Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bộ đề Vtest số 7 dưới đây để nắm bắt được nội dung "Đề thi thử môn Toán Đại học lần III năm 2013" của Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội. Nội dung đề thi gồm 9 câu hỏi có hướng dẫn lời giải, với các bạn đang học và ôn thi Đại học, Cao đẳng thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.
Trang 1Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x 1
x 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Cho điểm A (0; 5) và đường thẳng ∆ đi qua điểm I (1; 2) có hệ số góc k Tìm các giá trị của k để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại A
Câu 2 (1 điểm)
Giải phương trình: 2
sin(x ) cos( x)
Câu 3 (1 điểm)
Giải bất phương trình:
2
2
x 24 x 27(12 x x 24x )
x 24 x 8(12 x x 24x )
Câu 4 (1 điểm)
Tính tích phân: I = 3
3 0
x tan sin x.(1 sinx)
4 2
dx
cos x
Câu 5 (1 điểm)
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng 3a, đường cao SH bằng a 10 , H là trọng tâm tam giác ABD Gọi M là trung điểm của SD Mặt phẳng (BCM) cắt
SH và SA lần lượt tại K và N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và chứng minh điểm K là trực tâm của tam giác SAC
Câu 6 (1 điểm)
Tìm các giá trị của a để tồn tại duy nhất cặp số (x, y) thỏa mãn
a x y 3x2 y
Câu 7 (1 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2
+ y2 – 4x – 2y – 5 = 0 và điểm A (5; 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều
Câu 8 (1 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
d1: x 1 y 1 z 2
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và tạo với d2 một góc bằng 0
30
Câu 9 (1 điểm)
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
100
(1 i) (1 i) i(1 i)
B ĐỀ VTEST SỐ 7
Trang 2Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Câu 1 (2 điểm)
1 (1 điểm) Học sinh tự giải
2 (1 điểm)
Pt của ∆: y = k(x – 1) + 2 Để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt sau có hai
nghiệm phân biệt : 2x 1 k(x 1) 2
x 1
2
pt kx 2kx k 3 0
− Nếu k = 0 thì (*) trở thành −3 = 0 vô lý
Trường hợp này không thỏa mãn (loại)
− Nếu k0thì Pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 'k 2k2 k 3 0 k 0
k k(k 3) 0
(0,5 điểm)
Giả sử M (x1 ; y1), N (x2 ; y2) trong đó x1, x2 là nghiệm của pt (*)
Theo hệ thức Viet ta có x1 + x2 = 2 x1 + x2 = 2x1 I là trung điểm của MN Do
∆AMN vuông tại A nên
2AIMNMN 40(x x ) (y y ) 40
(x x ) (k 1) 40 (x x ) 4x x (k 1) 40
2
k 3
k
(vì x1x2 =
k 3 k
)
Giải phương trình trên ta được hai giá trị k = 3, k = 1
3 đều thỏa mãn bài toán
(0,5 điểm)
Câu 2 (1 điểm)
Điều kiện: cos x 0, cosx 0
2
Pt 2
x sin x sin x sin x.sin
cos x x
cos 2
=
2sin x.cos sin x.sin cosx.cos
x cosx
cos 2
(0,5 điểm)
2
x k tan x 0
1 tan x 3 tan x 1
tan x 3
3
B ĐỀ VTEST SỐ 7
Trang 3Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là:
x 2k và x k
3
(k Z) (0,5 điểm)
Câu 3 (1 điểm)
Điều kiện x0 Bất phương trình đã cho tương đương với
24 x 2 x(24 x) x
x 24 x 27
8
x 24 x 24 x 2 x(24 x) x
2
2
x 24 x 27( x 24 x )
x 24 x 8( x 24 x )
(0,5 điểm)
8 x 24 x 27 x 24 x
2( x 24 x ) 3( x 24 x )
5 5 x 24 0 25x x 0 x 1
Đáp số: 0 x 1 (0,5 điểm)
Câu 4 (1 điểm)
Ta có
2
2
tan sin x(1 sin x) sin cos sin cos sin
cos x.cos x
cos sin cos x cos sin
2
s inx
cos x
cos x cos x cos x
0
(1,0 điểm)
Câu 5 (1 điểm)
Vì BC AD và ADmp(SAD) nên giao tuyến của (BCM) với (SAD) là đường thẳng qua M song song với AD, suy ra MN AD do đó N là trung điểm của SA
Ta có VS.BCD VS.BAD 1SH.SABD
3
.a 10 a a 10
S.BMN
S.ABD
S.BCM
S.BCD
,
Suy ra VS.BCMN VS.BCM VS.BMN 1VS.BCD 1VS.ABD
Vậy
3
S.HCMN
9 10a V
8
(0,5 điểm)
S
A
D
N K M
Trang 4Trong mp(SAC), nối CN cắt SH tại K là giao điểm của (BCM) với SH
Ta có CH 2AC 2a 2 SC SH2 CH2 3a 2 AC
3
Vậy tam giác SAC cân tại C và N là trung điểm của SA, nên CNSA, do đó K là trực tâm của tam giác SAC
(0,5 điểm)
Câu 6 (1 điểm)
Điều kiện: x 0, y 0
Nhận xét: Với mọi a phương trình a x y 3x2 y (*) luôn có ít nhất một nghiệm là (0; 0)
Ta sẽ tìm a để pt (*) không có nghiệm (x; y) với x + y > 0
pt (*) 3x 2 y a
vô nghiệm với x + y > 0 (0,5 điểm) Đặt t x , 0 t 1
x y
Xét f(t) = 3t2 1 t , t 0;1
Ta có f (t)' 3 1
2 t 1 t
với t (0;1) '
f (t) 0
7
và f(0) = 2, f(1) = 3, f 3 7
7
Suy ra mint 0;1 f (t) 3 và maxt 0;1f (t) 7
Do đó phương trình f(t) = a không có nghiệm trong đoạn 0; 1 a 7
Đáp số: a 7
(0,5 điểm)
Câu 7 (1 điểm)
Nhận thấy A (5 ; 2) thuộc đường tròn (C), mà ABC đều nên tâm I (2; 1) của (C) là trọng tâm của tam giác ABC
Gọi H(x ; y) là trung điểm của BC thì AHBCvà AH 3AI H 1 1;
(0,5 điểm) Suy ra đường thẳng d đi qua H và nhận IA(3;1) làm vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng d là : 3x + y – 2 = 0 (0,5 điểm)
Câu 8 (1 điểm)
Gọi phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A2 + B2 +
C2 ≠ 0
Vectơ pháp tuyến của (P) là n(A; B; C)vectơ chỉ phương của d1, d2 lần lượt là u (1; 1;1)1 và
u (2;1; 1)
Trang 5Mặt phẳng (P) chứa d1 tạo với d2 góc 30 nên: 0 1 0
2
n.u 0 cos(n,u ) sin 30
(0,5 điểm)
Từ đó ta có hệ phương trình:
2
Giải hệ trên ta được (P) : x + 2y + z + D1 = 0; x – y – 2z + D2 = 0 Mặt khác điểm M (1 ; 1 ; 2) d1 (P)
Từ đó suy ra có hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán là:
(P1) : x – y – 2z + 4 = 0 và (P2) : x + 2y + z – 5 = 0 (0,5 điểm)
Câu 9 (1 điểm)
(1 i) 2i (1 i) (2i) 4
(1 i) 2i (1 i) ( 2i) 4
Suy ra
25 4
(1 i) z
(1 i) i(1 i) (1 i)
(0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Vậy số phức z có phần thực bằng 4
3
và phần ảo bằng 0