3: Số cần lập có ba chữ số thuộc 4;5;6
, có 6! 720 (số)
1,0
Trang 5Vậy số các số cần lập là 6480 6480 720 13680 1,0