NW359 360 DẠNG 44 KHỐI TRÒN XOAY bài TOÁN THỰC tế GV

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt + Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh giả sử SA dưới một góc vuông thì mặt cầu ngoại tiếp có bán với rlà bán kính của đường t

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Các công thức cơ bản về khối tròn xoay

1.1 Mặt cầu Khối cầu

+ Diện tích của mặt cầu có bán kính R là: S 4R2

+ Thể tích của khối cầu có bán kính R là:

3

43

V  R

+ Diện tích của chỏm cầu có chiều cao h của mặt cầu có bán kính Rlà: S 2hR

+ Thể tích của khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu có bán kính Rlà:

23

h

V h R�� ��

1.2 Mặt nón Khối nón

+ Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh l , bán kính đáy Rlà: S xq Rl

+ Diện tích toàn phần của hình nón có đường sinh l , bán kính đáy Rlà: S tp R l R  

+ Diện tích xung quanh của hình nón cụt có chiều cao h và bán kính hai đáy R R1, 2là: S xq h R 1R2

+ Diện tích toàn phần của hình nón cụt có chiều cao h và bán kính hai đáy R R1, 2là:

V  h R R R R

1.3 Mặt trụ Khối trụ

+ Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy Rlà: S xq 2Rh

+ Diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao h , bán kính đáy Rlà: S tp 2R h R  

+ Thể tích của khối trụ có chiều cao h , bán kính đáy Rlà: V hR2

2 Mặt cầu ngoại tiếp

2.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hay hình chóp nội tiếp mặt cầu) là mặt cầu đi qua tất cả

các đỉnh của hình chóp

Chú ý:

+ Hình chóp có đáy là một đa giác nội tiếp mới có mặt cầu ngoại tiếp

+ Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục của đáy hình chóp với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

2.1.2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt

+ Hình chóp có các đỉnh nhìn một cạnh (giả sử SA ) dưới một góc vuông thì mặt cầu ngoại tiếp có bán

(với rlà bán kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

DẠNG TOÁN 44.1: KHỐI TRÒN XOAY (BÀI TOÁN THỰC TẾ)

+ Hình chóp đều thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

2

2

SA R SO



(với SA là cạnh bên,

O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

2.1.3 Thể tích lớn nhất của khối chóp đều nội tiếp mặt cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối chóp đều đáy tam giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

3 max

8 327

khi hình chóp là một tứ diện đều có cạnh bằng

2 63

R

+ Thể tích lớn nhất của khối chóp đều đáy tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

3 max

6481

khi hình chóp có

43

R

h a 

+ Thể tích lớn nhất của khối chóp đều đáy n-giác nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

3 max

2.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

2.2.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (hay hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu) là mặt cầu chứa

tất cả các đỉnh của hình lăng trụ

Chú ý: + Chỉ có hình lăng trụ đứng và đáy là đa giác nội tiếp mới có mặt cầu ngoại tiếp.

+ Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tâm là trung điểm của OO , bán kính '

2 2

O O� là tâm của đường tròn ngoại tiếp hai đáy của hình lăng trụ, h là chiều cao hình lăng trụ, rlà bán

kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

2.2.2 Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình hình lăng trụ đặc biệt

+ Hình lập phương có cạnh bằng athì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

32

a

R

.+ Hình hộp chữ nhật có các cạnh a b c, , thì mặt cầu ngoại tiếp có bán kính

12

R a  b c

2.2.3 Thể tích lớn nhất của hình hình lăng trụ nội tiếp mặt cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu có bán kính Rlà:

3 max

8 39

khi khối hộp chữ nhật là khối lập phương có cạnh

2 33

a R

2.3 Mặt cầu ngoại tiếp hình nón

2.3.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón (hay hình nón nội tiếp mặt cầu) là mặt cầu đi qua đỉnh và

chứa đáy của hình nón

Chú ý: Mặt cầu ngoại tiếp hình nón có tâm thuộc đường cao của hình nón, bán kính

2

2

l R h

 (với l h, lần lượt là độ dài đường sinh và chiều cao của hình nón)

2.3.2 Thể tích lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính bằng Rlà:

3 max

3281

khi chiều cao khối nón bằng

43

, bán kính đáy

2 23

r R

2.4 Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

2.4.1 Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ (hay hình trụ nội tiếp mặt cầu) là mặt cầu chứa hai đáy của

hình trụ

Chú ý:

+ Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có tâm thuộc đường cao của hình trụ, bán kính

2 2

4

h

R r 

(với r h, lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ)

2.4.2 Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp khối cầu

+ Thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp khối cầu có bán kính bằng Rlà:

3 max

4 39

V   R

khi chiều cao khối trụ bằng

2 33

h R

, bán kính đáy

63

r R

3 Mặt cầu nội tiếp

3.1 Mặt cầu nội tiếp hình chóp

3.1.1 Định nghĩa: Mặt cầu nội tiếp hình chóp (hay hình chóp ngoại tiếp mặt cầu) là mặt cầu tiếp xúc với

tất cả các mặt của hình chóp đều

3.1.2 Công thức tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

+ Công thức tính bán kính mặt cầu nôi tiếp hình chóp có thể tích V và diện tích toàn phần S tp

là:

3

tp

V R S



4 Thể tích khối tròn xoay

+ Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), trục hoành và

hai đường thẳng x a x b ,  quanh trục hoành là:

2( )

b

a

V �f x dx

+ Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y ( ), trục tung và

hai đường thẳng y c y d ,  quanh trục tung là:

2( )

d

c

V �g y dy

+ Thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x y g x( ),  ( )và

hai đường thẳng x a x b ,  quanh trục hoành

TH1: Nếu đồ thị hai hàm số y f x y g x( ),  ( ) cùng nằm phía trên trục hoành hoặc cùng nằm phía dưới

trục hoành trên đoạn  a b;

TH2: Nếu đồ thị hai hàm số y f x y g x( ),  ( ) nằm về hai phía so với trục hoành và f x( )  g x( ) trên

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Các bài toán liên quan đến diện tích hình tròn xoay

 Các bài toán liên quan đến thể tích khối tròn xoay

 Các bài toán liên quan đến giá vật liệu

 Các bài toán max-min về diện tích

 Các bài toán max-min về thể tích

 Các bài toán về giá vật liệu rẻ nhất

 Các bài toán về giá nhân công rẻ nhất

 …

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng mộttấm kính cường lực Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên Biếtgiá kính 1m2 kính như trên là 1.500.000 đồng Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình muatấm kính trên là bao nhiêu?

A 23.591.000đồng B. 36.173.000đồng

C 9.437.000đồng D. 4.718.000đồng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán thực tế về hình trụ

+ Gọi R là bán kính của hình trụ Theo hình vẽ ta có góc ở đỉnh bằng 60� nên R4, 45

Vậy giá tấm kính là:

801.1500000 9436000400

đồng

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 3

Câu 1 Để làm một hộp đựng 5 quả bóng bàn đường kính 4cm , nhà máy sản xuất có thể làm theo hai

mô hình: mô hình 1 hộp là một hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và 5 quả bóng sắpchồng lên nhau, các quả bóng đều tiếp xúc với các mặt bên của hình lăng trụ, hai quả bóng ởtrên cùng và dưới cùng tiếp xúc với hai mặt đáy của hình lăng trụ; mô hình 2 hộp là một hìnhtrụ và 5 quả bóng đều tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình trụ, hai quả bóng ở trên cùng

và dưới cùng tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ Diện tích vật liệu mà nhà máy sản xuất tiếtkiệm được khi chọn mô hình tốn ít vật liệu hơn gần bằng bao nhiêu?

A. 251,32cm2 B. 68,67cm2 C.110,56cm2 D 100, 67cm2

Lời giải Chọn D

Câu 2 Bác An muốn làm một cái thùng đựng nước hình trụ không có nắp trên có thể tích bằng 1m3 từ

vật liệu là tôn Biết giá tôn là 70.000 (đồng/m2) Bác An làm tiết kiệm nhất thì số tiền đó (lấy

gần đúng đến hàng đơn vị) bằng bao nhiêu? (Biết các mối hàn tốn vật liệu không đáng kể)

Lời giải Chọn B

11

Câu 3 Bác An có một khối cầu( )C bằng pha lê có bán kính bằng 10cm Bác An muốn làm một cái

chặn giấy có dạng khối trụ( )T nội tiếp mặt cầu( )C sao cho thể tích của khối trụ ( )T là lớn nhất(Biết rằng: khối trụ nội tiếp mặt cầu là khối trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu)

Thể tích phần pha lê bị bỏ đi (lấy gần đúng đến hàng phần trăm) là:

A. 563,53cm3 B.1770,39cm3 C. 769,81cm3 D. 2418,39cm3

Lời giải

Chọn B

+ Gọi h r, lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ ( )T ; Rlà bán kính của ( )C Thể tích của khối cầu là

34.3

Câu 4 Một công ty muốn thiết kế hộp để đựng sữa với thể tích 1dm3 Hộp được thiết kế bởi một trong

hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được sản xuấtcùng một nguyên vật liệu là giấy Biết 1m vật liệu giấy có giá 10.000 đồng Hỏi công ty đó sản2

xuất ra 1 triệu hộp đựng sữa bằng mô hình tiết kiệm vật liệu nhất thì tốn hết bao nhiêu tiền (lấy

gần đúng đến hàng nghìn)?

Lời giải Chọn C

TH1: Hộp được làm theo mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông

+ Gọi a b, là cạnh đáy và chiều cao của hình hộp Ta có:

2

2

11

a

 � 

và diện tích vật liệu làm một cái hộp là:

+ Gọi h R, lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ Ta có:

2

2

11

So sánh hai trường hợp ta thấy làm hộp theo dạng hình trụ thì tiết kiệm vật liệu hơn

Vậy giá để làm 1 triệu cái hộp theo mô hình tiết kiệm nhất hết

Câu 5 Để làm một cái mũ sinh nhật người ta lấy một miếng giấy hình tam giác ABC đều cạnh 3dm

(như hình vẽ) Gọi K là trung điểm của BC Người ta dùng compa có tâm là A và bán kính

AK vạch cung tròn MN ( M , N thứ tự thuộc cạnh AB và AC ) rồi cắt miếng giấy theo cung

tròn đó Lấy phần hình quạt người ta gián sao cho cạnh AM và AN trùng nhau thành một cái

mũ hình nón không đáy với đỉnh A Thể tích của cái mũ gần với giá trị nào nhất?

A 0,5dm3 B 0,3dm3 C 0,6 dm3 D 0, 4 dm3.

Lời giải Chọn A

+ Ta có tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên đường cao

3 32

332



Vậy thể tích cái mũ là:

21



Câu 6 Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m của lòng trong đựng

nước của bể Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là

5cm và bán kính đường tròn đáy là 4cm Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo nước để

sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo) Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết nước biết rằng

ban đầu bể đầy nước?

A.282 ngày B.281 ngày C.283 ngày D.280 ngày.

Lời giải Chọn B

sau 281 ngày bể sẽ hết nước

Câu 7 Một cái bồn chứa dầu gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh của

hình trụ bằng hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tích của bồn chứa nước là

1283



 m3

.Diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước bằng:

A 50 m 2. B 64 m 2. C 40 m 2. D 48 m 2.

Lời giải Chọn D

Gọi 4 mx 

là chiều cao của hình trụ

� đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x m

Câu 8 Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón

Giả sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làmđầy phần ốc quế Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng 75% thể tích kem đóng

băng ban đầu Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế Tính tỉ số

h

r .

r 

163

h

r 

Lời giải Chọn A

+ Thể tích khối cầu (thể tích kem ban đầu)

3

43

c

V  r

.+ Thể tích khối nón (phần ốc quế)

2

13

N

V  r h

+ Theo đề:

Câu 9. Sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là 60m Người ta làm một

con đường nằm trong sân Biết viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, elipcủa viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật vàchiều rộng của mặt đường là 2m Kinh phí của mỗi m2 làm đường là 600.000 đồng Tính tổng

số tiền làm con đường đó

A 283.904.000 đồng B 293.804.000 đồng C 294.053.000 đồng D 293.904.000 đồng.

Lời giải Chọn C

Gọi ( ),( )E1 E lần lượt là viền ngoài và viền trong của con đường;2

Diện tích con đường là: S S1 S2 15001344 156 m2

Vậy số tiền làm con đường là 156 .600000 = 294.053.000 đồng.

Câu 10 Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay  H

, một mặt phẳng chứa trục của  H

cắt  H

theo một thiết diện như trong hình vẽ bên Tính thể tích của  H (đơn vị cm3).

A V H 23

413

+ Thể tích khối trụ là V tru Bh1.5 4 92   Thể tích khối nón là V non 132 42 163

.+ Thể tích phần giao là: .

2

13

Gọi độ dài chiều rộng, chiều cao hình hộp lần lượt là: x h m,   �Chiều dài của hình hộp là:

216

6x x

 

Diện tích phần xây

6 39

Tổng chi phí thấp nhất mà anh Tiến phải trả là: 1000000.20,96593115 21000000� đ.

Câu 12 Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

3500

m

hồ là 500.000 đồng/m2 Khi đó, kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấpnhất là:

A Chiều dài 20m chiều rộng 10m chiều cao

5m

6 .

B Chiều dài 10m chiều rộng 5m chiều cao

10m

3 .

C Chiều dài 30m chiều rộng 15m chiều cao

10m

27 .

D Một đáp án khác

Lời giải Chọn B

Gọi chiều dài bằng 2 m ;x  x0, chiều cao bằng y m ;y0

y x



.Khi đó diện tích cần xây dựng bằng

Câu 13 Một chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200 mm

Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi có dạng khối trụ

có ciều cao bằng chiều dài của bút chì và đáy là hình tròn bán kính 1 mm Giả định 1 m3gỗ có

giá trị a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá trị 8a (triệu đồng) khi đó giá nguyên vật liệu làm

một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào sau đây?

A 9,7.a (đồng) B 97,03.a (đồng) C 90,7.a (đồng) D 9, 07.a (đồng)

Lời giải Chọn D

Thể tích phần phần lõi được làm bằng than chì: V r R h2 .10 0, 2 0, 2.106  6  m3

.Thể tích chiếc bút chì khối lăng trụ lục giác đều:

27 3.10 0, 2.1010

V   V V      m3

.Giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì:

Câu 14 Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200

mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi có dạng khốitrụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm Giả định 1m gỗ3

có giá a ( triệu đồng), 1m than chì có giá 9a (triệu đồng) Khi đó giá nguyên vật liệu làm một3

chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A 10,33.a (đồng) B. 97,03.a (đồng) B 103,3.a (đồng) D. 9,7.a (đồng)

Lời giải Chọn D

Diện tích lục giác đều có cạnh bằng 3mm là

mmThể tích phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng 200 mm và đáy là hình tròn có bán kính 1

mm là V2 200. mm3

3 2

V

Khi đó giá nguyên vật liệu làm 1 chiếc bút chì là V a3 .109V a2.9 109 �9,703.a (đồng)

Câu 15 Người ta muốn thiết kế một bể cá theo dạng khối lăng trụ tứ giác đều, không có nắp trên, làm

bằng kính, thể tích 8 m Giá mỗi 3 2

m kính là 600.000 đồng/m Gọi t là số tiền tối thiểu phải2

trả Giá trị t xấp xỉ với giá trị nào sau đây ?

A 11.400.000 đồng B. 6.790.000 đồng C 4.800.000 đồng D 14.400.000 đồng

Lời giải Chọn A

8

h x



�

.Diện tích xung quanh của bể cá :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

19dm

Câu 17 Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều

để đựng 16 lít nước Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì

Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là

Vậy Minf x  24 3dm2tại x4 dm .

Câu 18 Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ Hộp có đáy là một hình

Câu 19 Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là 1152m2 và chiều cao cố

định Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phònghình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà) Vậy cần phải xây các phòng theokích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)

A 24m 32m� . B. 8m 48m� . C. 12m 32m� . D. 16m 24m� .

Lời giải:

Chọn D

Đặt x y h, , lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng

Theo giả thiết, ta có

384.3 1152��� 

Câu 20 Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây Một

phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứađầy chocolate nguyên chất Với kích thước như hình vẽ, gọi x x 0 là giá trị làm cho hộp kim

loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V Tìm 0 V 0

1 31

4 4

 

thể tích hộp tức là 0

3.64 484

một đáy là trung điểm AB, bán kính IE, EIF�  �60 (như hình vẽ) Biết giá gỗ 2 triệu/m2, giákính 1,5 triệu/m2 Giá vật liệu (lấy gần đúng đến hàng đơn vị) để làm một hộp nữ trang bằng

bao nhiêu?

Lời giải Chọn D

+ Diện tích vật liệu phần thân là S12.S ABFE 3.S ADHE 1350(cm )2 Giá vật liệu làm phần thân

Câu 2 Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó

đường sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60�

Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tỉ lệ thể tích giữa phần lớn và phần nhỏ bằng 8

Thể tích cát (lấy gần đúng đến hàng phần trăm) để đổ đầy phần nhỏ của đồng hồ cát đó bằng

bao nhiêu?

A 349, 07cm3 B 2792,53cm3 C. 349, 08cm3 D 2792,54cm3

Lời giải Chọn A

M O

Gọi x là chiều cao của hình nón nhỏ; 30 x là chiều cao phần lớn (Điều kiện: 0  ).x 15

3

OM OI � x

+ Tam giác O IM� � vuông tại O� có �IM O�� �60 ,

3.cot 60