BÀI 2 TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ

- Nắm được các tính chất của tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng.. Kĩ năng: - Nắm được công thức tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ và khoảng cách giữa hai điểm b

Trang 1

BÀI 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Phát biểu được định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

- Nắm được các tính chất của tích vô hướng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Kĩ năng:

- Nắm được công thức tính độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ và khoảng cách giữa hai điểm bất kì trên mặt phẳng tọa độ

- Tính được tích vô hướng của hai vectơ dựa vào định nghĩa hoặc dựa vào biểu thức tọa độ của tích vô hưởng

- Làm được một số bài toán vận dụng tích vô hướng của hai vectơ

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là a, b, được xác định bởi công thức saua b | | | | cos( , )a  b  a b

Chú ý:

Với a và b khác 0 ta có a b   0 a b Khi a = b tích vô hướng a bđược kí hiệu là a và số 2

này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a

Khi đó ta có

cos 90 0

2

2 cos 45

Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ , ,a b c bất kì và mọi số k ta có

* a b  b a (tính chất giao hoán);

* (a b    c) a b a c (tính chất phân phối);

* (ka b) k a b(   ) a kb( )

* a20,a2  0 a 0

Nhận xét Từ tính chất tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra

(a b ) a 2a b b 

(a b ) a 2a b b 

2 2

(a b a b )(  )a b

Ví dụ: Cho ba điểm A, B, C, thẳng hàng thỏa mãn AB3BC , B nằm giữa A và C

2 2

AB BC  BC BC  BC  BC

(AB CB ) (2BC) 4BC

Trang 2

(AB CB AB CB )(  )

2 2

AB CB

9BC BC 8BC

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0; , )i j cho hai vectơ aa a1; 2, b b b1; 2 Khi đó tích vô hướng a b là

1 1 2 2

a b a b a b

Nhận xét Hai vectơ aa a1; 2,b b b1; 2đều khác vectơ 0 vuông góc với nhau khi và chỉ khi

1 1 2 2 0

a b a b 

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho A(3;1), B(2;3) Khi đó ta có

(3;1), (2;3)

OA OB

2 3 1.3 9

|OA| 1 3  10;|OB| 2 3  13

3.2 1.3 9 cos( , )

10 13 130

Suy ra (OA OB; )37 52 

(3 2) (1 3) 5

Ứng dụng

• Độ dài của vectơ aa a1; 2 được tính theo công thức | |a  a12a22

• Góc giữa hai vectơ:

Nếu aa a1; 2 và bb b1; 2 đều khác vectơ 0thì ta có:

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos( , )

| | | |

a b

a b





• Khoảng cách giữa hai điểm A x y A; A và B x y B; B được tính theo công thức

AB x x  y y

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Tích vô hướng của hai vectơ

Phương pháp giải

Áp dụng công thức của định nghĩa

| | | | cos( , )

a b  a  b  a b

Dùng tính chất phân phối

Trang 3

( )

a b     c a b a c

Như vậy, để tính được tích vô hướng của hai vectơ, ta cần xác định được độ dài của hai vectơ và góc giữa hai vectơ đó

Ví dụ: Cho ABC đều có cạnh bằng a

Khi đóAB AC |AB| | AC| cos( AB AC, ) cos 60 2

2

a

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ABC vuông tại A có BCa B, ˆ 60 Giá trị của tích vô hướng BC CA là

A

2

3 4

a

BC CA  B

2

7 4

a

BC CA  C

2

3 4

a

BC CA   D

2

7 4

a

BC CA  

Hướng dẫn giải

Xét ABC vuông tại A, ta có sin sin 60 3

2

a

ACBC B a  

Ta có (BC CA, ) 180 ACB18090ABC1809060150

Do đó

2

cos( , ) cos150

BC CA BC CA  BC CA  a    

4

a

BC CA  

Chọn đáp án C

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có Bˆ 30 và   BC6 Lấy M là điểm thuộc đoạn BC sao cho MC

= 2MB Giá trị của tích vô hướng MA MC bằng

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC

MA MC  BA BM  BCBA BC BC

2

Trang 4

2

2

( do cos )

2

3.6 6 4

Vậy MA MC 4

Chọn đáp án A

Ví dụ 3 Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a và ADC60 Gọi M là trung điểm của CD Tính

(Trích Đề thi HK1, Trường THPT Đinh Thiện Lý, Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2017-2018)

Hướng dẫn giải

a) Ta có

2

2

a

DA DC DA DC  ADC  a a  

b) Ta có DADC ADC, 60  ADC đềuAM DC

Xét tam giác AMD vuông tại M có

2

AM AD MD a   a AM  Gọi{ }O  ACBD và { }N MOAB

Xét tam giác BDC có M là trung điểm DC, 0 là trung điểm DBMO là đường trung bình BDC

1

2

Ta có (MA CB, )(MA MN, )AMNDAM 30

Vậy

2

cos( , ) cos 30

MA CB MA CB  MA CB   a  

Ví dụ 4 Cho ABC BAC60 , AB4,AC6

a) Tính AB AC

b) Tính BC , từ đó suy ra độ dài cạnh BC 2

c) Gọi M là trung điểm BC Tính AM

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB AC AB AC cos(AB AC, )4.6 cos 60 12

Trang 5

b) Ta có BC (BAAC)2 BA  2 BA AC AC

BA2AC22AB AC 4262 2 1228

Vậy BC228 suy raBC228BC 282 7

c) Ta có 2AM ABAC

4AM (AB AC) AB 2 AB AC AC 4 2.12 6 76

4AM 76 AM 19 AM 19

Vậy AM 19

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ u(2; 1) và  v ( 3; 4) Giá trị của tích vô

hướng u v bằng

Câu 2 Cho ABC vuông cân có AB = AC = a Giá trị của tích vô hướng AB AC bằng

2

a

Câu 3 Cho ba điểm phân biệt O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b Biết nằm ngoài đoạn AB, giá trị

của tích vô hướng OA OB bằng

Câu 4 Cho hai vectơ avà bkhác vectơ không thỏa mãna b | | | |a  b Khi đó góc giữa hai vectơ avà

b bằng

A ( , ) 180a b   B ( , )a b 0 C ( , )a b 90 D ( , )a b 45

Câu 5 Cho ABC có H là trực tâm Giá trị của biểu thức (AB HC )2 bằng

A AB2HC2 B (AB HC )2 C AC2AH2 D AC22AH2

Câu 6 Cho ABC đều cạnh a Giá trị của AB BC BC CA CA AB   bằng

A

2

3

2

a

2

3 2

a

2

3 2

a

2

3 2

a

Câu 7 Cho tam giác RST có SRT60 , RS7,RT8 Gọi I là trung điểm ST Độ dài IR là

A 57

13

169

4

Câu 8 Cho hình bình hành ABCD có AB4,AD6,BAD60 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Giá trị của CM DN là

Câu 9 Cho hình thoi ABCD tâm O Khẳng định nào sau đây sai?

4

4

4

Câu 10 Cho hình vuông ABCD, tâm O, cạnh bằng a Mệnh đề nào sau đây sai?

Trang 6

C

2

a

2

a

AB BO 

Câu 11 Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6 , BAD60 Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC Giá trị của CM DN là

Câu 12 Cho | | 2,| | 3a  b  và ( , )a b 60 Giá trị biểu thức 1 1

A

    là

5

3

2

Câu 13 Cho hai vectơ a và b thỏa các điều kiện sau | | 3,| | 4 và |a  b  a b | 2 Tích vô hướng a b

bằng

A 21

21 2

4

4

Bài tập nâng cao

Câu 14 Cho hai vectơ a và bthỏa mãn| | | | 1a  b Biết vectơ x a 2b vuông góc với vectơ

5 4

y a b Góc giữa hai vectơ a và bbằng

A ( , )a b 60 B ( , ) 120a b   C ( , )a b 90 D ( , )a b 30

Câu 15 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = 4a , CD = 2a , AD = 3a Gọi N là điểm thuộc

cạnh AD sao cho NA = 2a Giá trị của T(NB NC DC ) là

A 16a2 B 14a2 C 8a2 D 12a2

 Đáp án trắc nghiệm

11-D 12-D 13-B 14-A 15-D

 Hướng dẫn giải

Câu 14

Ta có vectơ x a 2b vuông góc với vectơ y5a4b nên

0 ( 2 ) (5 4 ) 0 5 | | 8 | | 6 0 5.1 8.1 6 0

2

Từ đó suy ra

1 1 2

1.1 2

| | | |

a b

a b





Chọn đáp án A

Câu 15

Trang 7

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên Khi đó A(0;0), B(4a;0), N(0;2a), D(0;3a), C(2a;3a)

Suy ra NB(4 ; 2 ),a  a NC(2 ; ),a a DC(2 ;0)a

Suy ra NBNC(6 ;a a)

T NB NC DC   a a   a a

Chọn đáp án D

Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng

Phương pháp giải

- Để chứng minh một đẳng thức, ta có thể biến đổi từ vế này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một

biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương để đưa về một đẳng thức luôn đúng

- Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các vectơ

- Dùng quy tắc ba điểm ABBC AC hay quy tắc hiệuABOB OA

- Sử dụng tính chất: Nếu G là trọng tâm ABC thì

0

- Chú ý công thứcAB2AB2

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Chứng minh

0

DA BC DB CA DC AB 

Hướng dẫn giải

Nhận thấy BCCAAB0 nên ta tìm cách tách ra để xuất hiện ba vectơ này cộng với nhau bằng quy tắc ba điểm

DA BC DB CA DC AB  

DA BC DA AB CA DA AC AB

(DA BC DA CA DA AB) (AB CA AC AB)

DA BC CA AB AB CA AC

0

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ABC có ba đường trung tuyến AI BJ CK, , Chứng minh rằng

0

AB CK BC AI CA BJ 

Hướng dẫn giải

Trang 8

2

AB CK   AB CA AB CB

1

2

VậyAB CK BC AI CA BJ

1

1

Ví dụ 2 Cho ABC có trực tâm H Gọi M là trung điểm BC Chứng minh:

4

Hướng dẫn giải

a) Vì M là trung điểm BC nên MBMC0 và MC MB

Ta có AB AC (AMMB) ( AMMC) AM2AM MC AM MB MB MC  

Vậy AB AC MA2MB2

4

1

Mà HB AC 0;HC AB 0

4

4 HB AC CB HC AB BC

1

2

4

Ví dụ 3 Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M là một điểm tùy ý Chứng minh MA MC MB MD

Trang 9

Hướng dẫn giải

Ta cóMA MC (MB BA ) ( MD DC )

Mà BA DC nên MA MC MB MD MB DC DC MD BA DC

MB MD DC MB MD BA

MB MD DC DB BA MB MD DC DA

cos 90

Vậy MA MC MB MD

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ aa a1; 2 và b b b1; 2 Khẳng định nào sau

đây sai?

2

1 1 2 2

a b    a b a b

2

a b   ab a b  D a b | | | | cos( , )a  b  a b

Câu 2 Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O và điểm M tùy ý Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 3 Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự đó Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi M , N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho

hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5 Cho a và b là hai vectơ đều khác 0 Khi đó |u v |2 bằng

A u2v22u v B u2 v22u v

Câu 6 Cho M là trung điểm của AB, đẳng thức nào sau đây sai?

Câu 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ aa a1; 2 và b b b1; 2 Khẳng định nào sau đây

sai?

A a b a b1 1a b2 2 B | |a  a12a22

Trang 10

C cos( , )

| | | |

a b

a b

a b





| | | cos( , )a b a b

a b







∣

Bài tập nâng cao

Câu 9 Cho tam giác ABC có AB a 0 Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn điều kiện

(MA MB ) ( MC MB )0 là

A đường thẳng đi qua trung điểm của AB và BC

B đường trung trực của đoạn thẳng AB

C đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với BC

D đường thẳng đi qua trung điểm của BC và vuông góc với AB

Câu 10 Cho AB a 0và I là trung điểm của AB Tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện

2 2 2

A đường tròn tâm I , bán kính

4

a

B đường tròn tâm I , bán kính

2

a

C đường tròn tâm I , bán kính

2

a

D đường tròn tâm I , bán kính a

Câu 11 Cho ABC có các cạnh bằng BC = a, AC = b, AB = c Tích vô hướng AB AC theo a, b, c là

2

2

2

2

Câu 12 Cho ABC vuông tại A có AB = 1, AC = 2 Dựng điểm M sao cho AM BC AM, 3

Đặt AM  x AB y AC Giá trị của T x2y2 là

A 153

20

20

20

20

Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và M là trung điểm của cạnh BC Đẳng thức nào sau đây

đúng?

2

4

4

2

 Đáp án trắc nghiệm

11-A 12-C

 Hướng dẫn giải

Bài tập nâng cao

Câu 8

Gọi I là trung điểm của AB

Ta có (MA MB ) ( MC MB )02MI BC  0 MI BC

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với BC

Chọn đáp án C

Câu 9

Ta có MA2MB2(MIIA)2(MIIB)2 2MI22MI(IA IB )IA2IB2

Trang 11

2 2 1 2 2 2 1 2

Mà MA2 MB2 a2

Suy ra

2

2 1 2 2 2

2

MI  a a MI  MI 

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I , bán kính

2

a

Chọn đáp án B

Câu 10

BC  ACAB BC AC  AB AC AB

2 2 2 2 2 2

Vậy 1 2 2 2

2

Chọn đáp án D

Câu 11

Ta có AM  x AB y ACAM2 x2 AB2y2AC2 9 x24y2

Mặt khác AM BCAM BC   0 x AB BC  y AC BC 0

Từ đó ta có hệ phương trình

2 2

2 2

2

144 144

20

9

4 0

4

20

x x

x y





Vậy 2 2 153

20

Chọn đáp án A

Câu 12

Vì M là trung điểm của cạnh BC nên

1

2 1

2







4

MH MA  BA BH CA BH BA CH CA CH

Trang 12

1( )

1[ ( ) ( )]

1( )

1[ ( )] 1 2 1 2

4 BC BA AC 4BC 4BC

Chọn đáp án C

Dạng 3 Chứng minh hai vectơ, hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của tích vô hướng

0

Ví dụ: Cho hai vectơ a và bvuông góc với nhau thỏa mãn| | 1,| |a  b  2 Chứng minh rằng hai vectơ

2ab và ab vuông góc với nhau

Hướng dẫn giải

Ta sẽ đi tính tích vô hướng của hai vectơ 2ab và ab, sau đó chứng minh tích này bằng 0

Ta có (2a b  ) (a b)2a22a b   a b b2

2 | |a a b | |b

2.1 0 2

0

Vậy2ab và ab vuông góc với nhau

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình vuông ABCD cạnh a có M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC Chứng

minh rằng ANDM

Hướng dẫn giải

Ta chứng minhAN DM 0

Vì ABCD là hình vuông nên BC AD DA vàABAD

Do đó AB DA 0;BC AB 0

AN DM AB BC  DA AB

1 2 1 1

Trang 13

1 2 1 2 0 1 2 1 2 0

2AB 2BC 2a 2a

Vậy ANDM

Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao

cho AN = 3NC Chứng minh rằng DNMN

Hướng dẫn giải

Vì AN3NC và N nằm giữa A và C nên AN 3NC

Mà ABCD là hình vuông nên DC AB AB DC BC2;  0

2

0;

DA AB  AD BC AD

DN MN  DC DA  AB BC

4DC 4AB 4DC 4BC 4DA 4AB 4DA 4BC

16AB 16DA

Vậy DNMN

Ví dụ 3 Cho ABC vuông tại A có AB = a, AC = 2a Gọi M là trung điểm của BC và điểm D thuộc cạnh

AC sao cho

2

a

AD Chứng minh rằng BDAM

Hướng dẫn giải

Ta có 2 AM BD (ABAC) ( ADAB)

2

AB AD AB AC AD AC AB

2

0 AB AC AD cos(AC AD, ) 0

2

2

a

Trang 14

Do đóAM BD Vậy BDAM

Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm A(1;1), B(3;2) và C(-2;m – 1) Với giá trị nào

của m thì vectơ AB vuông góc với vectơ OC ?

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho  2

( 4;1), 1;8

a  b x x Giá trị âm của x để hai vectơ a và b

vuông góc với nhau là

2

2

2

Câu 3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh

AD sao cho ADk AN Giá trị của k để CM BN là

A k7, 9 B k 8 C k 8,1 D k7,8

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A(-2;4) và B(8;4) Điểm C thuộc trục hoành sao cho

ABC vuông tại C là

Câu 5 Cho ,a b có vectơ ( a2 )b vuông góc với vectơ (5a4 )b và | | | |a b Khi đó cos( , )a b bằng

A 2

3

1

2

Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M(1;2), N(3;4) Điểm P trên trục Ox sao cho tam giác

MNP vuông tại M là

Bài tập nâng cao

Câu 7 Cho tam giác đều ABC cạnh 3a, (a > 0) Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB

sao cho BM a CN, 2 ,a PAx(0 x 3 ) a Giá trị của x để AM PN là

A 3

5

a

5

a

5

a

5

a

Câu 8 Cho tam giác MNP có MN4,MP8,Mˆ 60 Lấy điểm E trên tia MP và đặt MEk MP Tìm

k để NE vuông góc với trung tuyến MF của tam giác MNP

3

5

3

2

k

Câu 9 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2 và AD = 4 Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là

điểm trên cạnh AD sao cho AN k AD Biết CM vuông góc với BN , khi đó k thuộc vào khoảng nào sau

đây?

A 0; 1

16

1 1

;

16 20

1 1

;

20 9

1 1

;

9 6

 

Trang 15

 Đáp án trắc nghiệm

 Hướng dẫn giải

Bài tập nâng cao

Câu 8

x

a

Do đó AM PN khi và chỉ khi

x

a

2 2

0

a

Vậy 4

5

a

Chọn đáp án B

Câu 9

Trang 16

2

Do đó NEMF NE MF 0

1

2

( k MP MN) (MP MN) 0

.8 ( 1).8.4 cos60 4 0

80k 32 0

2

5

k

Vậy 2

5

k 

Chọn đáp án B

Câu 10

2

Theo giả thiết, ta có

Vậy 1 1;

9 6

 

Chọn đáp án D

Dạng 4 Ứng dụng của tích vô hướng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tỉnh góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải

- Cho hai vectơaa a1; 2vàb b b1; 2 Ta có

a b a b1 1a b2 2

- Cho vectơ uu u1; 2 Ta có | |u  u12u22

- Cho hai điểm A x A;y A ,B x B;y B Ta có

AB AB  x x  y y