Tổng hợp 10 đề thi Olympic Toán lớp 10

Tổng hợp 10 đề thi Olympic Toán lớp 10 giúp các em học sinh có thể tự rèn luyện, củng cố kiến thức ngay tại nhà. Đồng thời đây còn là tư liệu tham khảo cho các giáo viên, hỗ trợ cho công tác giảng dạy môn Toán lớp 10.

T 8 Ҧ Ҧ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

1) T m đi വ i n của m để  d m c t (P) t i 2 điểm ph n bi t

2) Khi  d m c t (P) t i 2 điểm ph n bi t c� honh đ l n l ợt l x1, x2 T m t t cവ cc gi tro của mthവa m n : 2

B a

A abc

c b

2

2 2 2

Trong mặt ph ng với h tọa đ Oxy , cho tam gic ABC c n t i A c� ph ng tr nh hai c nh l

 AB x: 2y 2 0, AC : 2x y  1 0 , điểm M 1;2 thവ c đo n th ng BC T m tọa đ điểm H

sao cho HB HC  c� gi tro nhവ nh t

H t

T 8 Ҧ Ҧ ĐÁP ÁN THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

1) T m đi വ i n của m để  d m c t (P) t i 2 điểm ph n bi t

Ph ng tr nh honh đ giao điểm của (P) v  d m : x2(m3)x 2 2m0 (1) 1,0

2) Khi (dm) c t (P) t i 2 điểm ph n bi t c� honh đ l n l ợt l x1, x2 T m t t cവ cc gi tro của mthവa m n : 2

B a

A abc

c b

2

2 2 2

Trong mặt ph ng với h tọa đ Oxy , cho tam gic ABC c n t i A c� ph ng tr nh hai c nh l

 AB x: 2y 2 0, AC : 2x y  1 0 , điểm M 1;2 thവ c đo n th ng BC T m tọa đ điểm D

sao cho DB DC  c� gi tro nhവ nh t

- o ΔABC c n t i A n n ph n gic trong (la)

của g�cA vവông g�c với BC

-VÀ T 8 Ҧ Ҧ KÌ THI OLYMPIC

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH MÔN: TOÁN 10- NĂM HỌC 2016-2017

Thời gian: 150’ (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (4 điểm) Cho hm s y = f x( )x22(m1)x m .

1 Vẽ đồ tho hm s hi m = 0

2 T m m để f x ( ) 0 c� hai nghi m ph n bi t lớn h n 1.

Câu 2 (2 điểm) iവi ph ng tr nh saവ: 4x2 12x x 1 27( 1)x

Câu 3 ( 3 điểm) iവi h ph ng tr nh: 1 2 2 5 7 2

T m gi tro lớn nh t của biểവ thức = a+ b + c

Câu 5 ( 3 điểm) Cho tam gic BC đ വ n i ti p đ വng tròn t m O bn ính R Chứng

minh điểm thവ c đ വng tròn hi v chỉ hi MA MB2 2MC2 2BC2 .

Câu 6 ( 4 điểm) Trong mặt ph ng tọa đ Oxy, cho h nh thang BC vവông t i , B v

= 2BC ọi H l h nh chi വ vവông g�c của điểm l n đ വng chéo B v E l trവng điểm của đo n H iവ sử H   1;3  , ph ng tr nh đ വng th ng AE x y : 4    3 0 v

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh…………

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI BÌNH

TỔ TOÁN ĐÁP ÁN KÌ THI OLYMPIC MÔN: TOÁN 10- NĂM HỌC 2016-2017

E

- വa E d ng đ വng th ng song song với c t H t i K v c t B t i

I

വy ra: +) K l tr c t m của tam gic BE, n n BK  E.

+) K l trവng điểm của H n n KE song song v KE AD

2

1

hay KE song song v bằng BC

SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KÌ THI OLYMPIC 24-3 LẦN THỨ 2 – TOÁN 10

Thời gian làm bài: 180ph, không kể thời gian giao đề

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HIỀN

T m vo trí điểm K tr n sao cho B,K,E th ng hng

b Cho tam gic BC c� BC=a, C =b, B=c ọi I, p l n l ợt l t m đ വng tròn n i

ti p, nửa chവ vi của tam gic BC Chứng minh rằng:

2 (p a) (p b) (p c)

3) T m tọa đ cc đỉnh ,B,C của tam gic BC Bi t đỉnh

B nằm tr n đ വng th ng 2x+y-1=0; (4;2) nằm tr n đ വng cao ẻ từ đỉnh B của tam gic BC

Câu 5(4,0đ) Cho x,y,z đ വ l cc s th c d ng thവa x+y+z=xyz

t -SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM KÌ THI OLYMPIC 24-3 LẦN THỨ 2 – TOÁN 10

0.250.25

 

 2

3

m m m

  



   

onh lí Viet

0.50.250.50.5

0.5

b Cho hm s y=f(x)=2(m-1)x+ (x 2)

2

m x

 

0.250.250.250.250.250.25

p

  

1.5đ

0.250.250.250.250.25

C വ 4

4đ Vẽ h nh

ọi B(a;1-2a) d; ọi Ҧ l trവng điểm C sവy ra 3

0.51

0.50.25

0.750.250.25

I O ỤC ÀO TẠO

8 Ҧ Ҧ

TRƯỜҦ THPT Ҧ 8YỄҦ TRÃI

ĐỀ THI OLYMPIC 24 – 3 Năm học 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Lớp 10

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 1: (3 điểm)

a) T m t p xc đonh của hm s

2x 5 2x 5 2x5x 6 4

b) Cho parabol (P): y = x2+ 3x – 4 v đ വng th ng d: x – y – 3m = 0 T m t t cവ cc gi tro m để

đ വng th ng d c t (P) t i hai điểm ph n bi t c� honh đ thവ c đo n [-2; 3]

2 2

z

z y

y x

(cosA B C a2 p a b2 p b c2 p c

trong đ� p l nữa chവ vi của tam gic BC

b) Cho tam gic BC vവông t i , I l ti p điểm của đ വng tròn n i ti p tam gic BC với c nh BC.Chứng minh di n tích của tam gic BC bằng BI.CI

11

;3

5x 6 0

x x x

m để đ വng th ng d c t (P) t i hai điểm ph n bi t c� honh đ thവ c đo n [-2; 3]

Ph ng tr nh honh đ giao điểm của d v (P): x2+ 2x + 3m – 4 = 0 (*)

(*) cũng l ph ng tr nh honh đ giao điểm của đồ tho 2 hm s y = x2+ 2x – 4 v y

x y y

11)

9()91)(

x x

x x

2

y

y y

)

9(82

1

12

2

z

z z



)]

111(9

80)111(9

1)[(

82

1

z y x z

y x z

y x xyz y

y x

y y x z y

1 1 1 9

Ҧ n

z y x z

y x z y x P

(3

2[821

82)8093

2(82

0.5

0.50.250.25

0.50.50.250.25

(2

1)

(2

1.            

AM

)

(2

1)

(.2

2

1).(

2

1

0.50.50.50.5

5a

2 2 2 2

2 2 2

2

b a C B

A

)(

2

1 ab2 ac2 a3 ba2 bc2 b3 ca2 cb2 c3



)(

.2

ọi l di n tích tam gic BC, K v H l n l ợt l ti p điểm của đ വng tròn với cc

S 



0.250.250.250.250.250.250.250.25

6

3.0 ọi l trവng điểm của BI v Ҧ l h nh chi വ vവông g�c của l n BI

A

B

C D

M

G N E

AM

AG IM

IN

3

13

23

13

( ): x + 13y – 51 = 0  A(5113a;a)

310

49

170)

3

11()133

a GE

GA

)2

7

;2

11(3

3

11()3

10(x 2  y 2 

B l giao điểm thứ hai của (B ) v đ വng tròn ( )  B(7;6)

qവa v vവông g�c với B, ph ng tr nh ( ):4x + y = 0

l giao điểm của (B ) v ( ) n n (1;-4)

)2

;9( 

0.50.250.250.25

0.250.250.250.250.250.250.25

I O ỤC 8 Ҧ Ҧ K THI HC IҦH I I L P 10

Ҧ TO Ҧ Thവi gian: 180p( hông ể thവi gian giao đ )

b(2đ): Tr n cവng B của đ വng tròn ngo i ti p h nh chữ nh t BC ta l y điểm hc v B ọi P, ,R, l h nh chi വ của tr n cc đo n th ng , B,BC,C Chứng minh rằng PQ RS^ v giao điểm của chúng nằm tr n m t trong hai đ വng chéo của h nh chữ nh t BC

C വ 5(3đ): Cho tam gic BC c� tr c t m H v n i ti p trong m t đ വng tròn t m

O.Chứng minh rằng OH OA OB OCuuur=uur uuur uuur+ +

- H T -

Û íï =

-ïî3

íï = ïî

-2 51

u v

ì - =ïï

Þ íï + = ïî

u v

u v

0.5

0.5 0.5 0.5

a

a a

C വ 4a VABC c n t i B n n ÐBAC= ÐBCA

/ /

BC AD BCA= CAD C l ph n gic ÐBAD

ọi I l h nh chi വ của B tr n C ( ;3 1)

C വ 4b ọi O l t m h nh chữ nh t BC ng h tr c Oxy với

Ox// ,Oy// B

iവ sử bn ính đ വng tròn l R th ph ng tr nh đ വng tròn ngo i ti p BC l x2+y2=R2

0.25 0.25 0.25

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

ĐỀ THAM KHẢO

KỲ THI OLYMPIC 24/3 NĂM HỌC 2016 – 2017

ôn thi:TOÁN 10

Thവi gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ҧgy thi:25 thng 3 năm 2017

a) t công ty TҦHH trong m t đợt qവവng co v bn hവy n m i hng ho (1 sവn phẩm mới của công ty) c n thവ

xe để chở 140 ng വi v 9 t n hng Ҧ i thവ chỉ c� hai lo i xe v B Trong đ� xe lo i c� 10chi c , xe lo i B c� 9 chi c.

t chi c xe lo i cho thവ với gi 4 tri വ , lo i B gi 3tri വ Hവi phവi thവ bao nhi വ xe mỗi lo i để chi phí v n chവyển l

th p nh t Bi t rằng xe chỉ chở t i đa 20 ng വi v 0,6 t n hng; xe B chở t i đa 10 ng വi v 1,5 t n hng b) Cho

Câu 5: (4.0 đ) Trong mặt ph ng với h tọa đ Oxy, cho h nh vവông ABCD Tr n cc c nh AB, AD l y hai điểm E v F sao

cho AE = AF ọi H l h nh chi വ vവông g�c của A tr n BF iവ sử E  ;12,H 0;1 v điểm C thവ c đ വng th ng

iവi (a) c� nghi m x = -1 ; y= 0 v x=2 ; y = 3

o đi വ i n n n (b) vô nghi m

V y h ph ng tr nh c� hai nghi m ( -1;0) (2;3)

0;5 0;5

Câu 2 (5.0 đ) a) (2 điểm 5) ọi x, y l n l ợt l s xe lo i , B c n dùng

Theo đ bi th c n t m x, y sao cho T(x,y) = 4x+3y đ t gi tro nhവ nh t.

Ta bi t rằng T nhവ nh t đ t t i cc gi tro bi n của tứ gic BC , n n ta c n t m cc to đ cc đỉnh

(x,y) l nghi m h : 2x+y=14 x=5

(5,4) 2x+5y=30 y=4 A

=2 2 v 5

'

BH

HB  T m di n tích tam gic ?

 ọi , B v C l 3 g�c của tam gic BC cot '

'

gA AB BB

0;5 0;5

Câu 3( 3 điểm) Cho a b c, , l cc s th c d ng thവa m n : ab ac bc  1 T m gi tro lớn nh t của

Câu 4: (2.0 đ) Cho hm s Cho tam gic ABC T m t p hợp cc điểm thവa m n h thức

Câu 5 ( 4 điểm ) Trong mặt ph ng với h tọa đ Oxy, cho h nh vവông ABCD Tr n cc c nh AB, AD l y hai

điểm E v F sao cho AE = AF ọi H l h nh chi വ vവông g�c của A tr n BF iവ sử E  ;12,H 0;1 v

điểm C thവ c đ വng th ng d:x2y0 T m tọa đ C

* ọi M  AHCD Khi đ� ta c� · ·ABF DAM (cùng ph g�c ·AFH)

വy ra BAF  ADM

*DM  AF AE n n BCME l h nh chữ nh t.

ọi I l t m của h nh chữ nh t BCME, sവy ra IEICIBIM (1)

Tam gic MHB vവông t i H n n IBIM IH (2)

Từ (1) v (2) sവy ra tam gic HEC vവông t i H

*Ta c�: EH  HC, n n EH HC uuur uuur 0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN TOÁN- LỚP 10 Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian giao

y x

xy y

3 sin 2

3 sin A  B  A  B

Chứng minh tam gic ABC l tam gic đ വ.

Câu 4 (3 điểm).

Cho tứ gic lồi ABCD Xét M l điểm tùy ý ọi P, Q, R, S l cc điểm sao cho:

MP MD

MC

MR MB

-H

T -Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

)1(16yx

xy8yx

2

2 2

Câu 2: Cho cc s th c a, b, x, y thവa m n đi വ i n axby  3.

T m gi tro nhവ nh t của biểവ thức F a2 b2 x2 y2 bxay.

4

32

a y

b x

; A d MA

3

2 2 2

2 2

a b

60

2; ; ; y

; x

; b

;

Câu 3: Cho tam gic ABC c� cc g�c A, B thവa đi വ i n :

3 A  B ) cos(

4

) (

3 A  B )

1 sin(

4

) (

3A  B )cos(

4 ) (

3A  B ) R0 Hay cos(

4

K t hợp với sin(

4 )(

3 A  B )1, ta c� sin(

4 ) (

3A  B )cos(

4 ) (

3A  B )cos(

4 )(

3A  B )

o đ�: 2 sin(

4 ) (

3A  B )cos(

4 ) (

3A  B )  2cos(

4 )(

) ( 3 sin(

4

3 2

B A

B A B A

Câu 4: Cho tứ gic lồi ABCD Xét M l điểm tùy ý ọi P, Q, R, S l cc

điểm sao cho

MP MD

MC

MB  4 ; MCMDMA4MQ

MR MB

MA

MD  4 ; MAMBMC4MS

T m vo trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

iവ sử c� điểm M thവa bi ton ọi G l điểm sao cho

MD MC MB MA

Ҧ വ ABCD l tứ gic n i ti p đ ợc trong đ വng tròn t m O th G

trùng O v M l điểm dവy nh t xc đonh bới 1

- o ΔABC c n t i A n n ph n gic trong (la)

của g�cA vവông g�c với BC

A

M

Sở GD &ĐT Quảng Nam

Trường THPT Nguyễn Khuyến ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 10

Năm học 2016- 2017 Câu 1: (5 điểm)

Câu 2: ( 4 điểm) Cho hm s : y x 21 (P)

a/ Khവo st chi വ bi n thi n v vẽ đồ tho (P)

MC

MR MB

MA

T m vo trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.

b/ Xét d ng tam gic BC thവa m n:

3 3 3 2

3sin sin

Câu 4: ( 4 điểm) Trong mặt ph ng Oxy cho tam gic BC nhọn വng th ng chứa đ വng trവng tവy n

ẻ từ đỉnh v đ വng th ng BC c� ph ng tr nh l n l ợt l: 3x+5y-8=0 v x-y-4=0 വng th ng điqവa vവông g�c với BC c t đ വng tròn ngo i ti p tam gic BC t i điểm thứ hai l (4;-2) Vi t

ph ng tr nh cc c nh B, C bi t honh đ điểm B lớn h n 3

Câu 5: (4 điểm) Cho ba s a, b, c hc 0 Chứng minh: a22 b22 c22 b c a

b c a   a b c

Với x = y: Thay vo (2) ta đ ợc x = y = 2

Với x = 4y: Thay vo (2) ta đ ợc x32 8 15; y 8 2 15

V y h tr n c� nghi m :  2;2 , 32 8 15;8 2 15   

10.7510.25

2

a/(1 đ) +Txđ + Tọa đ đỉnh+Tr c đ i xứng + Bവng bi n thi n

+ bi n thi n + Bവng gi tro

+ Vẽ đồ tho

0,250,250,250,25

+ വy ra đ ợc : k k    1

+ T ng t t i điểm M2

0,5 đ0,75đ0,250,5

Ҧ വ ABCD l tứ gic n i ti p đ ợc trong đ വng tròn t m O th G trùng O v M

l điểm dവy nh t xc đonh bởi OM OAOBOCOD Kiểm tra l i th y

thവa PA = QB = RC = SD.

Ҧ വ ABCD hông phവi l tứ gic n i ti p đ ợc trong đ വng tròn th hông tồn

t i điểm M.

0,250,250,25

0,50,25

2 cos1

sin sin

3sin sin sin

0,250,25

Câu4

4đ + T m đ ợc trവng điểm của BC l : M( ;72 12)

+ Ph ng tr nh của đ വng th ng đi qവa v vവông g�c với BC :

x+y-2=0

+ l giao điểm của v : (1;1)

+ ọi Ҧ l trവng điểm của : ( ;5 1)

2 2

0,250,50,250,50,50,5

+ Ph ng tr nh đ വng trവng tr c của l (a) : x-y-3=0

Cho h nh vവông BC c nh a ọi l điểm di đ ng tr n đ വng chéo C Kẻ

E vവông g�c B t i E v ẻ K vവông g�c BC t i K Xc đonh vo trí tr n C để

di n tích tam gic EK đ t gi tro nhവ nh t.

l y cc điểm A B C '; '; ' sao cho GA GB ' ' GC '

BC  AC  AB ọi H l điểm đ i xứng A ' qവa a/ C R: HB’ song song với C’

b/ Chứng minh l trọng t m tam gic A B C ' ' '

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT SÀO NAM

-/// -KỲ THI OLYMPIC 24 – 3 Môn: Toán 10 Ҧăm học 2016-2017

Thവi gian: 150 phút ( hông ể thവi gian giao đ )

0.25 0.25 0.5

0.25 0.25

0.25 0.25

a b

  

0.5

0.5 0.25 0.5 0.25

Câu 6 a: 2điểm

B

C

FH

’

CE

0.25 0,25 0,25 0.25 0.25

E

KCB

T 8 Ҧ ҦTRƯỜҦ THPT ҦÚI THÀҦH

KỲ THI OLYMPIC 24/3 NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 - THPT

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2 điểm) T m t t cവ cc gi tro của tham s m để hm s saവ c� t p xc đonh l ¡

2

2016 2017( 1) 2( 1) 4

x y

đ വng tròn ngo i ti p tam gic E

b) Trong mặt ph ng với h tọa đ Oxy , cho h nh chữ nh t ABCD c� A  5;1, điểm C

nằm tr n đ വng th ng :d x2y 3 0 ọi giao điểm của đ വng tròn t m B bn ính BD với

đ വng th ng CD l (E E D ) H nh chi വ vവông g�c của D tr n đ വng th ng BE l điểm

h h , đ di đ വng trവng tവy n ẻ từ đỉnh A l m Tính a cos A , bi t h b 8,h c 6,m a 5

Câu 5 (3,0 điểm).Cho x y z , , l đ di 3 c nh của m t tam gic c� chവ vi bằng 3 Chứng minh rằng:

o đ� m = 1 thവa đ + TH2: m ≠ 1

0.250,250.50.50.5

x x

é =ê

Û ê =ë

V y: T p nghi m của ph ng tr nh: = 3;6

0.5

0.50.50.50.5

y = x = 0

+ y = 2x – 1, th vo (2): x 1 3 (x ptvn)+ K t lവ n:

1,01,01,00.5

Câu 3 (2đ) Cho (P): y = 2x2 – 2x + 1 c� đỉnh I v đ വng th ng d: y = m T m t t cവ

cc gi tro của m để đ വng th ng d c t (P) t i hai điểm ph n bi t , B sao

cho tam gic I B vവông

+ PT honh đ giao điểm của (P) v d: 2x2– 2x + 1 – m = 0 (*)

+ വng th ng d c t (P) t i hai điểm ph n bi t , B

 Pt (*) c� 2 nghi m ph n bi t x1, x2

 m R 1

2+ Ta c� I(1

2;1

2), (x1; m), B(x2; m)Tam gic I B vവông t i I hi v chỉ hi IA IB   0

0.250.25

0.50,50,5

BE2= B B

= x2– 10x + 100 = 10(10 + 6)iവi t m đ ợc x = 5 85

0.51,00,5

0,51,0

o BD BE= v BC DE^ n n C l trവng điểm DE, sവy ra CI BE|| o đ� D

đ i xứng với N qവa AC.

Ph ng tr nh AC y  : 1 0, từ đ� sവy ra D 4;4 o I 0;1 n n B   4; 2 

V y B 4; 2 , 5;1 ,    C D 4;4

Vẽ đ വng cao BM v CN của tam gic ABC ( M AC N AB ,  ) ọi K l trവng điểm của BC, qവa K ẻ đ വng th ng song song với CN v BM c t AB, AC l n

l ợt t i E v F Khi đ� E l trവng điểm BN v F l trവng điểm CM.

B n điểm A E K F, , , nằm tr n đ വng tròn đ വng ính AK  , theo đonh lý sin5

trong tam gic EKF ta đ ợc EF AK .sinEKF5sinA.

p d ng đonh lý cosin trong tam gic EKF ta đ ợc :

25

A

   (v cosA  ).0

0,51,0

0,50,50,50,5

Lưu ý: Cc cch giവi hc, n വ đúng th cho điểm t ng đ ng nh tr n

- H Xem ti p ti li വ t i:https://vndoc.com/tai-lieവ-hoc-tap-lop-10