Toán hình lớp 10 BÀI 1 các ĐỊNH NGHĨA vecto giải chi tiết

Toán hình lớp 10 BÀI 1 các ĐỊNH NGHĨA vecto

Trang 1

BÀI 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Hiểu khái niệm vectơ - không, độ dài vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, hai vectơ bằng nhau

- Biết được vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Kỹ năng:

- Chứng minh được hai vectơ bằng nhau

- Về một vectơ bằng vectơ cho trước

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vectơ

- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

- Mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối

Kí hiệu: , , ;a b c AB CD;

Chú ý:

Điểm đầu A, điểm cuối B hướng từ A sang B Kí hiệuAB

Giá và độ dài của vectơ

- Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ

- Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ

Kí hiệu: | |;|a AB|

Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

- Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

Chú ý:

Hai vectơ AB và CE cùng hướng

Hai vecto AB và CD ngược hướng; CD và CE

Mở rộng:

Trang 2

Ba điểm A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương

Vectơ – không

- Vectơ – không là vectơ có chung điểm đầu và điểm cuối Kí hiệu: 0

- Tính chất:

• Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

• Độ dàivectơ – không: | 0 | 0

Hai vectơ bằng nhau

- Hai vectơ a và b bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu ab

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Xác định một vectơ, sự cùng phương và cùng hướng của hai vectơ

Phương pháp giải

• Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau được gọi là hai vectơ cùng phương

• Hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng hoặc ngược hướng

• Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Lưu ý:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB AC cùng phương ,

Ba điểm A, B, C thẳng hàng chưa xác định được AB AC cùng hướng hay ngược hướng (hình vẽ) ,

Ví dụ: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt làtrung điểm của AB, BC, CA

Khi đó, từ các điểm đã cho ta có

a) Các vectơ khác 0 có điểm đầu A là AM AB AN AP AC , , , ,

Trang 3

b) Các vectơ khác 0 có điểm cuối B là AB MB PB CB NB , , , ,

c) Các vectơ khác 0 cùng phương với AP là PA AC CA PC CP MN NM , , , , , ,

d) Các vectơ khác 0 cùng hướng với MP là BN NC BC , ,

e) Các vectơ khác 0 ngược hướng với AM là MA BM BA NP , , ,

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Hãy chỉ ra các vectơ khác 0

a) Có điểm đầu là A

b) Có điểm cuối là O

c) cùng phương với CD

d) cùng hướng vớiAO

e) ngược hướng vớiDE

Hướng dẫn giải

a) Các vectơ khác 0 có điểm đầu A từ các điểm đã cho là AF AE AO AD AC AB , , , , ,

b) Các vectơ khác 0 có điểm cuối O từ các điểm đã cho là AO BO CO DO EO FO , , , , ,

c) Các vectơ khác 0 cùng phương với CD là DC BO OB EO OE BE EB AF FA , , , , , , , ,

d) Các vectơ khác 0 cùng hướng với AO là OD AD BC FE , , ,

e) Các vectơ khác 0 ngược hướng với DE là ED FO OC FC AB , , , ,

Ví dụ 2 Cho đa giác lồi 12 đỉnh Có bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của đa giác?

Hướng dẫn giải

Chọn một đỉnh trong số 12 đỉnh của đa giác làm điểm đầu có 12 cách chọn

Chọn một đỉnh trong số 11 đỉnh còn lại làm điểm cuối có 11 cách chọn

Số vectơ khác 0 được tạo thành là 12.11= 132 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1 Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề nào đúng?

A Hai vectơ AB BC cùng phương , B Hai vectơ AB CD cùng phương ,

Trang 4

C Hai vectơ AB CD cùng hướng , D Hai vectơ AB DC ngược hướng ,

Câu 2 Vectơ có điểm đầu D điểm cuối E được kí hiệu như thế nào là đúng?

Câu 3 Cho hình bình hành ABCD, tâm I Số các vectơ khác 0 cùng hướng với vectơ AC từ các điểm

đã cho là

Câu 4 Chọn khẳng định đúng

A Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng

B Hai vectơ cùng hướng thì cùng phương

C Hai vectơ cùng phương thì có giá song song với nhau

D Hai vectơ cùng hướng thì có giá song song nhau

Câu 5 Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác vectơ – không) có điểm đầu và

điểm cuối là các đỉnh A, B, C?

Câu 6 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương

B Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phương

C Vectơ - không là vectơ không có giá

D Hai vectơ cùng hướng là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau

Câu 7 Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng; P nằm giữa M và N Cặp vectơ nào sau đây ngược hướng với

nhau?

A MN NP , B MN MP , C MP PN , D NM NP ,

Câu 8 Cho hình bình hành ABCD tâm O Các vectơ khác 0 ngược hướng với OB là

A BD, OD B BD OD BO , , C DB DO , D BD BO ,

Câu 9 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, trong đó điểm B nằm giữa hai điểm A và C Khi đó các cặp

vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.CB và AB. B.AB và AC C.AB và CB. D BA và BC

Câu 10 Cho một đa giác A A1 2A2019 có 2019 cạnh Số vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của đa giác

*Đáp án trắc nghiệm

*Hướng dẫn giải

Câu 10 Chọn A

Đa giác có 2019 cạnh thì có 2019 đỉnh

Trang 5

Chọn một đỉnh làm điểm đầu trong 2019 đỉnh có 2019 cách chọn

Chọn một đỉnh làm điểm cuối trong 2018 đỉnh còn lại có 2018 cách chọn

Suy ra có 2019.2018 = 4074342 vectơ được tạo thành

Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Bài toán 1 Xác định các vectơ bằng nhau

Phương pháp giải

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

Ví dụ: a) Cho M là trung điểm AB

M là trung điểm AB AM MB

MA BM



 



b) Cho ABDC là hình bình hành

ABDC là hình bình hành ở

AB CD

AC BD

BA DC

CA DB







 







Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Tìm tất cả các vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho và

a) bằng vectơNM

b) bằng vectơ DQ

c) bằng vectơ CQ

Hướng dẫn giải

Khi đó, các vectơ

Trang 6

a) Bằng NM là CO, OA, PQ

b) Bằng DQ là QA PO OM CN NB , , , ,

c) Bằng CQ là NA

Ví dụ 2 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm

cuối là các đỉnh và tâm của lục giác đều và

a) cùng phương với vectơ OE

b) ngược hướng với vectơ AB

c) bằng vectơEF

Hướng dẫn giải

a) Các vectơ khác 0 cùng phương với vectơ OE là EO BE EB BO OB AF FA CD DC , , , , , , , ,

b) Các vectơ khác 0 ngược hướng với vectơ ABlà BA CO OF CF DE , , , ,

c) Các vectơ bằng vectơ là EF là DO OA CB , ,

Bài toán 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau

Phương pháp giải

Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc đưa về chứng minh hai vectơ là hai cạnh đối của hình bình hành

Các em có thể tham khảo một bài toán sau:

Bước 1 Chứng minh AAB/ /DE

Bước 2 Chứng minh AB = DE

Bước 3 Chứng minh AEDB là hình bình hành

Bước 4 Kết luận AEBD

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng với C qua D Chứng minh rằng AEBD

Hướng dẫn giải

Trang 7

Vì ABCD là hình bình hành nên

/ /

AB CD

AB CD







Mà C, D, E thẳng hàng nên AB/ /ED (1)

Lại có C và E đối xứng với nhau qua D, suy ra CD DE ABDE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AEDB là hình bình hành

Suy ra AEBD

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD Chứng minh ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABDC

Hướng dẫn giải

Nếu ABDC thì AB DC, cùng hướng và cùng độ dài AB/ /DC

AB DC



  

 ABCD là hình bình hành

Ngược lại, nếu ABCD là hình bình hành thì AB/ /DC

AB DC



Mà AB DC cùng hướng nên , ABDC

Vậy ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi ABDC (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh BC, AD sao cho

AM = DN Gọi H là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN Chứng minh

a) BN MD

b) AM NC

c) KM NH

Hướng dẫn giải

a) Vì

/ /

BM DN

BM DN







 nên BMDN là hình bình hành ở BN MD (điều phải chứng minh)

b) Vì

/ /

AN MC

AN MC







 nên AMCN là hình bình hành AM NC (điều phải chứng minh)

Trang 8

c) Vì / /

/ /

AM NC

BN MD





NK / /HM

HMKN

NH / /KM







 là hình bình hành KM NH (điều phải chứng minh)

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1 Cho hình vuông ABCD tâm O Vectơ bằng DO là vectơ nào sau đây?

Câu 2 Chọn khẳng định đúng

A Hai vectơ cùng phương thì bằng nhau

B Hai vectơ ngược hướng thì có độ dài không bằng nhau

C Hai vectơ cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau

D Hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài thì bằng nhau

Câu 3 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hai vectơ cùng phương với vectơ thứ ba thì cùng phương

B Mọi vectơ đều có độ dài lớn hơn 0

C Một vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thì không là vectơ – không

D Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng phương và cùng độ dài

Câu 4 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau

đây đúng?

A MAMB B ABAC C MN BC D |BC| 2 | MN| Câu 5 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là

Câu 6 Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý Nếu ABCD thì

A.ACDB. B CD AD C.ACBD. D CABD

Câu 7 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M là điểm bất kỳ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A MAMB với mọi M

B Có một điểm M sao cho MAMBMC

C MAMBMC với mọi M

D Có một điểm M sao cho MAMB

Câu 8 Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, có bao nhiêu vectơ

bằng với DM từ các điểm đã cho?

Câu 9 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chọn khẳng định

đúng trong các khẳng định sau

A ADBC B MQPN C MNQP D ABDC

Trang 9

Câu 10 Cho tam giác ABC với trực tâm H, D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC , Khẳng định nào sau đây là đúng?

A HACD và ADCH B HACD và DAHC

C HACD và ADHC D HACD và ADHC và OBOD

Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau

*Đáp án trắc nghiệm

*Hướng dẫn giải

Câu 7 Chọn C

Vì A, B, C không thẳng hàng nên MAMBMCvới mọi M

Câu 9 Chọn C

Ta có

/ / / /

1 2

MN PQ AC

MN PQ AC





 MNPQ là hình bình hành MNQP

Câu 10 Chọn C

Ta có AH // CD (cùng vuông góc với BC) và CH // AD (cùng vuông góc với AB) nên AHCD là hình bình hành

Suy ra HACD vàADHC

Dạng 3 Tính độ dài một vectơ

Phương pháp giải

• Độ dài của một vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ đó

• AB  BA  AB

|AB| | BA|AB

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a

Trang 10

Khi đó

a) Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn thẳng AB hay |AB|a

b) Với H là trung điểm BC, độ dài vectơ AH là

2

| |

AH AH AB BH  a   

 

c) Với M là điểm thuộc đoạn BC sao cho BM = 2MC, ta có

a a a

Độ dài vectơ AM là

| |

4 36 3

AM  AM  AH HM   

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dàiAB3 , a AC4a Gọi M là trung điểm BC và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho 1

3

AN  NC

a) Tính độ dài vectơBC

b) Tính độ dài vectơAM

c) Tính độ dài vectơBN

Hướng dẫn giải

a) Độ dài vectơ |BC là | |BC|BC AB2AC2  (3 )a 2(4 )a 2 5a

b) Độ dài vectơ AM là | | 5

BC a

AM  AM  

c) Ta có 1

4

AN  ACa

Độ dài vectơ |BN là | |BN|BN  AN2AB2  a2(3 )a 2 a 10

Trang 11

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có AB5cm Gọi H, K là chân đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC xuống cạnh BC và AC Biết rằng BH 3cm CH, 4cm Tính độ dài của vectơ

a) AH b) BK

Hướng dẫn giải

|AH| AH AB BH  5 3 4(cm)

b) Ta có AC AH2CH2  4242 4 2(cm)

Lại có ABC 1 1

AH BC

AC





Vậy | | 7 2(cm)

2

BK BK

Ví dụ 3 Cho hình thoi ABCD cạnh 2cm và có góc BAD = 600 Tính độ dài của vectơ

a)BD

b) AC

Hướng dẫn giải

Ta có

0

60

AB AD

BAD BAD







Do đó |BD|BD2cm

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có |AC| AC2AO2 AD2DO2 2 22 12 2 3(cm)

Ví dụ 4 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a Tính độ dài của các vectơ

a) AB OA ,

b)DF

Trang 12

c) AI với I là trung điểm CD

Hướng dẫn giải

a) Theo tính chất của lục giác đều ta có độ dài các cạnh của lục giác bằng bản kính đường tròn ngoại tiếp lục giác ấy

Do đó |AB| |OA|ABa

b) Ta có tam giác ODE đều cạnh a Gọi M là giao điểm của OE và FD

Suy ra tam giác ODE đều có DM là trung tuyến cũng là đường cao

Ta có

2

2

a

DF DF  DM  DO OM  a   a

 

c) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên 0

90

ACI

2

a

ACDF a CI 

Do đó

2

AI  AI  AC CI  a   

 

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1 Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 Khi đó độ dài của AC bằng

Câu 2 Cho tam giác ABC vuông tại C có cạnh AC = 4 cm, BC = 3cm Độ dài của vecto AB là

Câu 3 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh 2a Độ dài vectơ DO bằng

2

a

Câu 4 Cho đoạn thẳngAB10cm , điểm C thỏa mãn ACCB Độ dài vectơ AC là

Câu 5 Cho hình chữ nhật ABCD cóAB3, BC4 Độ dài của vectơ AC là

Câu 6 Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm Độ dài vectơ AG là

Trang 13

A 3

3

a

2

a

Câu 7 Cho hình chữ nhật ABCD có AB3 và AD4 Khẳng định nào sau đây đúng?

A |CD| | BC| B |AC| | AB| C |AC| | BD| D |BD| 7

Câu 8 Cho hình thang vuông ABCD tại A và D có AB4 , a DC8 ,a AD3a Độ dài vectơ BC là

Câu 9 Cho hình thoi ABCD cạnh a, 0

60

BAD Đẳng thức nào sau đây đúng?

A AB AD B |BD|a C BDAC D BCDA

Câu 10 Cho tam giác ABC đều cạnh a Độ dài vectơ AM với M là điểm thuộc đoạn BC sao cho

2019

BM  MC là

A 12237155

4038 a B

3062319

2020 a C

4074343

2019 a D

4078381

2020 a

*Đáp án trắc nghiệm

*Hướng dẫn giải

Câu 4 Chọn B

Vì ACCB nên C nằm giữa A và B; C là trung điểm AB

Suy ra | | 1 5(cm)

2

AC  AC AB

Câu 6 Chọn D

Ta có | | 2| | 2 3 3

AG  AM   

Câu 8 Chọn D

Kẻ BE CD Ta có BE = AD = 3a, EC = CD – AB = 8a - 4a = 4a

|BC|BC BE CE  (3 )a (4 )a 5a

Câu 9 Chọn B

Trang 14

Vì AD = AB mà BAD60nên ABD đều Suy ra |BD|BDABa

Câu 10 Chọn D

Gọi H là trung điểm BC nên

2

AH AB BH  a   

 