Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 1) cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Trang 1I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ TỚI HAI TRỤC TỌA ĐỘ, HAI TIỆM CẬN
o
ax b
ax b
+
Khoảng cách từ M đến trục Ox là 1
+
+
o o o
ax b
cx d
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = x o
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x d
c
= − là d3 = x o+d
c
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y a
c
= là d4 = y o−a
c
2 2
+
A x y B x y →AB= x −x + y −y
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số( ) = −
+
2
1
x
x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho
a) khoảng cách từ M đến Oy bằng ba lần khoảng cách từ M đến Ox
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Hướng dẫn giải:
o
o
x x
−
a) Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ lần lần lượt là d1= x o ; d2= y o
Theo bài ta có
2
1 2
1
−
=
+
o
o
o o
o
o o
x
x
x x
x
x x
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±2 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= x o+1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là 2 1 2 1 3
−
o o
x
1
+
o
x
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±1 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số( ) = +
−
3
x
x
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến điểm I ngắn nhất, với I là giao điểm của hai
đườ ng tiệm cận
Hướng dẫn giải:
o
x
+
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 2 nên giao điểm của hai tiệm cận là I(3 ; 2)
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ( )
49
3
o
x
+
Vậy có hai điểm M với hoành độ là x o = − ±3 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 3: [ĐVH].Tìm M thuộc đồ thị hàm số = +
+
1
x y
x sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
b) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0
0 0
1
x
M x
x
+
Đồ thị có tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y − 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là d2 = |y0 – 2|
0 0
3
1
= +
= − +
0
1
x
x
+
0
1
x
x
+
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn đề bài là M(0; 3) và M(–2; 1)
b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến trục Oy là d2 = |x0|
Theo bài ta có
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn là 1 8; , 1 10;
−
y
Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị 0
0
1
1
M x
x
+
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là h1 = |x0 + 1|
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là 2 0
0
1 2
1
x
+
Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là
o-s
BDT C i
0
7
1
1
x
Vậy trên đồ thị có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là 7 ( )
3
M M −
Trang 3II TỔNG KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TIỆM CẬN
Giả sử có đồ thị hàm số ( ),
( )
f x y
g x
= trong đó f(x) và g(x) là các hàm bậc nhất
Điểm M thuộc đồ thị nên ; ( )
( )
f a
M a
g a
Đồ thị có tiệm cận đứng là x = α hay x – α = 0 và có tiệm cận ngang là y = β hay y – β = 0
Khoảng cách từ M đến các tiệm cận lần lượt là
1
1 2
α
α ( )
α β
k
k
f a
a d
−
−
α
k
a
−
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số = ( )
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
y
+ −
Gọi M(x; y) thuộc đồ thị, để M có tọa độ là số nguyên thì ( ) 2 1
x x
x
+ = ±
+ = ±
⋮
x+ = ⇔ = −2 1 x 1⇒y= −1⇒M(− −1; 1)
x+ = − ⇔ = −2 1 x 3⇒y=3⇒M(−3;3)
x+ = ⇔ =2 2 x 0⇒y=0⇒M( )0;0
x+ = − ⇔ = −2 2 x 4⇒y=2⇒M(−4;2)
Vậy trên đồ thị hàm số có 4 điểm M có tọa độ là những số nguyên
2
a
a
∈
là điểm cần tìm
Đồ thị có tiệm cận đứng x + 2 = 0 và tiệm cận ngang y – 1 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= +a 2, khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 1 2
a d
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a
+
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn là 1 2 2; 2 2 , 2 2 2;2 2
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số = + ( )
−
3
x
x Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho
a) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 8
Hướng dẫn giải:
y
; 2
3
a là điểm cần tìm
Đồ thị có tiệm cận đứng x − 3 = 0 và tiệm cận ngang y – 2 = 0
Trang 4Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= −a 3, khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 7 7
d
a) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 3 7 2 3 7 2 7
3
−
a
Từ đó ta được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
1 2
4
7
10
4
=
=
= −
a
a
a Tương ứng trên đồ thị có 4 điểm M thỏa mãn là M1( )4;9 ,M2(2; 5 ,− ) M3(10;3 ,) M4(−4;1 )
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số = + ( )
−
2
1
x Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số
Tìm m để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10
Hướng dẫn giải:
;
1
a
+
∈
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x – 1 = 0 và tiệm cận ngang là y – 2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1= −a 1 và khoảng cách đến tiệm cận ngang là 2 2 2 2
d
Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 2 1 2 2 1 2 2 2
min
23
27
m
m
=
= −
25
25
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn và tương ứng có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 2 1
1
x
x
+
=
−
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Ox
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
Bài 2: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
x
x
+
= +
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM, với I là giao điểm của hai tiệm cận
b) khoảng cach từ M đến hai tiệm cậng bằng nhau
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
Trang 5Bài 3: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 1
+
=
−
x
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy
b) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất
c) khoảng cách MI ngắn nhất, với I là giao của hai tiệm cận
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận bằng 2
Bài 4: [ĐVH].Cho hàm số ( ) 3 2
−
= +
x
x
Tìm điểm M trên (C) sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên
b) khoảng cach từ M đến hai trục tọa độ bằng nhau
c) tổng khoảng cách từ M đến các tiệm cận nhỏ nhất