Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2014 - 2015 môn Toán của Phòng GD & ĐT Phú Tân giúp cho các em học sinh củng cố kiến thức về môn Toán học. Đặc biệt, thông qua việc giải những bài tập trong đề thi này sẽ giúp các em biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ TÂN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Bài 1 : (4,0 điểm)
Q
= − − − − −
1) Rút gọn Q với a> 0, a≠ 4, a≠ 1
2) Tìm giá trị của a để Q dương.
Bài 2 : (4,0 điểm)
1) Chứng minh với mọi số thực x, y, z ta luôn có bất đẳng thức sau:
x +y + + ≥z t x y+ +z t 2) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình sau:
2
6 5 8
x −xy= x− y−
Bài 3 : (4,0 điểm)
1) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )= 2 x + − −x 2 7
2) Giải phương trình 2
2
Bài 4 : (4,0 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2x 2y 12xy A
x y
=
+
Bài 5 : (4,0 điểm)
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G Chứng minh rằng:
1) 2
.
AE =EK EG
2) AE AE 1
AK + AG =
3) Khi đường thằng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua điểm A thì tích BK.DG
có giá trị không đổi
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014 – 2015
1
Câu 1
(2,0 đ)
:
Q
= − − − − −
1 :
Q
0,5
( 1 ) (: )(3 )
Q
=
( 1 ).( 2)( 1)
3 1
Q
a a
=
2 3
a Q
a
−
Câu 2
(2,0 đ)
2
Câu 1
(2,0 đ)
x +y + + ≥z t x y+ +z t
4 x y z t 4x y z t
4x 4y 4z 4t 4xy 4xz 4xt
x +y + + ≥z t x y+ +z t
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 0
0,5
Câu 2
(2,0 đ)
Ta có: 2
6 5 8
x −xy= x− y−
2
xy y x x
0,5
Nếu x = 5 ta được : 0.y= 3 (vô lý)
Khi x≠ 5 từ (*) ta được :
2
1
0,5
Trang 3y nguyên khi 3 x− 5
0,5
3
Câu 1
(2,0 đ)
Vẽ đồ thị hàm số y= f x( )= 2 x+ − −x 2 7
0,5
>
−
≤
≤
−
<
−
−
=
⇔
2 9
3
2 0
5
0 5
3
x x
x x
x x
Bảng giá trị đặc biệt:
0,5
8
6
4
2
2
4
6
8
1
-5 -3
0,5
Câu 2
(2,0 đ)
Giải phương trình 2
2
+ + − + = (1)
Điều kiện: x≠ 0
2
⇔ + + − + =
x
2
1
2
x
0,5
x y
Trang 4Phương trình trở thành:
2
2 4 2 0
y + + y+ = 2
4 4 0
2 0
y
0,5
Với y= − 2 suy ra : x 1 2
x
− = − ⇔ x2 + 2x− = 1 0 2
2 1 2 0
1 2
x
0,5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2 1; 2 1
x= − x= − −
0,5
4 (4,0 đ)
Ta có:
2x 2y 12xy x xy y xy x y xy A
2
x y
Vì x > 0, y > 0 ⇒ x + y > 0 nên :
2
1
x y
+
2 1
x y
= + − + ≥
+
1,0
Vậy Amin = 4
Đẳng thức xảy ra khi
1 0
x y
x y xy
1 2
x y
5 Câu 1
(1,5 đ)
G E
K
Vì BK // AD nên EK EB
Vì AB // DG nên AE EB
Từ (1) và (2) suy ra : 2
.
EK AE
AE EK EG
Trang 5Câu 2
(1,5 đ)
Ta có : AE ED
EK = EB
AE EK ED EB
AE ED
AK DB
0,5
EG = ED
AE EG EB ED
AE EB
AG DB
0,5
Từ (1) và (2) suy ra : AE AE ED EB DB 1
Câu 3
(1,0 đ)
Ta có: BK AB
KC = CG (3)
KC CG
Nhân từng vế (3) và (4) ta được: BK KC. CG AB.
KC AD = DG CG
BK AB
BK DG AB AD
AD DG
Mà AB và AD không đổi
Vậy: Tích BK.DG không đổi khi đường thẳng thay đổi.
0,5
Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn hưởng trọn số điểm.