BÀI 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của một CUNG

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG MỤC TIÊU Kiến thức - Củng cố số đo cung và góc trên đường tròn lượng giác.. - Biểu diễn được một cung trên đường tròn lượng giác.. - Nắm được các giá t

Trang 1

Trang 1

BÀI 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

MỤC TIÊU

Kiến thức

- Củng cố số đo cung và góc trên đường tròn lượng giác

- Biểu diễn được một cung trên đường tròn lượng giác

- Nắm được các giá trị lượng giác của một cung

Kỹ năng:

- Xác định được dấu của giá trị lượng giác các cung đặc biệt

- Tính được giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

- Tính được giá trị của các biểu thức lượng giác với điều kiện cho trước

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Giá trị lượng giác của cung 

- Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM  Tung độ yOK của điểm M gọi là sin của

a và kí hiệu là sin

sinOK

Hoành độ x OH của điểm M gọi là côsin của a và kí hiệu là cos

cos OH Nếu cos 0, tỉ số sin

cos



 được gọi là tang của a và kí hiệu là tan (hoặctg)

cos





Nếu sin0 , tỉ sốcos

sin



 được gọi là côtang của a và kí hiệu là cot (hoặccotg )

cos cot

sin





Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

- Với hai cung đối nhau: a vàa

cos()cos ; sin() sin

tan() tan ; cot() cot

- Với hai cung bù nhau: a và  

sin(  )sin ; cos(  ) cos

tan(  ) tan ; cot(  ) cot

- Với hai cung phụ nhau: a và

2

 

  

 

Trang 2

Trang 2

- Với hai cung hơn kém  : và (  )

sin(  ) sin ; cos(  ) cos

tan(  )tan ; cot(  )cot

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

Phương pháp giải

Để xác định dấu của giá trị lượng giác của góc (cung), ta thực hiện các bước sau:

- Xác định xem điểm ngọn cũng thuộc góc phần tư nào của mặt phẳng tọa độ

- Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét dấu

Ví dụ:

a) Xét dấu của sin3

4

 b) Xét dấu của sin 30°.cos100°

Hướng dẫn giải

a) Ta có : 3

    nên điểm ngọn của cung 3

4

 thuộc góc phần tư II nên sin3 0

4

  b) Vì 0 30 90 nên điểm ngọn của cung 30° thuộc góc phần tư thứ I Do đó sin 30° >0 Vì

90 100 180 nên điểm ngọn của cung 100° thuộc góc phần tư thứ II Do đó cos100° <0 Vậy

sin 30 cos100  0

Ví dụ 1 Xét dấu của các biểu thức sau

a)tan4

3



4



a) Vì 4 3

   nên điểm ngọn của cung 4

3

 thuộc góc phần tư thứ III

Vậy tan4 0

3

 

b) Vì 90 100 180 nên điểm ngọn của cung 100 thuộc góc phần tư thứ IIsin100 0

Ta có11 3 2

    nên điểm ngọn của cung 11

4

 thuộc góc phần tư thứ II

11

4



4



 

Ví dụ 2 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 3

Trang 3

A cot 500 0

3



 

  B sin24500

3



500

3



 

Ta có 2450 707.360

Vì 0 70 90 nên điểm ngọn cung 2450 thuộc góc phần tư thứ I

Ta có 500 4 84.2

   nên điểm ngọn cung 500

3



 thuộc góc phần tự thứ III 500

3



  

3



Chọn D

Ví dụ 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 400 cos 3700 cot 88000 B sin 400 0

C cos3700 cot 88000 D cot88000

Cách 1

Ta có 400 40360 Vì 040 90 nên điểm ngọn cung 400 thuộc góc phần tư thứ I

sin 400 0

  (B sai)

Ta có 3700 26011.360 Vì 180260 270 nên điểm ngọn cung 3700 thuộc góc phần tư thứ IIIcos37000

Ta có 8800 20025.360 Vì 180 200 270 nên điểm ngọn cung 8800 thuộc góc phần tư thứ III cot88000 (D sai)

Vậy sin 400 cos 3700 cot 88000 (A sai);

cos 3700 cot 8800 0 (C đúng)

Chọn C

Cách 2 Ngoài sử dụng phương pháp như trên, ta có thể nhờ sự hỗ trợ từ máy tính bỏ túi fx - 570VN

Thao tác bấm như sau:

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:

- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi không có hàm cot Do đó khi gặp hàm cot ta sẽ chuyển thành hàm 1

tan( )

Trang 4

Trang 4

Ta lần lượt kiểm tra các đáp án

Ví dụ đáp án A, ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

- Kết quả ra được là – 0,366703992 <0

Vậysin 400 cos 3700 cot 88000 Do đó A sai

Các đáp án khác kiểm tra tương tự

Chọn C

Ví dụ 4 Cho 0   90 Xét dấu của

a) sin360 b) sin90

a) Ta có sin360sin

Vì 0   90 nên điểm ngọn cung a thuộc góc phần tư thứ I

Vậy sin3600

b) Ta có 0   90  0 90   909090 90   90 180 nên điểm ngọn cung 90 thuộc cung phần tư thứ II

Vậy sin900

Ví dụ 5 Cho tan 1

2

Giá trị của sin x là

A 5

5

2 5 5

5

               

Do đó x thuộc góc phần tự thứ II và thứ III cosx0

2



Suy ra sin cos tan 2 5 1 5

x x x  

Vậy sin 5

5

x

Chọn B

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Giá trị lượng giác nào sau đây mang dấu dương?

Trang 5

Trang 5

A sin 3

4



 

 

11 cos 4



 

 

33 cot

4





 

Câu 2 Góc (cung ) lượng giác nào mà hai giá trị sin, tan trái dấu?

4



Câu 3 Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị cos,cot cùng dấu?

3



5



Câu 4 Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cot của nó trải dấu?

A 405 B 25

6



3



4



Câu 5 Góc (cung) lượng giác nào mà hai giá trị sin, cos của nó cùng dấu?

3



Bài tập nâng cao

Câu 6 Cho sin 1

4

  

Khẳng định đúng trong các khẳng định sau là

A cos 15

4

tan

15

tan

15

x 

Câu 7 Cho tan 4

3

và 2017 2019

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A sin 3

5

Câu 8 Cho sin 6 2

4

với

  

Khi đó giá trị tan x là

4

x  

2

   Khi đó giá trị cot x là

4

x  

   

Khi đó giá trị cot x là

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Câu 6 Chọn D

Cách 1

2

x x  x   x     

 

     

Từ đó suy ra

1

tan

4

x x

x



1

tan

x

  

Trang 6

Trang 6

Vậy cos 15; tan 1 ;cot 15

Cách 2 Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO fx - 570VN-PLUS

Bước 1: Reset máy tính

Bước 2: Tìm x và gán x cho A:

Bước 3:

- Tìm các giá trị còn lại bình thường, ví dụ tìm giá trị lượng giác cos x như sau:

- Nếu kết quả ra số lẻ, ta chỉ việc bình phương lên rồi căn xuống lại là sẽ ra số đẹp:

Kết quả ra 15

4 Tuy nhiên chúng ta cần lưu ý rằng 2 x

  

nên ngọn cung x thuộc cung phần tư thứ

4

- Thực hiện tượng tự với các giá trị lượng giác còn lại

Câu 7 Chọn D

              

nên suy ra cosx0

Do đó

2

cos

5

1 tan

x





Vậy sin 4

5

Câu 8 Chọn B

Vì

  

nên

2

         

4

x x

x



Vậy tanx  2 3

Câu 9 Chọn C

2

4

x



Câu 10 Chọn D

Trang 7

Trang 7

   

2

sin

1 4

x

Dạng 2 Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Để tính các giá trị lượng giác của một góc (cung), ta sẽ dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn giá trị lượng giác cần tìm về giá trị lượng giác đã biết

Ví dụ: Chosin 4;180 270

5

x    x  Tính cos x, tan x, cot x

Ta có sin2 cos2 1 cos 1 sin2 3

5

x x  x   x  

Vì 180  x 270 nên cosx0

x

cot

x

Ví dụ 1 Tính các giá trị lượng giác sau

a) sin3

4



a) sin3

4



Để tính giá trị củasin3

4



, ta có thể thực hiện bằng máy tính bỏ túi như dạng 1 Ví dụ 3

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ radian:

Do vậy ta bấm các phím trên máy tính lần lượt như sau:

- Kết quả ra được là 2

2

Vậy sin3 2





b) cot 60°

Trang 8

Trang 8

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ

- Ở đây để ý rằng trong máy tính bỏ túi không có hàm cot Do đó khi gặp hàm cot ta sẽ chuyển thành hàm 1

tan( )

Do đó ta bấm các phím trên máy tính như sau:

- Kết quả ra được là 3

3 Vậy cot 60 3

3

 

Ví dụ 2 Cho cos 5

13

x  biết rằng 180  x 270 Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 12

13

5

12

13

x x  x   x 

Vì 180  x 270 nên điểm ngọn góc x thuộc góc phần tư thứ III sinx0

x

Chọn B

Ví dụ 3 Cho tan 3

2

x  , biết rằng 90  x 180 Khẳng định nào sau đây đúng?

A cot 2

3

13

x

Ta có cot 1 2

x

  

Vì 90 x 180 nên ngọn cung x thuộc góc phần tư thứ hai II

2 13 cos 0 cos

13

Ta có tan sin sin cos tan 2 13 3 3 13

x

Vậy

Trang 9

Trang 9

Chọn C

Ví dụ 4 Cho giá trị lượng giác cot 75 2 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

A tan 75 2 3 B tan 75  2 3

C cos 75 6 2

4

Cách 1

cot 75 2 3



Lại có

2

Vi 0 7590 nên điểm ngọn cung 75° thuộc góc phần tư thứ nhất I

cos 75 0 cos 75

4

Ta có

0

tan 75 sin 75 tan 75 cos 75



Chọn C

Cách 2 Sử dụng máy tính bỏ túi

- Reset máy tính:

- Chuyển về hệ độ:

- Bấm các giá trị lượng giác ở các đáp án

+ Bấm các phím

Ta được kết quả 2 3 Do đó loại đáp án A và B

+ Bấm các phím

Ta được kết quả 6 2

4



Do đó loại đáp án D

Chọn C

Ví dụ 5 Cho 4sin 2 cos 1 và 0

2

Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin 2 19

10

x  

20

x  

Trang 10

Trang 10

C tan 8 19

15

x 

8 19





Vì 0

2

  nên sinx 0 sinx 1 cos 2x (do  2 2 

sin xcos x1

Mà 4sinx2cosx1 nên 4 1 cos 2x 2cosx1  1

Vì 0

2

  nên cosx 0 (1)(4 1 cos 2x)2 (2cosx1)2

 2  2

2

2 304 cos

2 304 20

20

2 304 cos

20

x











(docos x0)

Vì sin x0 nên sin 1 cos2 2 19

10

x



 Vậy sin 2 19;cos 2 304; tan 8 19;cot 15



Chọn C

Câu 1 Giá trị của cos13

6



là

A 2

2 2

3 2



Câu 2 Giá trị của cot 17

6





là

3 3



Câu 3 Giá trị 0

45

sin là

2

Câu 4 Cho 1

3

  

Khi đó giá trị lượng giác cotx bằng

2

tanx  với 3 2

   

Khi đó các giá trị lượng giác còn lại là

5

x

B cos 2 5

5

x 

C cotx 5 D sin 5

5

x

Trang 11

Trang 11

Câu 6 Cho cotxa a, 0 với 3

2

   Khi đó giá trị lượng giác của cos x bằng

A

2

1

a

2 2

1

a a



2 2

1

a a



2 2

1

a a



Câu 7 Biết , ,A B C là các góc của tam giác ABC Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A sinCˆ  sin(A Bˆ ˆ) B tanCˆ tan(A Bˆ ˆ)

C cosCˆ cos(A Bˆ ˆ) D cotCˆ  cot(A Bˆ ˆ)

Câu 8 Cho tam giác ABC Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau



C sin(A Bˆ ˆ)sinCˆ D cos(A Bˆ ˆ)cosCˆ

Câu 9 Nếu x là góc nhọn thí sin 1

a



 thì tan

2

x

bằng

1

a



1 1

a a



1 1

a

Câu 10 Nếu x là góc nhọn thí sin 1

a



 thì cot

2

x

bằng

1

a



1 1

a a



1 1

a

Câu 11 Cho tam giác ABC có các cạnh BCa AC, b AB, c thỏa mãn hệ thức sau :

Tam giác ABC là tam giác gì?

A ABC cân tại A B ABC cân tại B

11-C

Câu 9 Chọn A

Vì x là góc nhọn nên 0 0 0 0

x

Từ đó ta tính được

1 sin

1 2

2 tan

cos

a x

a





Trang 12

Trang 12

a







Câu 10.Chọn B

Theo câu a, ta có :tan 1 Suy ra cot 1 1

tan 2

x

Câu 11.Chọn C

Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có 2 2 2 2 2 2

2

ac

 

Ta có 1 cos 2 (1 cos )(2 ) (1 cos )(2 )

2a c 2a cosB c cosB 2a c 2a cosB c cosB

2a cosB c

2

ac

 

Vậy tam giác ABC cân tại C

Dạng 3 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác

Để tính giá trị của các biểu thức lượng giác, ta sẽ dùng các hệ thức lượng giác cơ bản biểu diễn giá trị lượng giác trong biểu thức cần tính về giá trị lượng giác đã biết

Ví dụ: Cho tan x3, tính giá trị của biểu thức sau

2

2sin 3sin cos

3cos 2sin

A



Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và bằng 2 nên ta chia cả tử và mẫu của A cho 2

được

2 tan 3tan 2.3 3.3 3

A

x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho sin cos 1

2

x x Tính các giá trị các biểu thức sau a) Asin x cos x ; b) Bsin x3 cos x3

a) Ta có

8

b) Ta có

Trang 13

Trang 13

 

Vậy 11

16

Ví dụ 2 Cho tan x3 Giá trị biểu thức 2 sin 3cos

A





 là

A 7

8



8



9

8

Cách 1

Nhận thấy bậc tử số và mẫu số đều bằng nhau và bằng 1, ta chia cả tử và mẫu của A cho cosx, ta được

sin cos

cos sin

cos cos

A



8

Chọn B

Cách 2 Sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO fx-500ES PLUS)

Bước 1: Reset máy tính:

Bước 2:

+ Bấm các phím để có biểu thức :2 sin 3cos

A



+ Bấm phím:

+ Kết quả ra 9

8



Chọn B

Ví dụ 3 Cho tanxcotxm m, 2 Khi đó giá trị của biểu thức tanxcotx là bao nhiêu?

A  m24 B 4 m 2 C m2 4 D  4 m 2

Ta có

tanxcotx m (tanxcot )x m tan x2tanxcotxcot xm

2 2

(tanx cot )x m 4

| tanxcot |x  m 4.

Chọn C

Trang 14

Trang 14

Câu 1 Cho sin cos 2

2

x x  Khi đó giá trị của sinx cosx bằng

A 1

1 4



1 2



Câu 2 Đơn giản biểu thức A(tanxcot )x 2(tanxcot )x 2 ta được

A A 4 B A4 C Atanx D A tanx

Câu 3 Cho tan x5 Khi đó giá trị của biểu thức sin cos

P





 là

Câu 4 Cho sin cos 2

2

x x Kết quả nào sau đây sai?

4

2

x x 

C sin4 cos4 7

8

x x D tan2 xcot2x12

Câu 5 Cho 1

3

P





 là

A 1

1 3



13



3

Câu 6 Cho tan xm Khi đó sin cos

  

  bằng

A am b



  B

a m b

 

  C

am b



Câu 7 Cho tan xm Khi đó giá trị biểu thức

sin 2 sin cos cos cos 3 sin cos 8 sin

A

2

  

C

2

   

  

Câu 8 Giá trị của biểu thức Psin6 xcos6 x3sin2x.cos2 x là

Câu 9 Nếu sin cos 2

2

x x thì giá trị của biểu thức P4 sinx– 3 cosx là

A 7 6 2

4



4



4

8



Câu 10 Nếu 3sin4 2 cos4 98

81

x x thì giá trị biểu thức P2sin4 x3cos4x là

A 607

108

108 81

 D 607

405

Trang 15

Trang 15

Câu 11 Biết tanx 2b

a c



 Giá trị biểu thức

A a x b x x c x là

Câu 12 Nếu

sin x cos x 1

 thì giá trị của biểu thức

sin x cos x A

A 1 3

(a b ) B 3

1 (a b)



3

(a b ) D  (a b)3

Câu 13 Nếu 3sin4 2 cos4 98

81

x x thì giá trị biểu thức P2 tan4xcot4x là

A 113

2

   

   

    C

2

   

   

    D

400

113

Câu 14 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

A tan tan tan tan

cot cot



1 sin 1 sin

x

C

2 2

cos sin cos sin 1 cot



2

1



11-D 12-A 13-B 14-C

Câu 11 Chọn D

Ta có tanx 2b

a c



 Nhận thấy bậc của các số hạng trong biểu thức A bằng nhau và bằng 2 nên ta tiến hành chia cả hai vế chocos x2 Ta có

2



2

           

2

1 tan

a c



2

A 1

 2 2 2

2 2

A

 2 2 2

 

 

Câu 12 Chọn A

sin x u cos x 1 u

Ta có

(1 )



a b



Trang 16

Trang 16

Từ đó thế vào A ta được:

sin cos

A

     

1

Vậy

3

1

A

a b





Câu 13 Chọn B

Ta có 3sin4 2 cos4 98

81

2

29 cos

5 81

cos

9

x





2

29

45

x

Do đó

   

   

2

9

5

x

Do đó

   

    Vậy

2

113

400

P

   

    

  













Câu 14 Chọn C

sin sin tan tan cos cos

cos cos cot cot

sin sin



sin cos sin cos

sin sin cos cos

tan tan cos sin sin cos cos cos

sin sin



2

2 2

2

4 tan cos

1 sin

x x

x



2

sin (cos sin ) sin (cos sin ) 2sin (cos sin )(cos sin ) cos sin





2

sin

x x



x x



2

sin

cos

x

x x

     

1

cos x

Trang 17

Trang 17

Dạng 4 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Để tính giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt, ta thực hiện theo các bước sau:

- Dùng cung liên kết đưa về cung ở góc phần tư thứ nhất

- Dùng công thức lượng giác để thu gọn biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau

a) Atan 2250cot1500

 

Vậy A 1 3

sin 240 tan 300 cos 780

 0 0  0 0  0 0

   



3

 

Vậy B  3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Tính giá trị của các biểu thức sau

a) Ta có

cot 225 cot 45 180 cot 45 1

tan 240 cot 225 1 3

b) Ta có

2



tan 330 tan 30 360 tan 30 tan 30

3



cot 495 cot 45 3.180 cot 45  cot 45  1

B      

Ví dụ 2 Giá trị của biểu thức sau là

A   x   x   x   x

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,29 MB