Nói đến tích phân có lẻ rất quen thuộc đối với chúng ta, còn với tôi khi tính một bài tích phân thì tôi tính lại nhiều lần, trong một lần sáng ý tôi đã để ý được một cách tính tích phân [r]
Trang 1MỘT SUY NGHĨ VỀ CÁCH TÍNH TÍCH
PHÂN TỪNG PHẦN
Nguyễn Thành An Giáo viên Toán trường THPT Hòa Bình – Xuyên Mộc – BRVT
Ngày 20 tháng 7 năm 2010
Tóm tắt nội dung Nói đến tích phân có lẻ rất quen thuộc đối với chúng ta, còn với tôi khi tính một bài tích phân thì tôi tính lại nhiều lần, trong một lần sáng ý tôi đã để ý được một cách tính tích phân từng phần rất đặc biệt bởi sự khéo léo, linh hoạt của việc lấy nguyên hàm
Hy vọng bài viết này một phần chia sẽ cùng tất cả các bạn đọc Rất mong nhận được ý kiến trao đổi về chủ đề này
Cơ sở lý thuyết: Giả sử u, v là hai hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] Khi đó
b
Z
a
u(x).v0(x)dx = u(x).v(x)|ba−
b
Z
a
v(x).u0(x)dx
Ví dụ 1: Tính tích phân A =
π 2
Z
0
cos x ln(sin x + 1)dx
Cách 1: Đặt
(
u = ln(sin x + 1)
dv = cos xdx ⇐⇒
(
du = cos x sin x + 1dx
v = sin x
Khi đó
A = sin x ln(sin x + 1)|
π 2
π 2
Z
0
sin x cos x sin x + 1 dx = ln 2 − B, với B =
π 2
Z
0
sin x cos x sin x + 1 dx Đặt t = sin x + 1 ⇐⇒ dt = cos xdx Do đó
B =
2
Z
1
t − 1
t dt = (t − ln t) |
2
1 = 1 − ln 2 Vậy A = ln 2 − (1 − ln 2) = 2 ln 2 − 1
Cách 2: Đặt
(
u = ln(sin x + 1)
dv = cos xdx ⇐⇒
(
du = cos x sin x + 1dx
v = sin x + 1
Khi đó
A = (sin x + 1) ln(sin x + 1)|
π 2
π 2
Z
0
cos xdx = 2 ln 2 − 1
1
Trang 2Nhận xét 1: Với cách lấy nguyên hàm theo thói quen như cách 1 thì rõ ràng bài toán giải quyết được nhưng dài, còn nếu chúng ta khéo léo để lấy nguyên hàm của cos x là sin x + 1
ở cách 2 thì bài toán giải quyết một cách nhẹ nhàng Sẽ có một câu hỏi xuất hiện tại sao lại chọn con số 1, chúng ta có thể chọn nhiều hằng số khác mà? Câu trả lời chính là mẫu
số của biểu thức du = cos x
sin x + 1dx.
Ví dụ 2: Tính tích phân C =
Z ln(ax + b)dx, với a 6= 0
Cách 1: Đặt
(
u = ln(ax + b)
dv = dx ⇐⇒
(
du = a
ax + bdx
v = x
Khi đó
C = x ln(ax + b) −
Z ax
ax + bdx
= x ln(ax + b) −
Z
ax + b − b
ax + b dx
= x ln(ax + b) −
Z
dx +
Z b
ax + bdx
= x ln(ax + b) − x + b
aln(ax + b) + C
=
x + b a
ln(ax + b) − x + C
Cách 2: Đặt
(
u = ln(ax + b)
dv = dx ⇐⇒
du = a
ax + bdx
v = x + b
a =
ax + b a Khi đó
C =
x + b a
ln(ax + b) −
Z
dx =
x + b a
ln(ax + b) − x + C
Nhận xét 2: Tới đây có thể các bạn đã nhận thấy kỹ thuật trong việc tính tích phân từng phần, không phải bài tích phân từng phần nào chúng ta có thể làm được kỹ thuật trên
mà tùy vào từng bài để chúng ta chọn cách làm sao cho tinh tế Hy vọng cách làm này sẽ giảm bớt việc tính toán để có được kết quả nhanh chóng hơn Mọi ý kiến các bạn có thể gởi qua thanhansp@gmail.com hay site http://violet.vn/thanhansp
—Hết—
2