NW359 360 DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA mãn điều KIỆN GV

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mặt phẳng  P  Tìm một điểm thuộc đường thẳng.. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng nằm trong  P, vuơng

Phân tích hướng dẫn giải

đường thẳng khác

Phương pháp

- B 1 : Gọi tọa độ giao điểm của đường thẳng d cần tìm với d d 1, 2

- B 2 : Dựa vào kết quả véc tơ AB

cùng phương với véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

- B 3 : Viết phương trình đường thẳng qua A B,

Từ đó ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Gọi A a(2 1, , 2a  a1) và B b( 2, 2 ,b b 1) lần lượt là giao điểm của đường thẳng d cần tìm với

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng  P

 Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua A và song song với mặt phẳng  P .

 Viết phương trình mặt phẳng  R

đi qua A và chứa d

 Đường thẳng cần tìm là giao điểm của  P

và  Q

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mặt phẳng  P

 Tìm một điểm thuộc đường thẳng

 Tìm vec-tơ chỉ phương của đường thẳng

 Nêu kết luận về phương trình đường thẳng

DẠNG TOÁN 45: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỚI MẶT PHẲNG VÀ

ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng nằm trong  P

, vuơng gĩc với d tại giao điểm I của đường

Giả sử đường thẳng d cắt các đường thẳng d1,d2lần lượt tại và BA

1:

x y z

cĩ VTPT n  1;1; 2 ; Đường thẳng  cĩ VTCP 1 u  2;1; 1 

Ta có n u    ,  1; 3; 1

.Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng 2  R đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng  1

Do đó  đi qua 2 I 0;0;1 và nhận n u , 

làm một VTCP

Vậy phương trình của  là 2

31

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm E2;1;3, mặt phẳng  P : 2x2y z  3 0 và mặt cầu

  S : x 32y 22z 52 36

Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong  P và cắt

 S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất Tìm phương trình của .

Câu 7. Trong không gian Oxyz, viết đường thẳng đi qua điểm M1; 2;2

, song song với mặt phẳng

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

 P z  : 1 0

và  Q x y z:    3 0

Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P

, cắtđường thẳng

y t z

y t z

d'

d Q

P I

z y x

Gọi M    d    M 1 2 ;1 ; 2 3t t  t

.Khi đó AM 2t 2; ; 3t t4

là một vectơ chỉ phương của  

cắt d và song song với  P là

A.

21

x t y

Lấy tọa độ điểm M0;2; 1 

thay vào các phương án

0 1

2 2

t t t

x t y

có phương trình

1

2 21

Gọi B   d    B3 ;3 3 ;2t  t t

Do A d

nên AB t 2;3 1;2 1t t 

là một vectơ chỉ phương của  

2 1 1



 

x y z d

và songsong với mặt phẳng  P x y z:    2 0 .

A

123

1 1 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm

trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.

Lời giải Chọn C

P d d

n

n u u

song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với d là

Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  P , đồng thời

cắt và vuông góc với đường thẳng d

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P

Vectơ chỉ phương của đường thẳng  là:    ,  5; 1; 3  

d P

.Phương trình chính tắc của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến của  P

là nghiệm hệ phương trình sau:

Mặt phẳng  

có một véctơ pháp tuyến là n   1;1; 1 

.Gọi M là giao điểm của d và , ta có: M3t;3 3 ; 2 t t

Khi đó AM   1; 2; 1

là một véctơ chỉ phương của 

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

Tọa độ giao điểm B của d và  P là nghiệm của hệ phương trình

x y z

vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z  10 0 và đường thẳng

và d lần lượt tại M và N sao cho A1;3;2

là trung điểm MN Tính độ dài đoạn MN

A MN 4 33 B MN 2 26,5 C MN 4 16,5 D. MN 2 33

Lời giải Chọn C

Vì M  Δ  P nên M P , do đó 2 4 2  t  5 t  3t10 0   t 2

Suy ra M8;7;1

và N   6; 1;3

Vậy MN 2 66 4 16,5

Câu 20. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M  1;2;2

, song song với mặt phẳng

Gọi đường thẳng cần tìm là  Gọi I  d  I d  I t ;1 ; 1  t t

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

  :x y z   3 0 đồng thời đi qua điểm M1;2;0 và cắt đường thẳng

.Gọi A2 2 ;2 t t;3td là giao điểm của  và d

Gọi M là giao điểm của  và d Suy ra tọa độ 2 M có dạng M1 ;1 2 ; 1 t  t  t Ta thấy2

 P x: 2y2z 4 0 Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P sao cho

đường thẳng d cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng  là:

A

2 4

3 31

Gọi u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d cần dựng Gọi n ur ur, 1

lần lượt là vectơ pháptuyến của ( )P , vectơ chỉ phương của đường thẳng , ta có n r 1; 2; 2

Ta lại có đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P

và d cắt , d đi qua điểm M là giao điểm

chung giữa đường thẳng với  P

ì = +ïï

ïï = íï

-ï = +ïïî

ì = +ïï

ïï = +íï

ï =- +ïïî

ì = +ïï

ïï = íï

-ï =- +ïïî

Lời giải

ïï

D íï = +

ï ïïî

ì = +ïï

ïï = íï

-ï =- +ïïî

Câu 25. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0;0 , B0; 2;0 , C0;0;3 

Đường thẳng  đi qua

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt phẳng Oxy

và vuông góc với

đường thẳng AB có phương trình là

A

13984024913598

Đường thẳng d đi qua A nên d B d ;  BA, do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi

 P x y:   5z  Đường thẳng đi qua điểm 3 0 A cắt đường thẳng d tại điểm có tọa độ

nguyên đồng thời tạo với mặt phẳng  P

một góc  thỏa

122cos

123

 

nên ta có

1sin

  điểm này không có tọa độ nguyên nên loại

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

 P : 2x y z   1 0 Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của đường thẳng d với

 P , nằm trên mặt phẳng  P và vuông góc với đường thẳng d.

Vì đường thằng  nằm trong (P) nên nhận n  2;1;1làm VTPTcủa đường thẳng t

Vì đường thằng  vuông góc với d nên nhận u  d 2; 1;1  

 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng

chứa d và d đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.

d đi qua A2;1; 4 và có véc tơ chỉ phương u   1  1; 2; 2 

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1

: 2x y  4 0.Gọi ua b c; ; 

 1 

1.1 2.2 70cos ;

Do d là đường phân giác của góc nhọn nên 1,d 45

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc C là

đi qua A và vuông góc CD là

x y z t

Do ABC nên đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương là CA    2; 2;0 2 1;1;0 

, nên

phương trình đường thẳng BC là

431

là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

 P : 2x y 2z  Đường thẳng 1 0  đi qua E  2; 1; 2 

, song song với  P

Mặt phẳng  P

có vec tơ pháp tuyến n  2; 1;2 

và đường thẳng d có vec tơ chỉ phương

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t  f  0  suy ra 5  ;d  bé nhất khi m 0 n 2

Do đó T m2 n2 4

Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng  đi qua E  2; 1; 2 

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M   2; 2;1 , A1;2; 3  và đường thẳng

 Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua

M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. u  2; 2; 1  B. u  1;7; 1  C. u  1;0; 2 . D u  3; 4; 4 

Lời giải Chọn C

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d , khi đó  P chứa .

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên  P

và  Khi đó: AK AH const: nên AKminkhi K H Đường thẳng AH đi qua A1, 2, 3  và có vectơ chỉ phương u  d 2; 2; 1 

nên

AH có phương trình tham số:

1 2

2 23

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A:

Gọi D là điểm đối xứng với M qua  d

Khi đó D AC  đường thẳng AC có một vectơ

D D D

x y z

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M 1 3; 1; 1   và có một véctơ chỉ phương là u   1 1; 2;1

.Đường thẳng d đi qua điểm 2 M 2 0;0;1

là x y z   1 0 Gọi A d 3  thì A1; 1;1  Gọi B d 4  thì B  1;2;0 .

A 

  Gọi  là đường thẳng nằm trong mặt phẳng   ,

song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3 Đường thẳng  cắt mặt phẳng Oxy

tại điểm B Độ dài đoạn thẳng AB bằng.

3 5

CH BC

Do đó

;

3

u MB u

Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông K , O cùng nhìn BC

dưới một góc vuông) suy ra OKB OCB   1

Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông K, H cùng nhìn DC

dưới một góc vuông) suy ra DKH OCB  2

Từ  1 và  2 suy ra DKH OKB  Do đó BK là đường phân giác trong của góc OKH và

AC là đường phân giác ngoài của góc OKH

Tương tự ta chứng minh được OC là đường phân giác trong của góc KOH và AB là đường

phân giác ngoài của góc KOH

Ta có OK  ; 4 OH  ; 3 KH  5

Gọi I , J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc OKH và KOH

Ta có I ACHO ta có

45

IO KO

IH KH 

45

, với a BC ,

b CA , c AB ” Sau khi tìm được D, ta tìm được A với chú ý rằng A DH và OA DA

 Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm A bằng cách chứng minh A là tâm đường tròn bàngtiếp góc H của tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc

sau: “Cho tam giác ABC với J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, ta có

Suy ra:

2 2

t 

Suy ra

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3 ,) (B 0;1;2)

Đường thẳng đi qua điểm

Đường thẳng d đi qua 2 điểm A B, có phương trình:

Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 2;6 ,) (B - -1; 2; 4), đường thẳng

Viêt được mặt phẳng trung trực của AB: x2y z   1 0  P x: 2y z   1 0

Phương trình tham số của

Viết được phương trình mặt phẳng (A B C):2x- 3y+ -z 7=0



   

 nằm trong ( )P cắt và vuông góc với d suy ra đi qua M có VTCP a (2;5;11)



nên có phương trình:

Đường thẳng  đi qua điểm A , cắt d và

song song với mặt phẳng  α

Viết được phương trình đường thẳng : 2

có phương trình 3x y z    Gọi '3 0 d đối xứng với

d qua mặt phẳng Oxy Đường thẳng  đi qua điểm A, cắt 'd và song song với mặt phẳng

ïï = +íï

Ta có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là n 1;1; 1 



.Gọi B d thìB3 ;3 3 ;2t  t t  AB4t t;3 1; 2 t1

Do đường thẳng  song song với mặt phẳng  P

nên ta có  AB n . 0  4 t 3 1 2t  t1 02