Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về Bài toán tìm điểm trên đồ thị cung cấp kiến thức lý thuyết, 1 số bài tập ví dụ và bài tập tự luyện. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Trang 1Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2
2) Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng ∆: ax by c+ + =0: d M d ax by c
a b
=
+
Đặc biệt: + Nếu ∆: x=a thì d M( , )∆ = x0−a
+ Nếu ∆: y=b thì d M( , )∆ = y0−b + Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 + y0
3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC. .sinA 1 AB AC2. 2 (AB AC. )2
4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ IA IB+=0 ⇔ A B I
2 2
5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆⇔ AB
I
∆
∆
∈
(I là trung điểm AB)
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
x x
= −
+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
x x
= −
6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈∆
và một điểm N ∈ (C)
7) Điểm M x y( ; ) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x y, đều là số nguyên
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y= − +x3 3x+2 (C)
Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3)
Hướng dẫn giải:
Gọi A x y( 0 0; ), B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)− ⇒B(− −2 x0;6−y0)
A B, ∈( )C ⇔ y x x
3
3
= − + +
− = − − − + − − +
x03 x0 x0 3 x0 x02 x0
⇔ = − + + − − − + − − + ⇔ + + = ⇔ x0= −1⇒y0=0
Vậy 2 điểm cần tìm là: ( 1;0)− và ( 1;6)−
Ví dụ 2: [ĐVH].Cho hàm số y x x x
3
= − + + −
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung
Hướng dẫn giải:
Hai điểm M x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 N x y2 2 ∈ C đối xứng nhau qua Oy ⇔ x x
y y
0
= − ≠
=
⇔
0
x
1 2
3 3
= −
hoặc
x x
1 2
3 3
= −
=
BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M 16 N 16
−
Ví dụ 3: [ĐVH].Cho hàm số y= − +x3 3x+2 (C)
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2x y− + =2 0
Hướng dẫn giải:
Gọi M x y( 1 1; ) (;N x y2 2; ) thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d
I là trung điểm của AB nên I x1 x2;y1 y2
, ta có I∈d
Ta có y y ( x13 x1 ) ( x32 x2 ) x x
x x x x
0
1
Mặt khác: MN ⊥d⇒(x2−x1) (.1+ y2−y1).2 0=
(x2 x1) (x2 x1) (x12 x x1 2 x22) x12 x x1 2 x22 7
2
- Xét x1+x2=0 x1 7;x2 7
- Xét
x x
x x x x
9 1
4
vô nghiệm
Vậy 2 điểm cần tìm là: 7;2 1 7 ; 7;2 1 7
Ví dụ 4: [ĐVH].Cho hàm số y 1x3 x2 3x 5
Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: x x x x
x
5
= + − + = ⇔ = −
⇒ A( 5;0), (1;0)− B Gọi M a;1a3 a2 3a 5 ( ),C M A B,
, BM a 1;1a3 a2 3a 5
AM⊥BM⇔ AM BM =0 ⇔ (a 5)(a 1) 1(a 5) (2 a 1)4 0
9
⇔ 1 1(a 1) (3 a 5) 0
9
+ − + = ⇔ a4+2a3−12a2+14a+ =4 0 (*)
Đặt y=a4+2a3−12a2+14a+ =4 0, có tập xác định D = R
y′ =4a3+6a2−12a+14; y′ =0 có 1 nghiệm thực a0 7 y0 2043
≈ − ⇒ ≈ −
Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5
Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
Ví dụ 5: [ĐVH].Cho hàm số y=x4−2x2+1
Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8
Trang 3Hướng dẫn giải:
Điểm cực đại của (C) là A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y=m m( ≥0)
Vì d A PQ( , ) 8= nên m=9 Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình:
x4−2x2− = ⇔ = ±8 0 x 2
Vậy: P( 2;9), (2;9)− Q hoặc P(2;9), ( 2;9)Q −
Ví dụ 6: [ĐVH].Cho hàm số y=x4+mx2− −m 1 (Cm)
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (C m ) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
Hướng dẫn giải:
Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ =4x3+2mx
Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y′(1) ( 1)y′ − = −1 ⇔ (4 2 )+ m 2 =1 ⇔ m 3;m 5
= − = −
Ví dụ 7: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
2
2 + 1
=
−
Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2)
Hướng dẫn giải:
PT đường trung trực đọan AB: y=x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT:
x
x
x
2
2 + =1
− ⇔ x2 x 1 0 x 1 5;x 1 5
Hai điểm cần tìm là: 1 5 1 5 1 5 1 5
Ví dụ 8: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
2
−
=
− (C)
Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận
Hướng dẫn giải:
Gọi M x y( ; )∈ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3
−
x
x x
1 ( 2)
4 2
=
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M 1 ( 1; 1) và M 2 (4; 6)
Ví dụ 9: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
1
+
=
Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Gọi M x y( ; )0 0 ∈ (C), ( x0 ≠ −1) thì y x
0 0
2
+
Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: MA x MB y
x
0
1
1
+
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x
x
0 0
1
1
+
⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x x
x x
0 0
0 0
0 1
1
2 1
= + = + ⇔ = −
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3)
Ví dụ 10: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
1
−
= +
Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2)− tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất
Trang 4Hướng dẫn giải:
x
0
0
3
1
PTTT ∆ của (C) tại M là:
+ + ⇔ 3(x x− 0) (− x0+1) (2 y− −2) 3(x0+ =1) 0
Khoảng cách từ I( 1;2)− tới tiếp tuyến ∆ là:
( )
d
x
x
0
0
9
9 ( 1)
( 1)
+
x
2 0 2 0
x
2 0
Vậy có hai điểm cần tìm là: M(− +1 3;2− 3) hoặc M(− −1 3;2+ 3)
Ví dụ 11: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
1
−
= +
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1)
Hướng dẫn giải:
MN =(2; 1)−
⇒ Phương trình MN: x+2y+ =3 0
Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y=2x m+
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x m
x
1
− = + + ⇔ 2x2+mx m+ + =4 0 (x≠ −1) (1) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆=m2−8m−32 0> (2)
Khi đó A x( ;21 x1+m B x), ( ;22 x2+m) với x x1, 2 là các nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là I x1 x2;x1 x2 m
2
+ +
4 2
−
(theo định lý Vi-et)
A, B đối xứng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m= −4
x
2
=
− = ⇔ =
⇒ A(0; –4), B(2; 0)
Ví dụ 12: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
2 1
=
−
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0)
Hướng dẫn giải:
Ta có C y
x
2 ( ) : 2
1
= +
− Gọi B b b C c c
;2 , ;2
với b< <1 c Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox
Ta có: AB=AC BAC; =900⇒CAK BAH+ =900 =CAK ACK+ ⇒BAH=ACK
HB AK
0
=
b c
c c
b
2
2 2
1 1
1
− = +
= −
=
−
Vậy B( 1;1),− C(3;3)
Ví dụ 13: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
3 1
−
= +
B
A
C
Trang 5Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R {\ −1} Tiệm cận đứng x= −1
(với a>0,b>0) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)
2
ab
4 4
Khi đó: A(− −1 44;1+464 ,) (B − +1 44;1−464)
Ví dụ 14: [ĐVH].Cho hàm số y x
x
1 2
− +
=
−
Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường
thẳng d y: =x
Hướng dẫn giải:
PT đường thẳng AB có dạng: y= − +x m PT hoành độ giao điểm của (C) và AB:
x
x m x
1
2
− + = − +
− ⇔ g x( )=x2−(m+3)x+2m+ =1 0 (1) (x≠2)
Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ g
g
0 (2) 0
∆
>
≠
2
+ − + >
Ta có: A B
A B
3
Mặt khác y A= −x A+m y; B= − +x B m
Do đó: AB = 4 ⇔ (x B−x A)2+(y B−y A)2 =16 ⇔ m2−2m− =3 0 ⇔ m m= −=31
+ Với m=3, thay vào (1) ta được: x x x y
− + = ⇔
⇒ A(3+ 2;− 2), (3B − 2; 2) hoặc A(3− 2; 2), (3B + 2;− 2)
+ Với m= −1, thay vào (1) ta được: x x x y
= + ⇒ = − −
− − = ⇔
= − ⇒ = − +
⇒ A(1+ 2; 2− − 2); (1B − 2; 2− + 2) hoặc A(1− 2; 2− + 2); (1B + 2; 2− − 2)