học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu tôi thích thú tò mò tì[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC NINH
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS Ngày thi: 15/5/2020
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Tên : Trương Quang An Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƯU TẦM đề và giải
Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2
P n n với n nguyên dương lần lượt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta được giá trị tương ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 Tính S=P1 + P2 + +P9 + P10
2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đường thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lượt
là hình chiếu của A,B trên trục hoành
Câu 2(4,0 điểm)
2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số a b c, , Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )được kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 Biết x1 +x2 =-1.Chứng
4
c
Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dương thỏa a+b+c=3.Chứng minh
0
2.Tìm các số nguyên dương n thỏa 2 2 2 2
1 2 3 4
nd d d d trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ước số dương nhỏ nhất của n
Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O)
với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đường thẳng song song MO cắt đường tròn (O) tại
Trang 2E khác A.Đường thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB
a.Chứng minh 2
.
MN FN NA b.Chứng minh 0
90
HFN và MN=MH c.Chứng minh
2 2
E 1
HF FM
2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H
là trực tâm tam giác ABC Gọi I,J lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH
Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực
hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ?
Lời giải
Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho 2
P n n với n nguyên dương lần lượt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta được giá trị tương ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 Tính S=P1 + P2
+ +P9 + P10
2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đường thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lượt
là hình chiếu của A,B trên trục hoành
Lời giải
P n n n n S
x m x m m m.Vì phương trình có 2 nghiệm trái dấu ,giả sử xA = xD <0; xB = xC >0 Vì
D 7,5 ( 2 1 )( 2 1 ) 15 ( 2 1 )( 1 2 ) 15 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 15
ABC
với
2
2 1
2 1
2 1
8
2
x x
.Thay vào trên ta có
8.( 8) 15 ( 1) ( 8) 9( 4) 45 0 1
m m m m m m
Trang 3Câu 2(4,0 điểm)
2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số a b c, , Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )được kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 Biết x1 +x2 =-1.Chứng
4
c
Lời giải
1.Ta có
3
(2x 1) 0
x
.Ta có
kiện
2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt ) hay
x2+bx+c=0 có 2 nghiệm t1 , t2 và mỗi phương trình x2+bx+c=t1 và x2+bx+c=t2 đều
có hai nghiệm với t1 + t2 =b.Khi đó ta có
2
2 2
2
2
4a 0
4a 0 4( ) 0
4 2 0 4( ) 0
.Với x1 ,
x2 là nghiệm chung ta có x2+bx+c=t1 và x2+bx+c=t2 hay suy ra x1 + x2 =-b nên b=1 lúc đó 1
4
c
Với
2
2 x
Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dương thỏa a+b+c=3.Chứng minh
0
Trang 42.Tìm các số nguyên dương n thỏa 2 2 2 2
1 2 3 4
nd d d d trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ước số dương nhỏ nhất của n
Lời giải
1.Ta có
2 3
(đúng vì a b c 3 abc 1)
2.Gỉa sử d1 < d2 <d3 < d4 suy ra d1 =1.Nếu n lẻ thì 2 2 2
2 3 4 1
n d d d thì trong ba d2
,d3 , d4 số phải có 1 chẵn hoặc cả ba cùng chẵn.Gỉa sử đó là d2 Mà d2 là ước n suy ra n chia hết cho 2 hay n chẵn nên mâu thuẫn Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 hay d2 =2.Lúc đó 2 2
3 4 5
n d d hay suy ra d3 ;d4 phải có 1 chẵn hoặc 1 lẻ Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n ta có d3 =p;d4 =2p.Lúc đó n chia hết cho 5 hay d3
=5;d4 =10
Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O)
với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đường thẳng song song MO cắt đường tròn (O) tại
E khác A.Đường thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB
a.Chứng minh 2
.
90
HFN và MN=MH c.Chứng minh
2 2
E 1
HF FM
2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H
là trực tâm tam giác ABC Gọi I,J lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH
Trang 5H
O M
B N
H O
E
C B
A
M
J
N K
F
Lời giải
1a.Ta cóNMFA F A FE ; E NAMNMFNAM NMFđồng dạng NAM dpcm
E 90
MA nên BE là đường kính.Ta
có 2
NHFM M NABNHFNAB HNFNAB HFN Ta có
.
1c.Ta có
HF HN HA MN HB HF MN HF MF MN MF
.
Trang 62.Gọi E,F lần lượt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.Ta chứng minh E,H,F thẳng hàng.Ta có AMB AEB;AMB ACBA BE ACB.Tứ giác HNCD nội tiếp hay
ACBBH A BBH Tứ giác AEBH nội tiếp
nênEHBE BA BAM EHBBAM Tương tự ta
180
Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực
hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ?
Lời giải
Gọi a,b là số lần chuyển đổi lẻ lần với a b, , ,a b 2020.Nếu có a cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-b)a Nếu có b cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-a)b.Tổng số ô mang dấu – là
:(2020 b a) (2020 a b) 18 (1010 b a) 9 1010 (b b 1010)
1020091 19.53.1013
a
Phương trình này không có nghiệm nguyên
nên bảng không có 18 dấu -
Trang 7Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời mình ra Hà Nội ,Lại một lần nữa mình không ra dược vì không có tiền mua vé tàu Tại sao cuộc đời lại bất công với tôi như thế Mình sống trên núi cao quá ,mọi thứ đều khó khăn
Trên chuyến tàu của toán học luôn thiếu mình Một lời giải mà mình giải không ra Đó là Tiền ,tại sau toi lại bần cùng đến như vậy hả trời Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài Tuyển dụng công chức là để tìm người nhà và tiền Kẻ như tôi thì không có : THÂN THẾ TIỀN và như thế bị vứt ra đường trong chuyến tàu tốc hành của giáo dục Việt Nam Tại sao người ta có thể mua một kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà mình lại mua một vé tàu đi về Quảng Ngãi –Hà Nội giá
700 trăm nghìn không được ,bài toán giải mãi mà chẳng xong Người
Trang 8bần cùng ,kẻ thì mua kg nho Nhật Bản 2 triệu cho đứa con 4 tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước Nho này hiếm mà có kg nào nhập
về là dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết trong một giời đồng hồ Thật sự sốc ,trái cây Việt Nam rẻ như bèo mà “ cho không lấy ,thấy không xin nói gì tới việc mua bán nữa “Tôi tên là :Trương Quang An
Vừa rồi ngày 4-1-2016 tôi có nhận được 1 giấy mời ra Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi Bản thân tôi và gia đình rất vui và thấy đây là một vinh
dự nhưng hoàn cảnh gia đình quá khó khăn Tôi đi làm lương quá thấp ,dạy hợp đồng ,vợ tôi đi làm công nhân ở xa sáng đi 5h sáng ,chiều 8h mới về nhà Vợ tôi làm thì tháng nào có sản phẩm thì có lương ,không có sản phẩm làm thì tháng đó không có lương ,một tháng được 2 triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho cuộc sống hằng ngày Tôi học toán-tin và chỉ dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải cuộc sống Cha tôi ngày xưa làm phụ
hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ tôi đi rửa chén thuê cho các nhà quán ăn .Tôi đam mê toán học khi là học sinh cấp 1 Tôi rất nghèo nhưng niềm đam mê toán học trong tôi rất lớn dù tôi có hoạt đông bên lĩnh vực khác Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí đã có thư mời tôi ra Hà Nội nhé Tiền tàu xe đi và về ,ăn ở bản thân tôi lo không nổi nên không thể ra dự với tạp chí Năm ngoái tôi không ra
Đà Nẵng dự hội thảo được ,năm nay lại thất hứa Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên tôi xin chúc tạp chí luôn phát triển mạnh mẽ và có nhiều người đam mê toán học nhé Tôi xin hứa là sẽ thường xuyên viết bài và gởi bài cho tạp chí toán tuổi thơ và tạp chí toán học& tuổi trẻ
Tôi rất buồn Xin chân thành ghi nhận tấm lòng của tạp chí
Trang 9Tên : Trương Quang An
Ngày sinh :20-5-1987
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009
Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi
Thành tích lúc đi học :
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , tôi phải xa giảng đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia tay đại học Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học Các Thành tích :
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008
-Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio cấp trường
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục đề
ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí toán học và tuổi trẻ
-Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo
ở quê Quảng Ngãi
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu vào chuyên toán
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lưu học hỏi
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu Hằng ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó Tôi đến với tạp chí toán
Trang 10học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 Mười sáu năm qua tôi đã coi tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên mục đề ra kỳ này Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời tôi Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sướng ,không tả nỗi Đó
là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật Nhưng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng
INTERNET Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán học Tôi nhớ mãi năm 2008khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak Sinh viên qua nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có
tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình thường lấy tạp chí toán học ra xem Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để dạy toán Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có Hồi xưa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm Vào năm 2014 thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà luôn Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy
cũ đề đi làm Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ thành công Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại
Trang 11chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh vì cuộc sống hằng ngày Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi không Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư phạm ,
Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ ,
tạp chí toán tuổi thơ
Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi
Trương Quang An