B×nh luËn : Víi chøng minh trªn ta nhËn thÊy pp vÐc t¬ cã thÓ tr¸nh cho chóng ta ph¶i kÎ thªm nhòng h×nh phô phøc t¹p, ®ã còng chÝnh lµ ®iÓm yÕu cña häc sinh khi häc h×nh häc kh«ng gia[r]
Trang 1Lời nói đầu
Khi dạy hình học không gian tôi cảm thấy rất phiền khi lúc nào cũng phải mang cái thước bên mình để có thể vẽ được những cái hình không gian phức tạp , lúc còn là học sinh tôi cũng cảm giác rằng những bài toán hình học không gian là những bài toán khó vì để giải quyết nó buộc tôi phải có những tưởng tượng không gian phong phú và tôi cũng cảm nhận được điều này trước
sự “nhăn nhó” của học sinh
Tôi vẫn mong muốn rằng có thể đọc được một tài liệu nào đó mà có thể cho tôi một phương pháp đỡ tư duy trên hình vẽ hơn ; Tôi đã cố gắng tìm tòi và đọc được một số tài liệu hay như: Tạp chí TH&TT; Quy trình giải các bài toán hình học bằng pp véc tơ (Nguyễn Văn Lộc); Toán nâng cao hình học (Phan Huy Khải) ; Hình học KG(Trần Văn Hạo) ; Giải toán hình học (Trần Thành Minh) ; Hình học không gian (Sa-rư-gin) và một số tài liệu khác …trong đó có rất nhiều phương pháp tôi tâm đắc như phương pháp véc tơ, phương pháp đại số hoá, phương pháp trải tứ diện , phương pháp chiếu vuông góc,song song, phương pháp sử dụng các phép biến hình… Tôi cũng đã thử nghiệm một vài phương pháp khi dạy trên lớp , và tôi nhận thấy pp véc tơ là khá phù hợp với năng lực hs đồng thời có thể giúp học sinh có những chuẩn bị tốt khi học hình giải tích (lớp 12) Vì vậy tôi cố gắng viết ra một tài liệu cho riêng tôi, phù hợp với phong cách giảng dạy của tôi hơn ; Nhưng tôi vẫn cảm thấy rằng nó chưa thật vừa ý , nhân tiện tổ có đưa ra yêu cầu viết một chuyên đề nên tôi có dịp đưa nó ra để mình có thể thu thêm nhiều ý kiến đóng góp ,phê bình quý báu cho công tác giảng dạy sau này
Trong bài viết tôi thiên về việc giải quyết những bài toán SGK , còn những bài toán khác chỉ mang tính chất phụ hoạ cho phương pháp véc tơ mà thôi
Vì thời gian viết chuyên đề quá ngắn nên một số phần như: góc, thể tích,mặt cầu, bất đẳng thức hình học…chưa kịp làm, hy vọng rằng với sự góp ý của các thầy cô tôi sẽ viết được một tài liệu
có “chất” hơn
Rất mong được sự đóng góp quý báu của các thầy cô!
Thanh Long ngày 18/03/2007
Phạm Kim Chung
Trang 2a, lý thuyết Phương pháp véc tơ:
I) Quy trình giải toán
Bước 1: Lựa chọn “ Hệ véc tơ gốc”.-> “Phiên dịch” các giả thiết , kết luận của bài toán hình học đã cho
ra ngôn ngữ “véc tơ”
Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức véc
tơ theo hệ véc tơ gốc
Bước 3: Chuyển các kết luận “véc tơ” sang các tính chất hình học tương ứng
VD1: (Bài tập 7.Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD và G là
trung điểm của đoạn thẳng MN
a) Chứng minh rằng đường thẳng AG đi qua trọng tâm A’ của tam giác BCD Phát biểu kết luận tương tự đối với các đường thẳng BG,CG và DG
b) Chứng minh GA=3GA’
BG: Chọn hệ {A AB AC AD,JJJK JJJK JJJK, , }
làm cơ sở
A
*Phiên dịch giả thiết , kết luận theo hệ véc tơ gốc +Giả thiết:
M là trung điểm của AB ⇔ 1
2
AM = A
JJJJK JJK
BJ
N là trung điểm CD 1( )
2
AN AD+AC
JJJK JJJK JJJK
G là trung điểm đoạn MN
AG AM AN AB AC AD
⇔JJJK= JJJJK JJJK+ = JJJK JJJK JJJK+ + (1)
' 3
AA AB+AC+AD
⇔JJJJK= JJJK JJJK JJJK .(2) + Dễ thấy yêu cầu của bài toán tương đương với yêu cầu chứng minh
(H.1)
A’
G
N
M
B
D
3
AG= A
C
A
JJJK JJJJK
Từ (1),(2) ta dễ dàng giải quyết bài toán trên
II, Một số tính chất cần ghi nhớ
Để giải quyết một bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ học sinh cần nắm vững các khái niệm và tính chất sau:
1) Quy tắc 3 điểm: ABJJJK JJJK JJJK+BC= AC, với A,B,C là 3 điểm bất kì trong không gian
2) Quy tắc hiệu 2 véc tơ chung gốc: JJJKAB
là một véc tơ cho trước thì với mọi điểm O bất kì , ta có:
JJJK JJJK JJJKAB=OB OAư
3) Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác OABC là hình bình ta luôn có : OBJJJK JJJK JJJK=OA OC+
4) Tính chất trung điểm: Nếu M là trung điểm đoạn AB thì: JJJ JJJ K
+ MBK+MAK=0
,
OB OM
JJJK JJJK JJJJK
GB GC=
JK K JJJK K
OB OC= OG
JJJK JJJK JJJK JJJK
+ OA+ =2 với mọi điểm O
5).Tính chất trọng tâm của tam giác : Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: JJ JJJ
+ OA + + 3 với mọi điểm O
Trang 36) Tích vô hướng của 2 véc tơ: JJJK JJJKAB CD = JJJK JJJKAB CD cos(JJJK JJJKAB CD, )
7) Điều kiện để 2 véc tơ cùng phương : Véc tơ a
G cùng phương với véc tơ b b(G≠0)G ⇔ ∃ ∈k R a:G=kbG
G
8) Điều kiện để 3 điểm thẳng hàng ĐK cần và đủ để 3 điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng là: ∃ ≠k 0 :JJJKAB=k AJJJKC
9) Điều kiện để 2 véc tơ vuông góc: JJJKAB⊥CDJJJK⇔JJJK JJJKAB CD =0G
10) Ba véc tơ đồng phẳng: Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu 3 đường thẳng chứa chúng cùng song song với một
mặt phẳng
11).Công thức về mối liên hệ giữa độ dài và tích vô hướng 2 véc tơ:
2
a b= ⎡ a b+ ưa ưb ⎤
2
a b= ư ⎡ a bư ưa ưb ⎤
12) Nếu a b c, , là 3 véc tơ không đồng phẳng thoả mãn :
G G G
x aG+y bG+z cG=x aG+y bG+z cG thì:
x x
y y
z z
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
13) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k≠1 thì với điểm O bất kì ta có:
1
OA kOB OM
k
ư
=
ư
JJJK JJJK JJJJK
14) Trong không gian cho hệ {O OA OB OD,JJJK JJJK JJJK, , }
Điểm D∈mp ABC( ) thì ODJJJK=αOAJJJK+βOBJJJK+γOCJJJK ,(α β γ+ + =1; , ,α β γ∈R)
b, Các dạng bμi tập
*Bμi tập hình thμnh phương pháp
Dạng 1 Bμi tập phân tích một véc tơ theo 3 véc tơ không đồng phẳng
(Xem khái niệm 3 véc tơ đồng phẳng mục A-II-10)
VD2: Cho tứ diện ABCD Các trung tuyến AA 1 và BB 1 của tam giác ABC cắt nhau tại M Có thể biểu diễn véc tơ DMJJJJK theo bộ ba véc tơ nào ,trong các bộ ba véc tơ đã cho sau đây?
1) DA DC DBJJJK JJJK JJJK, ,
2) DJ , 1, 1
A AA BB
JJK JJJK JJJK
3) JJJK JJJK JJJJKAB DA A B, , 1 1
D
3
DM = DA+DB+DC
JJJJK JJJK JJJK JJJK
3
DM =DA+ AA + BB
JJJJK JJJK JJJK JJJK
3) Do A1B1//AB nên 3 véc tơ trên là
đồng phẳng , mặt khác véc tơ JJJJKDM
không đồng phẳng với 2 véc tơ nào trong 3 véc tơ trên , do vậy DMJJJJK
không biểu diễn được theo các véc tơ:JJJK JJJK JJJJKAB DA A B, , 1 1
VD3: Cho tứ diện ABCD Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC
Hãy biễu diễn DMJJJJK
theo các véc tơ:DA AC CBJJJK JJJK JJJK, ,
(H.2)
1
M
A
C
B
Trang 4HD: (Xem hình 2.) M là trọng tâm của tam giác ABC nên: 1(
3
DM = DA+DB+DC)
JJJJK JJJK JJJK JJJK
Vậy để giải quyết bài toán ta cần biểu diễn DB DCJJJK JJJK, theo 3 véc tơ
, ,
DA AC CB
JJJK JJJK JJJK
.Ta có:
+ DBJJJK JJJK JJJK JJJK=DA+AC CB+ và DCJJJK JJJK JJJK=DA+AC Từ đó suy ra: 1( )
3
DM = DA+ AC+CB
JJJJK JJJK JJJK JJJK
Bμi tập tự giải:
1).Cho tứ diện ABCD M và N là trung điểm DB và DC Hãy phân tích các véc tơ
, , theo , ,
AM BN MN DA DB DC
JJJJK JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK
2) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O
a) Hãy phân tích SDJJJK theo SA SB SCJJK JJK J K, , JJ
b) Hãy phân tích các véc tơ SA SB SC SDJJK JJK JJJK JJJK, , , theo các véc tơ
, ,
AB AC SO
JJJK JJJK JJJK
3).Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là tâm của hình lập phương và I là tâm của mặt CDD’C’ Hãy
phân tích các véc tơ AO AIK JK, theo AB AD AAJK JJK, , JK'
1 1 1
JJJ J JJ J JJJ
4) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA B C 1
a) Đặt ACJJJJK =c BAG JJJK=a CBG JJJK =bG Hãy phân tích véc tơ JJJKAA1 theo , ,a b cG G G
b) M là trung điểm đoạn B1C Hãy phân tích véc tơ JJJJKAM theo ,JJJK JJJK JJJKAA AB AC1 ,
5) Cho tứ diện ABCD M và N là các điểm chia các đoạn thẳng DB, AC theo tỉ số MD m; NA
MB = NC =n Hãy phân tích véc tơ MNJJJJK theo JJJK JJJK JJJKAB DA BC, ,
JJ
6) Cho mặt cầu tâm O bán kính R Từ điểm S vẽ 3 tiếp tuyến SA, SB, SC với mặt cầu (A,B,C là các tiếp điểm )
Hãy phân tích véc tơ SOJJJK theo SA SB SCJJK JJK J K, , biết rằng ba véc tơ này từng cặp tạo với nhau góc 60
0
-
Dạng 2: Bμi tập lựa chọn “ hệ véc tơ gốc ”
* Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véc tơ Nói chung
việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn 2 yêu cầu:
+ Hệ véc tơ gốc phải là 3 véc tơ không đồng phẳng
+ Hệ véc tơ gốc nên là hệ véc tơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véc
tơ một cách đơn giản nhất
VD4: (Bài tập 6- Tr27-SGK11) Cho hình tứ diện ABCD với P,Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi R
là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR=2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mp(PRQ) Chứng minh
rằng AS=2SD
BG:
A
làm cơ sở Ta có:
P là trung điểm AB 1
2
AP AB
JJJK JJJK
2
AQ AC AD
⇒JJJK= JJJK JJJK+
R nằm trên BC và BR=2RC 1 2
AR AB A
⇒JJJK= JJJK+ JJJKC
Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng minh : 2 hay 2
3
AS = SD AS= AD
JJJK JJJK JJJK JJJ
(H.3)
B
R
S
P
C
Q
D
K
Trang 5Giả sử ASJJJK=k ADJJJK Điểm S thuộc mp(PQR) do đó tồn tại α β γ, , ∈R sao cho:
JJJKAS =αJJJKAP+βJJJKAQ+γJJJKAR ;(α β γ+ + =1) (Xem mục A-II-14)
k AD=α AB+β AC+AD +γ ⎛⎜ AB+ AC⎞⎟
k AD ⎛ α γ⎞AB ⎛ β γ⎞AC βAD
⇔ =⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ +
1
0
0
1
2
k
α β γ
β
+ + =
⎧
⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪ =
⎪⎩
3
k
⇒ = (Xem mục A-II-12), suy ra đpcm
Bình luận : Với chứng minh trên ta nhận thấy pp véc tơ có thể tránh cho chúng ta phải kẻ thêm nhũng hình phụ
phức tạp, đó cũng chính là điểm yếu của học sinh khi học hình học không gian
Ta sẽ xét sang VD khác , để nhận thấy rõ hơn ưu điểm của phương pháp véc tơ
VD5:(Bài tập 5-Tr86-SGK11) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ
diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC=BD, AD=BC
BG:
Giả sử M,N là trung điểm của AB, CD
làm cơ sở
A
M là trung điểm của AB ⇔ 1
2
AM = A B
JJJJK JJKJ
2
AN AD A
⇔JJJK= JJJK JJJK+ C
1(
MN AN AM AC AD AB
⇒JJJJK JJJK JJJJK= ư = JJJK JJJK JJJK+ ư
CDJJJK JJJK JJJK=ADưAC + MN vuông góc với AB nên:
4
MN AB AC AD AB AB
(H.4)
M
N
C
B
D
JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
2
0 AB AC AB AD AB (1)
⇔ =JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK+ ư + MN vuông góc với CD nên:
1
4
MN CD= ⇔ AC+ADưAB ADưAC)=0 JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
⇔ AD2 =JJJKAC2ưJJJK JJJK JJJK JJJKAB AC +AB AD (2)
Lấy (2)-(1) theo vế ta được: 2 ( )2 2
AD = JJJK JJJKABưAC =BC ⇒AD=B C
Cộng vế theo vế ta được AC=BD Suy ra điều phải chứng minh
Bình luận:
+Mặc dù là bài tập SGK ,tuy nhiên bài toán trên là bài tập khó kể cả với những HSG , vì việc vẽ hình phụ để giải
quyết bài toán bằng phương pháp hình học KG thuần tuý là không đơn giản
+ Bài toán còn có thể giải bằng phương pháp đại số hoá bằng cách đặt AB=x; AC=y; AD=z sau đó áp dụng công thức trung tuyến cũng là một phương pháp hay
Trang 6Bμi tập tự giải:
1)(Bài tập 4-Tr41-SGK11).Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của hình hộp bằng tổng bình
phương tất cả các cạnh của hình hộp đó
2)(Bài tập 1-Tr59-SGK11) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng :
AC⊥B D' ', AB'⊥CD', AD'⊥CB'
3)(Bài tập 2-Tr59-SGK11) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a , gọi M là trung điểm của BC Tính cosin của góc
n
(AB DM , )
4)( Bài tập 3-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b, AD=BC=c
a) Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD
5)( Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết rằng SA=SC, SB=SD
Chứng minh rằng :
a) SO⊥mp ABCD( )
b).AC⊥SD
6) ( Bài tập 5-Tr69-SGK11) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB⊥CD và AC⊥BD thì AD⊥BC
7) ( Bài tập 7-Tr69-SGK11) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Kẻ
H nằm trên mp(ABC) Chứng minh : (
OH ⊥mp ABCD)
a) H là trực tâm tam giác ABC
b) 1 2 12 12 1
OH =OA +OB +OC2
8) ( Bài tập 8-Tr86-SGK11) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD = a 2 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh mp(SIJ) vuông góc với mp(SBC)
b).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
-
*bμi tập phân theo các dạng toán giải được bằng pp véc tơ
Một câu hỏi thường gặp ở học sinh khi dạy phương pháp véc tơ là : Những bài toán có dạng như thế nào thì giải
được bằng phương pháp véc tơ ?, dạng toán nào thì phương pháp véc tơ là ưu điểm ? , đường lối giải quyết nó như thế nào ? Thực ra để trả lời được câu hỏi đó là rất khó vì các bài toán sơ cấp nói chung và hình học không gian nói riêng là khó tìm một phương pháp nào là có thể giải quyết hết các bài toán nếu như không muốn nói là không thể Tuy nhiên đối với các bài tập SGK chúng ta có thể làm rõ được phần nào, ví dụ đối với những hs trung bình có thể dừng lại ở các bài toán có giả thiết và kết luận đơn giản như trung điểm, trọng tâm , vuông góc; đối với những hs khá có thể nâng cao lên ở những bài toán khoảng cách , tính góc , thẳng hàng, đẳng thức hình học…; đối với những hs giỏi có thể thêm những dạng toán về sự đồng phẳng , đồng quy,bất đẳng thức hình học, quan hệ song song ,vuông góc … ở mức độ khó hơn
Dạng 1: Bμi tập về trọng tâm tam giác , tứ diện
+ M là trung điểm AB 1( )
2
OM OA OB
⇔JJJJK= JJJK JJJK+
+G là trọng tâm tam giác ABC 1( )
3
OG OA OB OC
⇔JJJK= JJJK JJJK+ +JJJG
(Với mọi điểm O bất kì trong không gian ) VD6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng (A’BD) cắt đường chéo AC’ tại M Chứng minh M là trọng tâm của tam giác A’BD
Trang 7HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở {A AA AB AD,JJJJK JJJK JJJK', , }
Phân tích bài toán:
Mặt phẳng (A’BD) cắt đường chéo AC’ tại M
k AA AB+AB
JJJJK JJJJK JJJK JJJK
JJJJ
( ' )
'
M mp A BD
AM αAA βAB γAD
∈
⇒JJJJK= JJJJK+ JJJK+ JJJK (α β γ, , ∈R:α β γ+ + = 1)
*Yêu cầu bài toán tương đương với việc chứng
C
(H.5)
M
B’
D’
D
B
A
C’
minh: 1( )
' 3
AM = AA +AB+AD
JJJJK JJJJK JJJK JJJK A’
Với việc lập hệ phương trình và giải quyết tương tự VD4 , ta suy ra đpcm
Bμi tập tự giải:
1) Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ Gọi P,Q,R là ảnh đối xứng của điểm D’ qua các điểm A, B’, C Chứng
tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD’
2) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA Chứng minh 2 tam giác ANP và
CMQ có chung trọng tâm
3) Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:
AA +BB +CC +DD = 0G
JJJJK JJJJK JJJJK JJJJK
4) Cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’ ,D’ lần lượt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD,DA sao cho:
A A B B CC D D
k
A B = B C =C D = D A = Chứng minh hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có cùng trọng tâm
5) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi P,R theo thứ tự là trung điểm của AB, A1D1 ; Gọi P1 ,Q ,Q1 ,R1 theo thứ tự
là giao điểm của các đường chéo của các m t (ABCD), (CDDặ 1C1), (A1BB 1C1D1),(ADD1A1)
a) Chứng minh rằng : PPJJJK JJJJK JJJK1+QQ1+RR1=0G
b) Chứng minh hai tam giác PRQ và P1R1Q1 có cùng trọng tâm
-
Dạng 2: bμi tập về các điểm thẳng hμng
Để chứng minh 3 điểm P, M, N thẳng hàng ta chứng minh: JJJKAP=αJJJJKAM +βJJJKAN ( ,α β∈R:α β+ =1)
trong đó A là điểm bất kì (thông thường A là gốc của hệ cơ sở)
VD7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi P,Q là các điểm xác định bởi :
AP= ưAD' , 'C Q = ư D C' ;
M là trung điểm BB’ Chứng minh rằng P, M, Q thẳng hàng
HD:
Chọn hệ {A A A',JJJJK' =a A BG,JJJJJK' '=b A DG,JJJJJK G' '=c}làm cơ sở
Trang 8Phân tích bài toán:
* Giải thiết : AP= ưAD'⇒JJJKAP= ưJJJJKAD'⇒JJJJKA P' =2aG JGư d
C Q= ưC D⇒C QJJJJK= ưC DJJJJJK⇒JJJJKA Q= bG JG G+ ưd a
M là trung điểm BB’ 1( ) 1
A M A B+A B = a+b
⇒JJJJJK= JJJJK JJJJJK G G
* Yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh: ∃α β, :JA MJJJJK' =αJJJJKA P' +βJJJJKA Q' (α β+ =1)
Thay các đẳng thức trên và giải hệ phương trình ta được 1
2
α β= =
Bμi tập tự giải :
1) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi P là trung điểm của cạnh B1C1 Đường thẳng d qua P cắt đường thẳng AB
tại M và cắt đường thẳng DD1 tại N Chứng minh P là trung điểm của đoạn MN
2).Cho tứ diện OABC Gọi M,N ,P lần lượt là các điểm đối xứng với O đối với trung điểm các cạnh tam giác ABC
Chứng minh rằng , điểm O và trọng tâm các tam giác ABC , MNP thẳng hàng
3) Cho tứ diện OABC Gọi P, Q,R lần lượt là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COA Chứng minh rằng điểm
O và trọng tâm các tam giác ABC, PQR thẳng hàng
4) Chứng minh rằng trong tứ diện trực tâm : trọng tâm , trực tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp cùng nằm trên một
đường thẳng (đường thẳng Ơ-le trong tứ diện)
5) Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho : 3 1
2
CP M là điểm trên đường thẳng AD, N là điểm trên đường thẳng BD
CC
=
1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Tính :MD
MA
-
Dạng 3: quan hệ vuông góc giữa đường thẳng vμ mặt phẳng
VD8 (Bài tập 3-Tr69-SGK11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết rằng SA=SC,
SB=SD Chứng minh rằng:
a) SO⊥mp ABCD( )
b) AC⊥SD
Chọn hệ véc tơ cơ sở:
{O OA OB OS,JJJK JJJK JJJK, , }
S
SC =OCưOS = ư OA OS+ JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK Theo bài ra : SA=SC ( ) (2 )2
SA =SC ⇒ OA OSJJJK JJJKư = OA OSJJJK JJJK+ ⇒OA OSJJJK JJJK =0⇒OA⊥OS
Tương tự ta chứng minh được : OB⊥OS, suy ra: SO⊥mp ABCD( )
b) Ta có :JJJKAC= ư2OJJJKA K JJJK
; SDJJJK JJJ=OD OSư Do đó: JJJK JJJKAD SD = ư2OA OD OSJJJG JJJG JJJG.( ư )= ⇒0 AC⊥SD
O A
D
C
(H.6)
B
VD9.(Bài tập 5-Tr69-SGK11) Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu AB⊥CD, AC⊥BD thì: AD⊥BC
Trang 9HD: Chọn hệ {A AB AC AD,JJJK JJJK JJJK, , }
làm cơ sở
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC AD AB AD
AC BD AC AD AB AC AD AC AB
⎨
⎪⎩
JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
JJJK JJJK JJJK JJJK
Nên: JJJK JJJK JJJK JJJK JJJKAD BC =AD AC( ưAB)= ⇒0 AD⊥BC <Theo (1)>đpcm
+ Để chứng minh AB⊥CD, ta chứng minh: JJJK JJJKAB CD =0
+ Để chứng minh AB⊥( )α , ta chứng minh AB vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc mp( )α
+ Để chứng minh ( )α ⊥( )β , ta chứng minh 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với 2 đường thẳng thuộc mặt phẳng kia
Bμi tập tự giải :
1) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC , vẽ DE⊥AB E( ∈AB), biết
Gọi M là trung điểm DE
(
SE⊥mp ABC)
Chứng minh :AM ⊥mp SEC( )
2).Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BB1 Chứng minh:
1
MN⊥ A C
3) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC , đáy ABC là tam giác cân (AB=AC) Vẽ , D là trung
điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh :
(
SO⊥mp ABC) ( )
CD⊥mp SOE 4) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường chéo A’B và B’C Biết rằng :
' ' ; '
A M = A B B N = B C Chứng minh rằng : MN ⊥A B' và MN ⊥B C'
5) Tổng hai góc phẳng của góc tam diện bằng 1800 Chứng minh rằng đường vuông góc chung của chúng vuông góc với phân giác của góc phẳng thứ ba
-
Dạng 4: Tính góc giữa hai đường thẳng
2
,
2
a b a b
a b cos a b
G G
G G
VD10(Bài tập2-Tr59-SGK11) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC
Trang 10Tính cosin của góc n(AB DM , )
Chọn hệ véc tơ cơ sở {B BA BC BD,JJJK JJJK, ,JJJG}
Ta có:
A
1 2
DM =BMưBD= BCưBD
JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
Do đó: ( )
cos AB DM
DM AB
=
JJJJG JJJK JJJJG
JJJK
JJJJG JJJK
Dễ thấy : AB=a ; DM= 3
2
a
(H.7)
C
B
M
D
2
1
3 4
AB DM = ưBA⎛ BCưBD⎞=BD BAư BA BC=a cosπ ư a cosπ = a
JJJK JJJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK JJJK
Do đó
cos AB DMJJJK JJJJG = 3 0
6 >
,
6
cos AB DM
Chú ý : c os a b( )G G, > ⇒0 ( )a bG G, =( )a bm, ; cos a b( )G G, < ⇒0 ( )a bG G, = ưπ ( )a bm,
Bμi tập tự giải :
1)( Bài tập3-Tr59-SGK11) Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a , AC=BD=b, AD=BC=c
a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó
b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD
2)(Ví dụ 1-Tr56-SGK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD Cho biết
AB=CD=2a và MN=a 3 Tính góc n(AB CD , )
3) Trong hình chóp tam giác ABCD tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau Điểm M là trung điểm cạnh AD, điểm
O là trọng tâm tam giác ABC , điểm N là trung điểm cạnh AB và điểm K là trung điểm cạnh CD Tìm góc giữa các đường thẳng MO và KN
4) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 : BC=a; AC=b ; AB=c; AA1=h Tính cosin của góc:
a) Giữa các đường chéo AB1 và BC1
b) Giữa các cạnh AB và các đường chéo B1C
5)* Biết các góc phẳng của góc tam diện SABC: nBSC=α; CSAn=β; ASBn = Tính cosin của các góc : γ a) Giữa cạnh SC và phân giác góc nASB
b) Giữa các phân giác góc nASB và nASC
c) Giữa cạnh SC và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng chứa mặt đối diện
<HD: Chọn hệ véc tơ cơ sở {S SA,JJJK1=e SBJG1,JJJK1=e SCJJG2,JJJK1 =eJG3} trong đó e e eJG JJG JG1, ,2 3
là các véc tơ đơn vị>
-