Đào tạo giáo viên về dạy học xác suất có điều kiện

- Định nghĩa về các biến cố điều kiện thường có vấn đề: xác suất của sự kiện mục tiêu nên được điều kiện hóa dựa trên sự kiện ngay lập tức được đưa ra dưới dạng dữ liệu trong bài toán ch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Kiều Trang

ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN VỀ DẠY HỌC

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Đỗ Thị Kiều Trang

ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN VỀ DẠY HỌC

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TĂNG MINH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong công trình nào khác

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm trước lời cam đoan của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2020

Học viên

Đỗ Thị Kiều Trang

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn tôi những kiến thức chuyên ngành quý báu để tôi có thể thực hiện được luận văn này

Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Tăng Minh Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, định hướng cho những nghiên cứu của tôi trong suốt thời gian qua Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ của các sinh viên khoa Toán khóa

43 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trong thời gian tôi tổ chức thực nghiệm đề tài

Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, thầy cô, đồng nghiệp luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn

Do điều kiện chủ quan và khách quan, bài luận văn chắc chắn còn những thiếu sót Tôi rất mong những ý kiến đóng góp để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu

Đỗ Thị Kiều Trang

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục viết tắt

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 12

1.1 Xác suất 12

1.1.1 Định nghĩa theo cách tiếp cận cổ điển 12

1.1.2 Định nghĩa theo tần suất thống kê 13

1.1.3 Định nghĩa theo quan điểm hình học 14

1.1.4 Định nghĩa theo hệ tiên đề 14

1.2 Xác suất có điều kiện 15

1.2.1 Định nghĩa của xác suất có điều kiện 15

1.2.2 Định nghĩa theo cách tiếp cận cổ điển 15

1.2.3 Định nghĩa theo cách tiếp cận hệ tiên đề 15

1.2.4 Cách tính xác suất có điều kiện 16

1.3 Các cách tiếp cận khái niệm xác suất có điều kiện 17

1.4 Các khó khăn thường gặp 20

Tiểu kết chương 1 31

Chương 2 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ 32

2.1 Nghiên cứu giáo trình học phần xác suất và thống kê 33

2.2 Nghiên cứu các tổ chức toán học trong học phần xác suất thống kê 48

2.3 Nghiên cứu bài giảng học phần PPDH ĐS & GT 51

Tiểu kết chương 2 55

Chương 3 THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT 57

3.1 Giới thiệu tình huống thực nghiệm 57

3.1.1 Nội dung bài toán 57

3.1.2 Phân tích tình huống bài toán 57

3.2 Phân tích tiên nghiệm 60

3.2.1 Chiến lược 60

3.2.2 Tổ chức thực nghiệm 66

3.3 Phân tích hậu nghiệm 66

Tiểu kết chương 3 73

Chương 4 THỰC NGHIỆM THỨ HAI 75

4.1 Kịch bản thực nghiệm 75

4.2 Kết quả thực nghiệm 82

Tiểu kết chương 4 95

KẾT LUẬN 96

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Trình bày lí do chọn đề tài

Ghi nhận 1: Borovcnik và Peard (1996) nhận xét rằng các kết quả trái ngược về

xác suất được tìm thấy ngay cả ở mức độ rất sơ cấp, trong khi ở các nhánh khác (như hình học, giải tích…) chỉ gặp phải khi làm việc ở mức độ trừu tượng cao Ngay cả khi tiên đề Kolmogorov được chấp nhận vào năm 1933 thì các nhà thống kê chuyên nghiệp vẫn tranh luận về các quan điểm khác nhau về xác suất và các phương pháp suy luận khác nhau (Fine 1971) Trong nghiên cứu này, các tác giả cho rằng lý luận xác suất khác với lý luận logic bởi vì trong lý luận logic, một mệnh đề luôn luôn đúng hoặc sai tuy nhiên trong một sự kiện ngẫu nhiên thì chúng ta không thể có được một kết quả chính xác tuyệt đối như đối với mệnh đề

Điều này khiến cho học tập, nghiên cứu về xác suất có điều kiện dù ở mức độ đơn giản nhất cũng gặp phải những khó khăn nhất định nhất là những người bắt đầu tìm hiểu về vấn đề này

Ghi nhận 2: Sau khi nghiên cứu về Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 do

Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam ban hành, chúng tôi nhận thấy có những điểm bổ sung mới rất thú vị và bổ ích cho học sinh Đặc biệt là ở bộ môn toán ở cấp THPT thì chúng tôi nhận thấy phần xác suất, thống kê được chú trọng và quan tâm nhiều hơn trước Trong đó, chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 11 mới còn có đề cập đến “xác suất có điều kiện” (Công thức Bayes) thay vì chỉ dừng lại ở xác suất không điều kiện như chương trình phổ thông hiện nay

Theo như kế hoạch đưa ra, đến năm học 2023 – 2024 chương trình mới sẽ được thực hiện ở lớp 11 và trường Đại học Sư Phạm TP HCM là một trong những trường đại học đào tạo giáo viên trọng điểm của cả nước Đứng trước nhu cầu đào tạo ra những giáo viên có thể giảng dạy theo chương trình giáo dục phổ thông mới thì nhà trường nói chung và khoa Toán nói riêng đã giúp những “giáo viên tương lai” chuẩn

bị những gì để họ có thể dạy về vấn đề này khi ra trường

1.2 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan tới vấn đề đang quan tâm

Chúng tôi tìm thấy các công trình có liên quan, cụ thể như sau:

 Carmen Batanero và các cộng sự (2014), Preparing teachers to teach conditional probability: a didactic situation based on the Monty Hall problem (tạm

dịch: Chuẩn bị cho giáo viên để dạy về xác suất có điều kiện: một tình huống Didactic dựa trên vấn đề Monty Hall) Nghiên cứu đã chỉ ra:

- Cần có chuẩn bị tốt cho giáo viên để dạy xác suất có điều kiện vì đây một chủ

đề có rất nhiều quan niệm sai lầm trong đó

- Đề xuất một cách tổ chức các tình huống thực tế dựa trên vấn đề Monty Hall, nhằm để cải thiện kiến thức toán học và sư phạm

- Chỉ ra mộ số cách để giải quyết bài toán dựa trên các kiến thức khoa học

- Phân tích các kiến thức toán học liên quan đến bài toán

- Dự đoán những khó khăn của sinh viên gặp phải khi đối mặt với vấn đề được nêu

 Carmen Díaz – Carmen Batanero – J Miguel Contreras (2010), Teaching independence and conditional probability (tạm dịch: Dạy về tính độc lập và xác suất

có điều kiện) Nghiên cứu đã chỉ ra:

- Hiểu về tính độc lập và xác suất có điều kiện là điều cần thiết để áp dụng đúng các khái niệm và phương pháp về xác suất Mặc dù có thể xác định trực quan hai khái niệm này, nhưng nghiên cứu tâm lý học cho thấy trong một số trường hợp cụ thể do những thành kiến cá nhân dễ đưa đến những quyết định sai lầm

- Phân tích mối liên quan giữa xác suất có điều kiện và tính độc lập

- Phân tích các quan điểm dẫn đến sai lầm trong xác suất có điều kiện và đưa ra các tình huống minh họa cho mỗi loại sai lầm:

+ Điều kiện và kết quả: Người ta biết rằng nếu một sự kiện B là nguyên nhân của sự kiện A thì mỗi khi B có mặt thì A cũng có mặt và do đó

+ Nhầm lẫn giữa các sự kiện độc lập với các sự kiện xung khắc

 Ruma Falk (1986), Conditional probabilities: Insights and difficulties (tạm

dịch: Xác suất có điều kiện: Sự sáng suốt và những khó khăn) chỉ ra rằng:

Xác suất có điều kiện đóng một vai trò trung tâm trong quá trình suy luận về thế giới bất định Định nghĩa chính thức của P A B rất rõ ràng và cụ thể Tuy nhiên,  | khi nghiên cứu kĩ ý tưởng của học sinh về xác suất có điều kiện, một số quan niệm sai lầm và đã được phát hiện Sau đây là ba vấn đề liên quan đến xác suất có điều kiện

mà tác giả tin rằng học sinh và giáo viên dạy môn xác suất phải xem xét

- Làm rõ mối quan hệ nhân quả: Học sinh dễ dàng nhận biết sự ảnh hưởng của

sự kiện xảy ra trước đối với sự kiện sau Tuy nhiên họ lại có xu hướng bỏ qua không xem xét, đánh giá sự tác động của kết quả sự kiện sau lên sự kiện xảy ra trước đó Nguyên nhân là do sự phổ biến của lược đồ nhân quả trong nhận thức của chúng ta

về thế giới, dữ liệu nhân quả có tác động lớn hơn đến suy luận xác suất của chúng ta

so với các dữ liệu khác

- Định nghĩa về các biến cố điều kiện thường có vấn đề: xác suất của sự kiện mục tiêu nên được điều kiện hóa dựa trên sự kiện ngay lập tức được đưa ra dưới dạng

dữ liệu trong bài toán chứ không phải trên một số sự kiện được suy ra

- Nhầm lẫn về sự nghịch đảo: Thiếu sự phân biệt giữa P A B và  |  P B A ,  | 

sự nhầm lẫn được công nhận từ lâu này là phổ biến trong sinh viên và các chuyên gia

ở mọi cấp độ Nó thường xảy ra trong bối cảnh y tế khi giải thích kết quả xét nghiệm (Eddy, 1982), khi xác suất bệnh cho kết quả xét nghiệm dương tính được đánh đồng với kết quả dương tính với căn bệnh

1.3 Xác định lại vấn đề đề nghiên cứu

Với sứ mệnh đào tạo giáo viên cho các tỉnh phía Nam cũng như cả nước thì tại

ĐH Sư phạm TP HCM đã chuẩn bị gì để sinh viên sư phạm dạy về chủ đề xác suất

có điều kiện trong chương trình giáo dục phổ thông 2018

1.4 Lợi ích và tính cần thiết thực hiện đề tài

Với những nghiên cứu trong phạm vi luận văn này chúng tôi hi vọng có thể phần nào giúp ích cho sinh viên tại khoa Toán trường ĐH Sư Phạm TP HCM:

+ Có cơ hội tiếp xúc với một bài toán xác suất có điều kiện xuất phát từ tình huống thực tế trong đời sống Qua đó, thấy được vai trò thiết thực của xác suất có điều kiện trong đời sống hằng ngày chứ không chỉ dừng lại ở các bài toán thuần túy + Thông qua các lời giải, cách ứng xử đối với bài toán được đặt ra, có thể phát hiện ra những sai lầm (nếu có) của bản thân cũng như của các sinh viên khác

+ Thấy được vai trò của định nghĩa xác suất theo cách tiếp cận tần suất thống

kê trong việc đưa ra những dự đoán ban đầu về xác suất của một sự kiện nào đó + Có được những phương pháp, những ứng xử phù hợp khi giảng dạy cho học sinh về chủ đề này

2 Khung lí thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm câu trả lời cho các vấn đề đặt ra như trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lí thuyết Didactic toán và dựa theo nghiên cứu của Deborah Loewenberg Ball và các cộng sự (2008), cụ thể là:

2.1 Lý thuyết nhân học

 Quan hệ thể chế - Quan hệ cá nhân

Quan hệ thể chế R I O của thể chế  ,  I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn

tại ra sao, có vai trò gì, trong I

Quan hệ cá nhân R X O của cá nhân  ,  X với tri thức O là tập hợp các tác động

qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về

O , có thể thao tác O ra sao?

 Tổ chức toán học

Mỗi tổ chức tri thức được hình thành một kiểu nhiệm vụ T T được giải quyết bởi một kĩ thuật  Kĩ thuật  được giải thích hoặc được tạo ra bởi công nghệ  và công nghệ  lại được hợp thức hóa bởi lí thuyết  Một bộ gồm bốn thành phần

T, , ,   được gọi là một tổ chức toán học (Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.112) Phân tích các kiểu nhiệm vụ và các tổ chức toán học liên quan đến đến xác suất

có điều kiện giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức là xác suất có điều kiện

 Tổ chức dạy học

Tổ chức tri thức T, , ,   trong đó kiểu nhiệm vụ T cấu thành nên nó là “dạy học”, là “nghiên cứu”, được gọi là một tổ chức dạy học

2.2 Các quan niệm về sai lầm, khó khăn

Trong hoạt động của giáo viên cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi những chủ thể này (Guy Brousseau, 1983, tr.7)

Chúng tôi nghiên cứu tri thức xác suất có điều kiện để chi ra những sai lầm có thể mắc phải ở người học xuất phát từ nghĩa của tri thức xác suất có điều kiện

2.3 Lí thuyết tình huống

“Nguyên tắc phương pháp luận cơ bản của lí thuyết tình huống là làm tương ứng với mỗi tri thức xác định một lớp tối tiểu các tình huống cho phép tri thức này xuất hiện như là phương tiện tối ưu để giải quyết các tình huống này” (G Brousseau, 1995)

 Phân tích tiên nghiệm là sự mô hình hoá tình huống cụ thể đang được

nghiên cứu bởi một tình huống bằng cách:

- Tìm ra những kiến thức chỉ đạo việc thực hiện các chiến lược khác nhau

mà người ta có thể dự kiến đuợc; đánh giá lợi ích cũng như tốn kém của từng chiến lược đó

- Xác định được chiến lược tối ưu và kiến thức tương ứng với chiến lược ấy

- Xác định những biến didactic của tình huống do nhà nghiên cứu xây dựng

và cho phép kiểm nghiệm vai trò của biến này hay biến kia đối với việc học của học sinh

 Phân tích hậu nghiệm là xem xét mối quan hệ giữa những dữ kiện thu

được trong diễn biến của một tình huống riêng biệt với phân tích tiên nghiệm Phân tích hậu nghiệm cho phép ta xử lý, giải thích những cái được quan sát và trình bày các kết quả

2.4 Kiến thức toán học cần dùng trong giảng dạy và cấu trúc của nó

Theo nghiên cứu của Deborah Loewenberg Ball và các cộng sự (2008), các kiến thức toán học cần thiết trong giảng dạy bao gồm 02 khối kiến thức lớn là “kiến thức chủ đề” (Subject matter knowledge) và “kiến thức sư phạm” (Pedagogical content knowledge) Hai khối kiến thức lớn được chia thành các khối kiến thức nhỏ, bao gồm:

Khối 1: Kiến thức toán cơ sở (Common content knowledge) là kiến thức và kỹ

năng toán học mà bất cứ người học toán nào cũng cần phải biết, không chỉ riêng giáo viên và nó không chỉ xuất hiện trong môi trường dạy học Một chủ đề để giảng dạy đòi hỏi ở giáo viên cần phải biết nhiều hơn về các khái niệm, tính chất, … của đối tượng Vì thế giáo viên cần hiểu được tài liệu (sách giáo khoa) mà họ giảng dạy; phải nhận ra khi học sinh trả lời sai hoặc khi sách giáo khoa đưa ra câu trả lời không chính xác Tóm lại, họ phải có khả năng ít nhất là làm công việc mà họ giao cho học sinh của mình Nhưng một số điều này đòi hỏi kiến thức và kỹ năng toán học mà những người khác cũng có do đó, nó không phải là đặc biệt đối với công việc giảng dạy Tuy nhiên những kiến thức này là cần thiết bởi khi một giáo viên dùng sai các thuật ngữ, mắc lỗi tính toán hoặc gặp khó khăn khi giải một bài toán trên bảng … thì việc giảng

dạy sẽ bị ảnh hưởng

Khối 2: Kiến thức chuyên ngành (Specialized content knowledge) là kiến thức

và kỹ năng toán học cần thiết để giảng dạy Đây là kiến thức toán học thường không cần thiết cho các mục đích khác ngoài việc giảng dạy Các nhiệm vụ chính cần đến

loại kiến thức này bao gồm:

- Trình bày ý tưởng toán học

- Trả lời câu hỏi “tại sao” của học sinh

- Tìm một ví dụ để minh họa cho một nội dung kiến thức toán học cụ thể

- Kết nối nội dung kiến thức đang được giảng dạy với những năm trước và trong các năm học sau

- Thẩm định và điều chỉnh nội dung toán học của sách giáo khoa

- Sửa đổi nhiệm vụ trở nên dễ dàng hơn hoặc khó hơn

- Đánh giá tính hợp lý của các câu trả lời của học sinh (thường nhanh chóng)

- Đưa ra hoặc đánh giá các giải thích toán học

sự quen thuộc với học sinh và tư duy toán học của họ

Nhận ra một câu trả lời sai là kiến thức nội dung chung, trong khi xác định bản chất của một sai lầm, đặc biệt là sai lầm không quen thuộc, thường đòi hỏi sự nhanh nhẹn trong suy nghĩ về toán học, chú ý đến các mô hình và suy nghĩ linh hoạt về nghĩa theo nhiều cách khác nhau là đặc trưng của kiến thức nội dung chuyên ngành Ngược lại, việc làm quen với các lỗi phổ biến và quyết định lỗi nào trong số các lỗi

mà học sinh dễ mắc phải nhất là nhiệm vụ của kiến thức về việc học của học sinh

Khối 4: Kiến thức sư phạm toán (Knowledge of content and teaching) là sự

kết hợp giữa hiểu biết về giảng dạy và hiểu biết về toán học Nhiều nhiệm vụ toán học trong giảng dạy đòi hỏi kiến thức toán học để có thể thiết kế hướng dẫn cho học sinh Chọn ví dụ nào để bắt đầu và sử dụng ví dụ nào để đi sâu hơn vào nội dung Giáo viên đánh giá ưu điểm và nhược điểm của hình thức biểu diễn được sử dụng để giảng dạy và xác định những phương pháp và quy trình có thể đưa ra để giảng dạy Mỗi nhiệm vụ này đòi hỏi sự tương tác giữa hiểu biết toán học cụ thể và hiểu biết về các vấn đề sư phạm ảnh hưởng đến việc học tập của học sinh

Trong khi thảo luận trên lớp, giáo viên phải quyết định khi nào nên tạm dừng

để làm rõ hơn, khi nào sử dụng nhận xét của học sinh để đưa ra quan điểm toán học

và khi nào đặt câu hỏi mới hoặc đặt ra nhiệm vụ mới cho việc học tập của học sinh

Khối 5: Kiến thức về toán học theo chiều ngang (Horizon content knowledge)

là nhận thức về cách các chủ đề toán học có liên quan trong phạm vi toán học được đưa vào chương trình học

Khối 6: Phát triển chương trình giáo dục (Knowledge of content and curriculum) “được thể hiện qua tất cả lĩnh vực của thiết kế chương trình giảng dạy

các môn học và chủ đề cụ thể ở một cấp độ nhất định, các loại tài liệu giảng dạy có sẵn liên quan đến chương trình và tập hợp các đặc điểm phục vụ như những chỉ định

và chống chỉ định cho việc sử dụng các giáo trình hoặc tài liệu trong những trường hợp cụ thể ” Hai khía cạnh khác của kiến thức chương trình học quan trọng đối với việc giảng dạy, gọi là kiến thức chương trình ngang và kiến thức chương trình dọc Kiến thức ngang liên quan đến kiến thức về chương trình giảng dạy được giảng dạy trong các môn học khác Kiến thức theo chiều dọc bao gồm sự liên kết giữa các chủ đề/vấn đề đã và sẽ được giảng dạy trong cùng một lĩnh vực trong những năm trước

và sau này ở trường

Sơ đồ 1.1 Khối kiến thức toán học giảng dạy cần có ở một giáo viên

Deborah Loewenberg Ball chỉ ra rằng toán học mà giáo viên làm việc trong môi trường giảng dạy không giống như toán học mà họ được dạy và học ở bậc đại học Giáo viên cần phải biết toán học theo những cách hữu ích, nhận ra ý nghĩa toán học trong bài làm của học sinh và lựa chọn những cách thể hiện chủ đề giúp học sinh

dễ hiểu

Ý thức rõ ràng hơn về các loại nội dung kiến thức để giảng dạy có thể cung cấp thông tin cho việc thiết kế các tài liệu hỗ trợ cho giáo viên cũng như giáo dục giáo

viên và phát triển nghề nghiệp Thật vậy, nó có thể làm rõ một chương trình giảng dạy cho việc chuẩn bị nội dung của giáo viên dựa trên cơ sở chuyên nghiệp – vừa đặc biệt, vừa cơ bản và gắn liền với thực hành nghề nghiệp cũng như kiến thức và kỹ năng mà công việc yêu cầu

3 Mục đích nghiên cứu

Xác định những sai lầm nào có thể xuất hiện ở người học xuất phát từ nghĩa của tri thức xác suất có điều kiện Xem xét sinh viên trường ĐH Sư Phạm TP HCM được trang bị kiến thức về xác suất có điều kiện như thế nào; họ có ứng xử như thế nào khi đối diện với những sai lầm trong bài toán về xác suất có điều kiện và họ sẽ giảng dạy như thế nào cho học sinh

4 Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi xác định lại các câu hỏi nghiên cứu và việc tìm kiếm câu trả lời chúng chính là trọng tâm của luận văn này:

Câu hỏi 1: Gắn với các cách tiếp cận khái niệm xác suất có điều kiện có những

sai lầm nào?

Câu hỏi 2: Dựa vào sơ đồ Ball (2008) về những kiến thức cần có ở một giáo

viên, xem xét xem sinh viên trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã chuẩn bị kiến thức như thế nào để giảng dạy xác suất có điều kiện:

a) Về kiến thức chủ đề?

b) Về kiến thức sư phạm?

Và với những kiến thức được trang bị, sinh viên sẽ có ứng xử như thế nào trước những sai lầm

Câu hỏi 3: 1 Một tình huống đào tạo sinh viên về dạy học xác suất có điều kiện

cần tính đến các yếu tố nào để sinh viên khắc phục được sai lầm?

5 Phương pháp nghiên cứu – cấu trúc luận văn

5.1 Phương pháp nghiên cứu

5.1.1 Các phương pháp nghiên cứu lí thuyết

1 Xuất hiện sau khi trả lời câu hỏi 2 ở chương 2, 3

- Phương pháp phân tích, tổng hợp một số công trình nghiên cứu, tài liệu đã có để trả lời câu hỏi 1

5.1.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phân tích chương trình học của sinh viên khoa toán ĐH Sư Phạm hiện nay, cụ thể là phân tích kiểu nhiệm vụ, kĩ thuật được lựa chọn để giải các bài toán xác suất

có điều kiện để trả lời cho câu hỏi 2a

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm khoa học : Xây dựng tình huống Didactic

để tạo cơ hội cho sinh viên đối diện với các sai lầm nhằm xem xét cách ứng xử của

họ trước những sai lầm đó để trả lời cho câu hỏi 2b, câu hỏi 3

- Thực nghiệm trên sinh viên ĐH Sư Phạm TP HCM

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 04 chương:

Chương 1: Tổng quan về xác suất có điều kiện

 Tìm hiểu về định nghĩa của khái niệm xác suất có điều kiện

 Các quan điểm khác nhau để tiếp cận về xác suất có điều kiện

 Các sai lầm có thể xuất hiện từ việc hình thành nghĩa của tri thức có điều kiện

Chương 2: Nghiên cứu quan hệ thể chế

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối tượng xác suất có điều kiện trong chương trình học phần Xác suất thống kê và học phần Phương pháp giảng dạy Đại số và Giải tích (PPDH ĐS & GT) của sinh viên ĐH Sư Phạm TP HCM

 Phân tích giáo trình học phần Xác suất thống kê của sinh viên khoá 43 khoa Toán ĐH Sư Phạm TP HCM Phân tích các tổ chức toán học được hình thành

 Phân tích chương trình học học phần PPDH ĐS & GT của sinh viên khoá

43 khoa Toán ĐH Sư Phạm TP HCM Phân tích nội dung bài học và các kiểu nhiệm vụ dạy học được đưa ra

Chương 3: Thực nghiệm thứ nhất

 Đưa ra một bài toán cho sinh viên

 Xem xét, phân tích những nhận định, ứng xử của sinh viên về tình huống

Chương 4: Thực nghiệm thứ hai

Chúng tôi làm việc với các sinh viên đã tham gia vào thực nghiệm lần thứ nhất và đưa ra một số yêu cầu sau nhằm đi đến mục đích cuối cùng là giúp cho sinh viên hiểu về bài toán một cách rõ ràng và có thể giảng dạy được khi gặp bài toán này Các yêu cầu mà chúng tôi yêu cầu sinh viên thực hiện bao gồm:

 Xem xét các lời giải tiêu biểu

 Sử dụng phần mềm giải lập tạo sự nghi ngờ về tính đúng đắn của các lời giải được đưa ra cũng như dự đoán ban đầu về kết quả của bài toán

 Tìm kiếm nguyên nhân sai lầm trong các lời giải

 Đi tìm một lời giải chính xác cho bài toán

 Thiết kế bài dạy

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 1.1 Xác suất

Xác suất được biết đến như là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một sự kiện nào đó

Trong lịch sử, ý niệm về xác suất được hình thành ban đầu dựa trên các trò chơi ngẫu nhiên từ thời cổ đại Tuy nhiên, để các ý niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì phải mất một thời gian khá dài Đến thế kỉ XVII, hai nhà toán học Piere De Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất Christiaan Huygens (1657) được biết đến như là người đầu tiên

có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học

Lí thuyết xác suất gắn liền với các hiện tượng ngẫu nhiên (là hiện tượng dù được thực hiện trong cùng một điều kiện chúng vẫn có thể cho các kết quả khác nhau), đó

là các phép thử ngẫu nhiên và các kết quả có thể xảy ra đó là các biến cố

Tùy theo cách phân loại các phép thử, có nhiều cách tiếp cận định nghĩa xác suất khác nhau:

1.1.1 Định nghĩa theo cách tiếp cận cổ điển

 Các thuật ngữ

- Biến cố A và B được gọi là đồng nhất nếu với mỗi kết quả có thể của phép

thử chúng cùng xảy ra hoặc không cùng xảy ra, kí hiệu là AB

- Nếu biến cố C “xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A và B” thì ta nói biến

cố C là hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là C A B

- Biến cố A được gọi là phức hợp nếu nó được biểu diễn dưới dạng hợp của hai

biến cố không đồng nhất với nó

- Nếu biến cố A không phải là phức hợp thì nó được gọi là biến cố sơ cấp Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử gọi là không gian các biến cố sơ cấp hay không gian mẫu của phép thử đó và được kí hiệu là 

 Định nghĩa

Năm 1814, Laplace đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất của một biến cố là

“tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi với số trường hợp có thể xảy ra”:

Nếu A là một biến cố có n A biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không  gian biến cố sơ cấp gồm n  biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số

  n A   

P A

n



 được gọi là xác suất của A

Điều kiện áp dụng định nghĩa:

 n   

 Các biến cố sơ cấp phải có cùng khả năng xuất hiện

Cách định nghĩa của Laplace còn được gọi là cách định nghĩa xác suất cổ điển

và được sử dụng phổ biến đến ngày nay

1.1.2 Định nghĩa theo tần suất thống kê

Để tính xác suất của một biến cố trong trường hợp các biến cố sơ cấp không đồng khả năng xuất hiện, khi đó điều kiện để áp dụng định nghĩa cổ điển của Laplace không thỏa mãn, Bernoulli đã căn cứ vào tính ổn định của thống kê và đưa ra đề nghị ước lượng tần suất cho khái niệm xác suất như sau:

Khi thực hiện một phép thử n lần, trong đó biến cố A xảy ra m lần Khi đó: m

được gọi là tần số xuất hiện của biến cố A và f m

n

 gọi là tần xuất của biến cố A Định nghĩa xác suất theo định luật số lớn là giới hạn của tần số sự kiện khi số lần thử lên tới vô hạn n , tần xuất f đạt giá trị ổn định và giá trị đó được xem

là xác suất của biến cố A là   lim

Trên thực tế ta không đủ thời gian và điều kiện để thực hiện vô hạn số lần phép

thử và khi số lần thực hiện phép thử n đủ lớn thì tần số f n A sẽ tiến tới một giá trị

gần như không biến thiên nhiều nên người ta chọn giá trị xấp xỉ đó là xác suất: P A  f n A  với  là một số dương rất bé

Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê như trên được gọi là xác suất khách quan vì giá trị của nó chỉ được biết sau khi thực nghiệm và không phụ thuộc

vào nhà nghiên cứu Đặc biệt, định nghĩa này có thể thực hiện cho mọi loại phép thử

khác nhau

Theo cách định nghĩa theo quan điểm thống kê này, xác suất của một biến

cố chính là tần suất tương đối của biến cố đó khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử

1.1.3 Định nghĩa theo quan điểm hình học

Định nghĩa cổ điển về xác suất có hai hạn chế, thứ nhất là số kết quả của phép thử là hữu hạn, thứ hai các kết quả của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện Định nghĩa theo tần suất thống kê đã khắc phục được hạn chế thứ hai Để khắc phục hạn chế thứ nhất là số phần tử của không gian mẫu là vô hạn n    và đồng thời vẫn giả thiết các kết quả đồng khả năng, người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo hình học như sau:

Giả sử một điểm được rơi ngẫu nhiên vào một miền D, A là một miền con của

D Khi đó xác suất để điểm rơi ngẫu nhiên vào miền A được xác định bởi công thức:

  Sđ A   

P A

Sđ D

 , với Sđ A , Sđ D lần lượt là số đo miền   A D,

1.1.4 Định nghĩa theo hệ tiên đề

Cuối thế kỉ XIX, đầu thế kỉ XX, với sự phát triển của công cụ giải tích, lí thuyết

về độ đo và tích phân tạo ra xu hướng xây dựng lí thuyết xác suất dựa trên hệ tiên đề Năm 1933, nhà toán học người Nga - Andrei Kolmogorov đã phác thảo ra hệ tiên đề làm nền tảng cho lí thuyết xác suất hiện đại, đó được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov: i) Có tập    gọi là không gian biến cố sơ cấp Mỗi  được gọi là một biến cố sơ cấp

ii) Có một - đại số A các tập con của  Mỗi A A được gọi là một biến

cố ngẫu nhiên

iii) Với mỗi A A có một số thực P A 0 gọi là xác suất của A

iv) P  1

v) Nếu A i i, 1 là họ vô hạn các biến cố ngẫu nhiên từng đôi xung khắc thì:

Bộ ba (, A , P) được gọi là không gian xác suất

1.2 Xác suất có điều kiện

1.2.1 Định nghĩa của xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là một đại lượng biểu thị khả năng xuất hiện của một biến cố A khi đã có một biến cố B đã xuất hiện với xác suất nào đó

1.2.2 Định nghĩa theo cách tiếp cận cổ điển

Xét không gian xác suất (, A , P)

Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có P B 0, A A

1.2.3 Định nghĩa theo cách tiếp cận hệ tiên đề

Xét một tập hợp (khác rỗng) , được gọi là không gian mẫu của sự kiện Gọi

 là một bộ phận (hoặc - đại số) trên , nghĩa là  ,  ổn định bằng cách bổ sung và kết hợp hữu hạn hoặc đếm được các yếu tố của  Gọi  là họ các phần tử khác rỗng của  sao cho  

Hệ tiên đề Renyi:

Giả sử hàm hai biến P A B được xác định bởi: với  |  A và B,

 | 

P A B được gọi là xác suất có điều kiện của sự kiện A liên quan đến điều kiện B

thỏa mãn các điều sau:

i) P A B | 0 và P B B | 1 (A và B)

ii) Với mọi B , p A B là một hàm của |  A, là một độ đo trên i)

Khi đó, bộ tứ (, , , P  |B ) được gọi là không gian xác suất có điều kiện

Hệ tiên đề Kolmogorov (theo A Renyi):

Nếu P* A là một hàm xác định trên  và P*  1 (tức là (, , P ) là *không gian xác suất Kolmogorov, hơn nữa nếu * biểu thị họ B sao cho

 

P B  thì bộ tứ (, , *, P* | B ) là một không gian xác suất có điều kiện,

trong đó P* | B được định nghĩa bởi: * |  *   

(, , *, P* | B ) là không gian xác suất có điều kiện gây ra bởi không

gian xác suất Kolmogorov (, ,P ) *

1.2.4 Cách tính xác suất có điều kiện

Định lý Bayes được đặt theo tên của Thomas Bayes (1701-1761) là nhà thống

kê học, nhà triết học người Anh Bayes cũng là người đứng đấu các tín đồ giáo hội trưởng lão Ông là người đặt nền móng cho thống kê Bayes Định lý Bayes, phát

minh quan trọng nhất của ông, đặc biệt hữu dụng trong dự đoán thống kê

Định lý Bayes là một công thức toán học đơn giản được sử dụng để tính xác suất có điều kiện Định lý Bayes cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu

nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra P A B  | 

Theo định lý Bayes, xác suất xảy ra A khi biết B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố:

 Xác suất xảy ra A của riêng nó, không quan tâm đến B Ký hiệu là P A và  đọc là xác suất của A Đây được gọi là xác suất tiên nghiệm, nó là "tiên nghiệm" theo nghĩa rằng nó không quan tâm đến bất kỳ thông tin nào về B

 Xác suất xảy ra B của riêng nó, không quan tâm đến A Ký hiệu là P B và  đọc là xác suất của B Đại lượng này còn gọi là hằng số chuẩn

hóa (normalising constant) vì nó luôn giống nhau, không phụ thuộc vào sự kiện A đang muốn biết

 Xác suất xảy ra B khi biết A xảy ra Ký hiệu là P B A và đọc là "xác suất  | của B nếu có A " Đại lượng này gọi là khả năng xảy ra B khi biết A đã xảy

ra Chú ý không nhầm lẫn giữa khả năng xảy ra B khi biết A và xác suất xảy

1.3 Các cách tiếp cận khái niệm xác suất có điều kiện

Đối với xác suất có điều kiện thì vấn đề cần quan tâm nghiên cứu đầu tiên chính

là tính độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau của hai biến cố Chính việc xác định hai biến

cố là độc lập hay phụ thuộc sẽ cho phép xác định xác suất đó là xác suất có điều kiện hay là một xác suất không điều kiện Manfred Borovcnik (2012) cho rằng để xem xét tính độc lập của hai biến cố thì có hai quan điểm khác nhau gồm quan điểm chủ quan

và quan điểm khách quan

a) Quan điểm khách quan

Trong lịch sử, xác suất liên quan chặt chẽ đến khả năng xuất hiện: người ta tìm thấy càng nhiều nguyên nhân làm cho sự kiện đó xảy ra hơn so với nguyên nhân làm cho sự kiện đó không xảy ra thì sự kiện đó có “khả năng xuất hiện” càng cao Bước

ngoặt lịch sử trong việc hình thành khái niệm xác suất là khi Jacob Bernoulli xác định

“xác suất được biểu thị bằng một số từ 0 đến 1, được gắn với một đối tượng (sự kiện)”

Theo chủ nghĩa khách quan thì xác suất của một biến cố (sự kiện) tách biệt và nằm ngoài suy nghĩ, dự đoán của con người bởi vì nó là thuộc tính vốn có của sự kiện

đó Những suy nghĩ, dự đoán dựa vào các số liệu thu thập được từ các phép thử trước

sẽ không có tính chính xác Từ đó, họ cho rằng xác suất không chỉ dừng lại ở các trò chơi may rủi với các tình huống đồng khả năng xuất hiện vì mỗi khi thực hiện đều cần phải xem xét đến các yếu tố khác nhau trong khi thực hiện vì những yếu tố tưởng chừng như không ảnh hưởng gì đến phép thử cũng có thể làm thay đổi khả năng xuất hiện của một biến cố nào đó so với những lần thực hiện trước Để giảm thiểu sự ảnh hưởng của những tác động môi trường lên việc nghiên cứu xác suất thì người ta xem xác suất của một sự kiện như là một thuộc tính vốn có của sự kiện đó và đã được mặc định sẵn trong điều kiện của thí nghiệm

Người ta xác định tính độc lập hay phụ thuộc của hai biến cố bất kì bằng cách thông qua xác suất có điều kiện như sau:

Đối với sự kiện E có xác suất dương, xác suất của bất cứ sự kiện A nào trong không gian mẫu đều được xác định theo E bởi công thức:

Tính độc lập là tiền đề của luật số lớn hoặc định lý giới hạn trung tâm (sự hội tụ của các tổng chuẩn của các biến ngẫu nhiên đối với phân phối chuẩn) Điều này giúp con người thoát khỏi cái bẫy của trực giác, vốn rất phong phú trong xác suất Đặc biệt

là khi xem xét về các tình huống thực tế liên quan đến xác suất thì tính độc lập chỉ đơn giản là được giải thích bởi sự thiếu ảnh hưởng nhân quả

b) Quan điểm chủ quan

Theo quan điểm chủ quan thì xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ tin cậy của một biến cố (khả năng xảy ra biến cố) Việc xác định mức độ tin cậy này dựa trên nhiều vấn đề khác nhau như:

i) Tần số tương đối của các thí nghiệm tương tự trong quá khứ, là đầu vào duy nhất được chấp nhận theo quan điểm chủ quan

ii) Kiến thức chuyên môn, hiểu biết của con người

iii) Kỳ vọng cá nhân

Sự khác biệt của quan điểm chủ quan với quan điểm khách quan nằm ở cơ sở xác suất vì ngoài tần số tương đối, các thành phần khác đóng cũng đóng vai trò trong việc phán đoán các sự kiện

Những người theo quan điểm khách quan bác bỏ quan điểm khách quan vì theo

họ không thể xác định giá trị của xác suất dựa vào các kết quả của các thí nghiệm ngẫu nhiên đã thực hiện nhiều lần Điều đó vi phạm quan điểm của chủ nghĩa kinh nghiệm về khoa học Đứng trước sự phản bác đó, những người theo quan điểm chủ qua đã đưa ra các luận điểm sau:

i) Với đủ dữ liệu thực nghiệm, những người theo quan điểm chủ quan cũng đi đến kết quả giống như với quan điểm khách quan

ii) Lý thuyết của de Finetti có cùng địa vị khoa học với lý thuyết Kolmogorov

vì nó được chứng minh bằng cùng một phương pháp và nó cũng không có mâu thuẫn iii) Bất kỳ nhận định nào khi nhận thêm thông tin cũng đều có thể được cải thiện, thay đổi và do đó xác suất cũng vậy

Bất cứ xác suất nào cũng được xem như là xác suất có điều kiện và sẽ được cập

nhật thêm các dữ kiện mới khi cần thiết và được thực hiện thông qua công thức Bayes Việc đánh giá các xác suất có thể bị ảnh hưởng sự chủ quan, do đó việc tích hợp thêm thông tin mới để hình thành một xác suất mới sẽ trở nên rất quan trọng Việc cập nhật này được đảm bảo bởi công thức Bayes – đóng vai trò trung tâm: điều kiện (thông tin mới), xác suất chung và điều kiện có điều kiện được kết nối với nhau Vì vậy, trong quan điểm chủ quan thì công thức Bayes đóng một vai trò quan trọng

Tỷ lệ - trọng số tương đối thay vì xác suất Trước Bernoulli, người ta thường

so sánh tỉ lệ giữa các trường hợp xảy ra và các trường hợp không xảy ra của một sự kiện: đối với một người chết với một người bình thường cho ta tỉ lệ 1: 5 Với định lý

về sự hội tụ của các tần số khác nhau về tần số tương đối thì tần số tương đối đã được nâng cấp và trở nên phổ biến để biểu thị xác suất bằng một số từ 0 đến 1; việc thể hiện xác suất của một sự kiện trên thang đo chuẩn hóa này được coi là phát triển về

mặt khái niệm

Để tính tỉ lệ giữa hai biến cố H và 1 H (với 2 H là biến cố đối của 2 H ) sau khi 1

có thêm điều kiện được tính bằng tích tỉ số giữa H và 1 H ban đầu khi chưa có điều 2

kiện và tỉ số giữa khả năng xảy ra của E trong H và 1 H : 2

hộ quan niệm khách quan nhằm tránh bất kỳ ý nghĩa chủ quan nào của xác suất (Stegmüller, 1973, hoặc Hacking, 1975; 1990) Trong các ứng dụng, các nhà thống

kê ngày nay sử dụng bất cứ điều gì tốt hơn cho vấn đề của họ và ở một mức độ nhất định, bất kỳ ứng dụng nào cũng có các tính năng chủ quan

1.4 Các sai lầm thường gặp

Lý luận xác suất có điều kiện cũng là một phần quan trọng của kiến thức thống

kê bên cạnh việc có liên quan cao trong giáo dục, tâm lý học, y học và các lĩnh vực chuyên môn khác Lý luận dựa trên xác suất có điều kiện xuất hiện trong các lĩnh vực này trong đánh giá, đưa ra quyết định, chẩn đoán và suy luận từ mẫu số liệu thu thập được đến toàn bộ các giá trị

Tuy nhiên, Borovcnik và Peard (1996) nhận xét rằng các kết quả trái ngược về xác suất được tìm thấy ngay cả ở mức độ rất sơ cấp, trong khi ở các nhánh khác chỉ gặp phải khi làm việc ở mức độ trừu tượng cao Các tác giả này cũng cho rằng lý luận xác suất khác với lý luận logic bởi vì trong lý luận logic, một mệnh đề luôn luôn đúng hoặc sai tuy nhiên trong một sự kiện ngẫu nhiên thì chúng ta không thể có được một kết quả chính xác tuyệt đối như đối với mệnh đề

Những sai lầm thường gặp phải khi nghiên cứu về xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện xác suất P A B thường bị nhầm lẫn với xác suất  |  P B A và  | thậm chí với xác suất không điều kiện P A hoặc xác suất chung   P A B

Theo tác giả Carmen Díaz & Carmen Batanero trình bày trong tài liệu Teaching independence and conditonal probability: Xác suất có điều kiện và tính độc lập đã

được Heitele (1975) đưa vào danh sách các ý tưởng ngẫu nhiên cơ bản giúp cho lý thuyết xác suất phát triển trong suốt lịch sử Sự liên quan của chúng do thực tế là xác suất có điều kiện cho phép chúng ta thay đổi mức độ tin tưởng vào các sự kiện ngẫu nhiên khi có thông tin mới Vì ngay cả các xác suất vô điều kiện được quy định bởi không gian mẫu trong đó các sự kiện được xác định và về mặt lý thuyết luôn có một

số thông tin mặc định trong thí nghiệm, tất cả các xác suất nên được coi là có điều kiện xác suất (Lindley, 1993) Heitele giữ quan điểm rằng những khái niệm cơ bản này có thể được nghiên cứu ở nhiều mức độ chính thức hóa khác nhau, được biểu hiện ở các cấp độ nhận thức và ngôn ngữ phức tạp Heitele cũng chỉ ra một thực tế là những ý tưởng cơ bản này đôi khi đi kèm với những quan niệm sai lầm Những sai lầm như vậy kéo dài qua các thế kỷ, thời đại và các tầng văn hóa, và có thể là tiêu chí của những gì thực sự cơ bản (Heitele, 1975)

Có thể thấy các định nghĩa về xác suất và tính độc lập có điều kiện khá đơn giản, tuy nhiên lại không dễ dàng để hiểu và ứng dụng nó một cách chính xác trong mọi tình huống Do đó, nhiều người, kể cả những người được đào tạo thống kê, đưa ra những đánh giá không chính xác về sự độc lập và xác suất có điều kiện liên quan đến một số tình huống thực tế cụ thể Bao gồm những sai lầm sau:

a) Hiểu sai về điều kiện và kết quả

Nhân quả là một khái niệm khoa học rất phức tạp, mặc dù nó được con người cảm nhận bằng trực giác, bởi vì hầu hết kiến thức của chúng ta về thế giới chúng ta đang sống được xây dựng bằng cách tính đến các nguyên nhân và các vấn đề Khái niệm nhân quả phát triển sau thời kỳ tư tưởng chính thức (Inhelder & Piaget, 1955), mặc dù nhận thức của chúng ta về quan hệ nhân quả đôi khi bị sai lệch và những lần khác nhân quả và điều kiện bị nhầm lẫn (Pozo, 1987)

Người ta biết rằng nếu một sự kiện B là nguyên nhân của sự kiện A khác thì bất cứ khi nào xảy ra sự kiện B thì cũng xảy ra sự kiện A và do đó P A B | 1 Nhưng ngược lại nếu P A B | 1 thì không ngụ ý rằng B là một nguyên nhân tạo nên A, mặc dù sự tồn tại của một mối quan hệ có điều kiện cho thấy có sự xuất hiện của mối quan hệ nhân quả Ví dụ, tỷ lệ sinh thấp hơn ở những quốc gia nơi tuổi thọ của dân số cao hơn Điều này không ngụ ý rằng việc tăng tỷ lệ sinh dẫn đến giảm tuổi thọ, nhưng có những yếu tố khác (như tỷ lệ phụ nữ làm việc ở các nước phát triển cao hơn) đang góp phần tăng tuổi thọ và giảm tỷ lệ sinh

Từ quan điểm tâm lý học, người đánh giá xác suất có điều kiện P A B có thể  | nhận thấy loại mối quan hệ khác nhau giữa A và B tùy thuộc vào bối cảnh Nếu B

được coi là nguyên nhân củaA, thì P A B được xem là mối quan hệ nhân quả, nếu  | 

A được coi là nguyên nhân có thể có của B, thì P A B được xem như mối quan  | 

hệ dự đoán (Tversky & Kahneman, 1982) Sự khác biệt này là không quan trọng trong tính toán hoặc trong đánh giá tính độc lập của các sự kiện Tuy nhiên, dữ liệu nhân quả có tác động lớn hơn trong nhận thức và suy luận

b) Sai lầm về trục thời gian

Sai lầm về trục thời gian là một quan niệm sai lầm phổ biến cũng liên quan đến khái niệm nguyên nhân và kết quả Hầu hết mọi người đều hiểu rằng kết quả của một

sự kiện nào đó có thể làm ảnh hưởng đến kết quả của một sự kiện sau đó, nhưng lại cho rằng kết quả của sự kiện sau không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện đã xảy

ra trước đó Họ cho rằng thông tin về kết quả của sự kiện xảy ra sau không liên quan đến việc xác định xác suất của sự kiện đã xảy ra trước đó

Ví dụ: (Falk 1986) Có hai quả bóng màu đen và hai quả bóng màu trắng được đặt vào trong một thùng chứa Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ thùng đó, rồi lấy tiếp một quả bóng thứ hai bất kì mà không bỏ quả bóng lấy được đầu tiên vào thùng a) Nếu quả bóng thứ nhất là màu trắng, xác suất để quả bóng thứ hai cũng màu trắng là bao nhiêu?

b) Nếu quả bóng thứ hai là màu trắng, xác suất để quả bóng thứ nhất là màu trắng là bao nhiêu?

2 iv) Không tính được

Falk (1979, 1989) nhận thấy rằng khi đưa ra bài toán trên, sinh viên dễ dàng trả lời phần (a) nhưng bị nhầm lẫn ở phần (b) Các sinh viên thường lập luận rằng: Khi lấy quả bóng thứ nhất chúng ta chưa thu được quả thứ hai, kết quả của việc lấy quả bóng thứ hai hoàn toàn không liên quan trong việc xác định xác suất của lần lấy trước

Nên ở câu b) đáp án vẫn là 1

2 Đây là thật sự là một sai lầm, vì ngay cả khi không có mối quan hệ nhân quả giữa lần lấy thứ hai đến lần bốc thứ nhất, thì thông tin trong bài toán rằng quả bóng thứ hai có màu trắng, đã thay đổi không gian mẫu trong việc lấy quả bóng đầu tiên, chỉ còn một bóng trắng và hai quả bóng đen cho việc lấy quả

bóng đầu tiên nên lúc này xác suất thực sự chỉ còn là 1

3

Gras & Totohasina (1995) đã nhận xét rằng phần lớn các tình huống mà xác suất

có điều kiện can thiệp có thể được xem là đã làm giảm đi không gian mẫu so với ban đầu Tuy nhiên, việc giảm này không dễ nhận ra trong các tình huống theo thời gian khi một loạt các thí nghiệm hoặc thời gian can thiệp Liên quan đến loại vấn đề này, Gras và Totohasina (1995) xác định ba quan niệm sai lầm sinh viên về xác suất có điều kiện:

 Quan niệm về thời gian trong đó sinh viên giải thích xác suất có điều kiện P A B là mối quan hệ tạm thời; nghĩa là, sự kiện  |  B phải luôn luôn xảy ra trước sự kiện A

 Quan niệm nhân quả trong đó sinh viên giải thích xác suất có điều kiện

là P A B mối quan hệ nhân quả ngầm; nghĩa là, sự kiện  |  B là nguyên nhân và A là kết quả

 Quan niệm chủ yếu, sinh viên giải thích xác suất có điều kiện P A B  | 

Quan niệm này là chính xác trong trường hợp không

gian mẫu có thể xác định chính xác được Tuy nhiên, khi chúng ta đang

xử lý một không gian mẫu bị thay đổi liên tục và xác suất cho các sự kiện

cơ bản là không bằng nhau thì quan niệm này dẫn đến sai lầm

Gras và Totohasina cho rằng nguồn gốc của những quan niệm sai lầm về trục thời gian nằm ở vấn đề nhận thức Tất cả những quan niệm sai lầm này có thể che giấu đặc tính có thể đảo ngược của xác suất có điều kiện, điều cần thiết giúp sinh viên hiểu được định lý Bayes và suy luận thống kê

c) Sai lầm khi không gian mẫu bị thay đổi

Một sai lầm thường gặp khi giải quyết các bài toán về xác suất có điều kiện là khi tình huống được đưa là một chuỗi các thí nghiệm liên tiếp nhau Những bài toán như vậy không chỉ làm nảy sinh sai lầm về trục thời gian mà khi đó còn sinh ra sai lầm khi mà không gian mẫu bị thay đổi liên tục qua từng phần của thí nghiệm Xét ví dụ : Có hai viên bi đen và hai viên bi trắng được đặt trong một chiếc bình Chọn được một viên bi trắng từ chiếc bình Sau đó, không đặt lại viên bi trắng trong chiếc bình mà chọn ngẫu nhiên tiếp một viên bi thứ hai từ chiếc bình Tính xác suất viên bí thứ hai này cũng là màu trắng?

Để tính xác suất này, nếu dựa vào không gian mẫu ban đầu gồm 4 viên bi, đã lấy ra một viên bi trắng như vậy trong bình còn một viên bi trắng và xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi trắng sẽ là 1

4 Tuy nhiên, cách làm như vậy là không chính

xác vì khi lấy viên bi trắng đầu tiên ra khỏi bình thì trong bình chỉ còn lại ba viên bi (hai viên bi đen và một viên bi trắng) làm cho không gian mẫu lúc này giảm từ 4

xuống 3 Vì vậy, xác suất lấy được viên bi trắng trong lần chọn thứ hai là 1

3 Đây cũng là một xác suất có điều kiện

Để làm rõ hơn vấn đề này, ta có thể phân biệt các viên bi trong bình bằng ký hiệu W W B B1, 2, , 1 2 tương ứng là các viên bi trắng thứ nhất, thứ hai và các viên bi đen thứ Bằng ký hiệu, chúng ta có thể mô tả không gian mẫu ban đầu trong thí nghiệm trên là:  W W W B W B W W W B W B B B B W B W B B B W B W1 2, 1 1, 1 2, 2 1, 2 1, 2 2, 1 2, 1 1, 1 2, 2 1, 2 1, 2 2

và sau khi lấy được viên bi thứ nhất màu trắng thì không gian mẫu sẽ thay đổi thành:

 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1

' W B W B W W W B W B W W, , , , ,

lấy được viên bi thứ hai sẽ là 2

mô tả bởi Tarr và Jones (1997)

Hai quan niệm sai lầm cơ bản trong suy nghĩ của sinh viên trong vấn đề này là:

 Không nhận ra rằng không gian mẫu đã thay đổi trong tình huống không thay thế

 Tính xác suất của một sự kiện trong một tình huống bằng cách tính tỉ lệ

số lượng kết quả thuận lợi cho sự kiện trước và sau thực nghiệm thay vì với tổng số kết quả

d) Nhầm lẫn về xác suất có điều kiện với các loại xác suất khác

Xác suất P A B thường bị nhầm lẫn với xác suất  |  P B A và thậm chí với  | xác suất chung P A B Ví dụ, Pollatsek (1987), nhận thấy rằng 69% coi đáp án c) là câu trả lời đúng trong ví dụ sau:

Sự kiện nào sau đây có nhiều khả năng xảy ra hơn?

a) Con gái đó có mắt xanh nếu mẹ có mắt xanh

b) Người mẹ có đôi mắt màu xanh, nếu con gái có đôi mắt màu xanh

c) Hai sự kiện có thể xảy ra như nhau

Các tác giả cho rằng một phần của vấn đề này dường như bị gây ra bởi sự mơ hồ bằng lời nói trong việc thể hiện xác suất có điều kiện

e) Sai lầm trong việc phân biệt sự độc lập và loại trừ lẫn nhau của hai biến cố

Ngoài ra, sinh viên còn gặp phải sai lầm trong việc phân biệt giữa hai biến cố độc lập nhau với hai biến cố loại trừ lẫn nhau Một ví dụ được cung cấp bởi Hays (1981): Giả sử rằng tất cả đàn ông đều "hói" hoặc có "đầu đầy tóc" Đây là hai sự kiện loại trừ lẫn nhau Nếu biết xác suất chọn một người đàn ông hói từ toàn dân là 0,60; khả năng lựa chọn một người đàn ông có tóc sẽ là 0,40 Nếu hai sự kiện này độc lập lẫn nhau, thì xác suất chọn một người đàn ông vừa hói với đầu đầy tóc sẽ bằng

0,60 0, 40 Nhưng rõ ràng xác suất của một sự kiện như vậy tất nhiên là bằng 0 Các sự kiện loại trừ lẫn nhau (hầu hết) là độc lập lẫn nhau Tuy nhiên, xét một ví dụ khác: nếu chúng ta tung một con súc sắc và một đồng xu, thì các sự kiện A: “Mặt 6 nút” và B: “Mặt sấp” rõ ràng là độc lập nhưng không loại trừ lẫn nhau

Cũng với hai tác giả Carmen Díaz & Carmen Batanero trong tài liệu University students’knowledge and biases in conditional probability reasoning được công bố

vào năm 2009 còn xác định thêm một vấn đề nữa trong việc tính xác suất có điều kiện Đó là: Sai lầm trong việc đánh giá và sử dụng thông tin

Theo Diaz & Batanero (2009) thì đây là một loại sai lầm xảy ra khi tính xác suất

có điều kiện của một sự kiện H khi được cung cấp một số thông tin (điều kiện) E , xác suất P H E được tính mà không tính đến "xác suất cơ sở" hoặc "xác suất  | trước" của riêng H Khi tính xác suất của sự kiện H , hai loại thông tin có thể có sẵn:

thông tin chung về xác suất của H (xác suất cơ sở) và thông tin cụ thể về điều kiện được đề cập đến E Những người chỉ có thông tin chung có xu hướng sử dụng nó để tính toán xác suất, đó là điều hợp lý để làm Tuy nhiên, khi có cả hai loại thông tin thì sinh viên có xu hướng đưa ra phán đoán xác suất hoàn toàn dựa trên thông tin cụ thể, bỏ qua thông tin về xác suất cơ sở ngay cả khi họ thực hiện tính toán và không phán đoán xác suất theo trực giác

Sai lầm này được chỉ ra trong nghiên cứu của Tversky & Kahneman (1982) khi đưa ra yêu cầu giải quyết các vấn đề liên quan đến định lý Bayes Trong các vấn đề Bayes, bạn được cung cấp số liệu thống kê cho một tổng thể cũng như cho một bộ phận cụ thể của tổng thể; cả hai loại thông tin phải được xem xét cùng nhau để giải quyết vấn đề; tuy nhiên, mọi người có xu hướng bỏ qua tỷ lệ cơ sở tổng thể (Bar-Hillel 1983, Koehler 1996) Các tác giả này cho rằng mọi người không sử dụng định

lí Bayes mà thay vào đó họ đã sử dụng trực giác để đưa ra kết quả

Ngoài ra, vấn đề ngôn ngữ cũng là một những nguyên nhân gây ra những sai

lầm trong việc xác định xác suất có điều kiện:

Ví dụ:

 Nếu biến cố A: “ Mắc bệnh” và biến cố B: “ Xét nghiệm dương tính” thì xác suất có điều kiện của người bị mắc bệnh xét nghiệm dương tính (khả năng dự đoán dương tính của xét nghiệm) P A B được cho là giống với xác suất có  | điều kiện của xét nghiệm chẩn đoán dương tính với người có bệnh (độ nhạy của xét nghiệm) P B A  | 

 Nếu biến cố A: “Người hút thuốc” và biến cố B: “Mắc bệnh viêm phế quản” thì tỉ lệ người hút thuốc bị mắc bệnh phế quản P A B được xem như tỷ lệ  | người mắc bệnh phế quản có hút thuốc P B A  | 

 Nếu biến cố A: “Mắc bệnh” và biến cố B: “Kết quả xét nghiệm dương tính” thì xác suất mắc bệnh cho kết quả xét nghiệm dương tính P A B được cho  | 

là giống như xác suất mắc bệnh P A  

 Nếu gọi biến cố A: “Tóc xoăn” và biến cố B: “ Màu mắt xanh” thì tỉ lệ một người tóc xoăn có màu mắt xanh P A B bị nhầm lẫn với tỉ lệ người tóc xoăn  | 

và có màu mắt xanh P A B

Theo bài báo The language of Conditional Probability (tạm dịch: Ngôn ngữ của

xác suấ có điều kiện) của Jessica S Ancker (2006) thì: Một phần nguyên nhân của vấn đề này dường như gây ra bởi ký hiệu chính thức hoặc sự mơ hồ bằng lời nói, ngôn từ - sự khác biệt giữa ngôn ngữ thống kê và ngôn ngữ đời sống – tạo ra những sai lầm trong việc nhận biết không gian mẫu đã bị thay đổi từ đó dẫn đến sai lầm trong việc thể hiện xác suất có điều kiện Các sự kiện A B , | B A và | A vẫn được cho là cùng một sự kiện và vẫn mô tả tất cả chúng với cùng một kỹ thuật từ đó dẫn đến sai lầm

Để mô tả sự kiện “A với điều kiện B” các nhà nghiên cứu khuyến khích sửa dụng ngôn ngữ “A trong điều kiện B” để giúp dễ hình dung một sự kiện A như một tập hợp con của một sự kiện B, do đó nhấn mạnh sự tồn tại của một thể loại xác suất mới – khi mà không gian mẫu đã bị giảm đi so với ban đầu

Việc mô tả các sự kiện có điều kiện bằng ngôn ngữ “A trong điều kiện B” đặc biệt hữu ích khi tham khảo biểu đồ Venn – một công cụ mạnh mẽ để trực quan hóa không gian sự kiện và xác suất (Cosmides và Tooby 1996; Hoffrage, Lindsey, Hertwig và Gigerenzer 2000)

Ngoài ra, việc sử dụng sai cụm từ “cơ hội là 50 – 50" cũng tạo ra những sai lầm nhất định trong việc tiếp cận xác suất, thường xảy ra theo hai hướng sau:

 Thứ nhất, khi không gian mẫu chứa hai yếu tố, người ta thường dùng cụm từ” “mỗi kết quả có cơ hội là 50 – 50" ngay cả khi hai sự kiện không

có khả năng như nhau

 Thứ hai, việc sử dụng cụm từ “cơ hội là 50 – 50" cho các tình huống xác suất mà trong đó có nhiều hơn hai kết quả trong không gian mẫu và có khả năng xảy ra như nhau và kết luận rằng mỗi sự kiện có “cơ hội là 50 – 50"

Cả hai cách sử dụng “cơ hội là 50 – 50" không chính xác này đều có vấn đề khi xem xét xác suất có điều kiện trong các tình huống không thay thế Cụ thể, việc sử dụng cụm từ này liên tục dễ gây nên những cản trở trong việc nhận ra rằng xác suất của tất cả các sự kiện đã thay đổi trong các tình huống không thay thế

Như đã đề cập ở trên, trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến xác suất có điều kiện thì việc nghiên cứu sự độc lập giữa các biến cố là vô cùng quan

trọng Nhưng theo tác giả Ivan William Kelly (1986), không dễ dàng để phân biệt

giữa các sự kiện độc lập và phụ thuộc đặc biệt là trong các vấn đề thực tế Nguyên

nhân là do sự khác biệt lớn trong thực tế và trong lí thuyết toán học Ví dụ: Nếu chúng

ta tung một cặp súc xắc, kết quả xảy ra sẽ không ảnh hưởng đến kết quả sẽ xảy ra với người tung khác; tuy nhiên trong các trường hợp khác, người ta thường cần chuyên môn trong một lĩnh vực cụ thể để đưa ra phán đoán hợp lý cho dù các sự kiện cụ thể

có độc lập hay không, ví dụ như để chứng minh rằng có mối quan hệ phụ thuộc giữa hút thuốc và bệnh phổi người ta phần cần nhiều năm nghiên cứu mới có thể làm được Một sự hiểu lầm phổ biến thứ hai liên quan đến mối quan hệ phụ thuộc giữa các

sự kiện là xem các sự kiện phụ thuộc nhau có mối quan hệ nhân quả Tất nhiên, có những tình huống mà điều này là hợp lý, ví dụ, bị bệnh lao là tùy thuộc vào việc có trực khuẩn lao trong cơ thể của một người Tuy nhiên, có nhiều ví dụ về mối quan hệ phụ thuộc giữa các sự kiện trong đó không có mối quan hệ nhân quả nào liên quan

Ví dụ, có một đám cháy phụ thuộc vào sự hiện diện của oxy, mặc dù cái sau không gây ra cái trước

Một vấn đề nữa có thể phát sinh với những sinh viên đã nghiên cứu về vật lý hoặc triết học quan tâm đến việc liệu các sự kiện có thể thực sự độc lập hay không

Ví dụ, một số nhà văn (ví dụ, Capra, 1975) đưa ra một phương pháp tổng thể cho vũ trụ trong đó vũ trụ được coi là một mạng lưới các mối quan hệ nơi tất cả mọi thứ đều

có mối quan hệ mật thiết với nhau Hays (1981) cho rằng "Chắc chắn không có gì trên trái đất hoàn toàn độc lập với bất kỳ điều gì khác" Từ đó, sinh viên có thể lập luận rằng nếu không có gì hoàn toàn độc lập với bất cứ mọi thứ, thì làm thế nào chúng

ta có thể áp dụng các công thức xác suất giả định sự độc lập của các sự kiện? Câu trả lời là việc áp dụng các công thức như vậy không cần phải giả định rằng các sự kiện

hoàn toàn phụ thuộc lẫn nhau, chỉ có điều là mọi mối quan hệ đều không đáng kể Ví

dụ, mọi thứ trong vũ trụ đều có một lực hấp dẫn tương tác với mọi vật thể khác, nhưng lực hấp dẫn giữa một con người và một ngôi sao cách xa nhiều năm đến mức nó có thể được coi là không tồn tại Underwood (1957) đưa ra những ví dụ: “Chiều dài móng chân của nhà thiên văn học không liên quan đến các giai đoạn của mặt trăng; Màu tóc của cô thư ký không liên quan đến chiều cao của bắp mọc trên cánh đồng Iowa và một bộ lạc lùn ở New Guinea ít ảnh hưởng đến việc tiêu thụ rượu khi lái xe tải ở Brooklyn”

Trong một số tình huống cụ thể, Chapman (1967) đã chỉ ra rằng, người ta đưa

ra nhận xét về tính độc lập của các sự kiện bất chấp dữ liệu được cung cấp và chủ yếu dựa vào niềm tin chủ quan của họ về tình huống Ví dụ như Fischbein, Nello và Marino (1991) đã chỉ ra rằng việc tung ba con xúc xắc cùng lúc về mặt toán học tương đương với việc tung một con súc xắc ba lần liên tiếp tuy nhiên nhiều người vẫn không xem xét hai thí nghiệm này tương đương

Tiểu kết chương 1

Các vấn đề về xác suất nói chung và xác suất có điều kiện nói riêng hầu hết đều bắt nguồn từ các nhu cầu trong thực tế đời sống – nơi chứa đựng nhiều vấn đề phức tạp liên quan Vì thế tuy các lí thuyết đã được hình thành và đưa ra một cách rõ ràng,

cụ thể nhưng để đi đến việc áp dụng vào giải quyết những vấn đề thực tế lại ẩn chứa nhiều sai lầm và sai lầm Nguyên nhân của những sai lầm đó xuất phát từ nhiều nguồn khác nhau nhưng tựu chung là do nghĩa của xác suất được trình bày đơn giản trong khi áp dụng vào trong thực tế lại có rất nhiều vấn đề liên quan nảy sinh Hơn nữa xác

suất chỉ là “khả năng xảy ra” của một sự kiện ngẫu nhiên vì thế việc kiểm chứng độ

chính xác của chúng dựa trên thực tế gặp rất nhiều sai lầm còn dựa trên lí luận sẽ gặp phải nhiều lỗ hổng

Điều này khiến cho học tập, nghiên cứu về xác suất có điều kiện dù ở mức độ đơn giản nhất cũng gặp phải những sai lầm nhất định, đặc biệt là những người bắt đầu tìm hiểu, chưa chuyên sâu về vấn đề này

Chương 2 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ

Như đã phân tích ở chương 1, thông qua các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả, xác suất có điều kiện là một chủ đề có nhiều sai lầm liên quan và với mỗi quan điểm khác nhau, họ sẽ nhìn nhận về xác suất có điều kiện cũng khác nhau Vì thế, mục tiêu trong chương 2 của chúng tôi là đi nghiên cứu về chương trình học của sinh viên khoa Toán tại ĐH Sư phạm TP HCM để xem họ đã được tiếp cận với xác suất có điều kiện theo quan điểm nào, họ có được đối diện với những sai lầm mà chúng tôi đã chỉ ra ở trên trong bài toán về xác suất có điều kiện?

Trong tất cả học phần mà sinh viên được học, có 02 học phần đề cập đến xác suất có điều kiện Đó là học phần Xác suất thống kê và học phần PPDH ĐS & GT

Để nghiên cứu chương trình học của sinh viên, chúng tôi sẽ tập trung vào nghiên cứu

02 học phần này

Xác suất thống kê là một môn học bắt buộc đối với sinh viên của các ngành khoa học, kĩ thuật, kinh tế … Đối với sinh viên khoa Toán tại ĐH Sư phạm TP HCM, các vấn đề về xác suất thống kê được đề cập giảng dạy trong hai học phần môn học bao gồm: học phần Xác suất thống kê (tập trung nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến xác suất thống kê) và học phần PPDH ĐS & GT (tập trung nghiên cứu các

tổ chức dạy học liên quan đến các chuyên đề về đại số - giải tích và xác suất là một phần được đề cập trong đó)

Ở môn học Xác suất thống kê thì được chia thành hai học phần là Xác suất thống

kê 1 và Xác suất thống kê 2, chuyên đề về xác suất và xác suất có điều kiện được trình bày trước nhất trong học phần Xác suất thống kê 1 Giáo trình học tập chính thức được sử dụng cho cả hai học phần là quyển “Lí thuyết xác suất và thống kê” và

“Bài tập xác suất thống kê” của tác giả Đinh Văn Gắng – giảng viên bộ môn xác suất thống kê tại khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP HCM và được Nxb Giáo dục xuất bản

Với môn học PPDH ĐS & GT, sinh viên được học tập, nghiên cứu chủ yếu dựa vào hai nguồn tài liệu chính là

+ Giáo trình cùng tên của hai tác giả là TS Lê Thái Bảo Thiên Trung và TS Tăng Minh Dũng – cùng là giảng viên các môn chuyên ngành phương pháp giảng dạy tại khoa Toán trường Đại học Sư Phạm TP HCM và được xuất bản bởi nhà xuất bản Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh vào năm 2017

+ Các bài giảng của giảng viên trực tiếp giảng dạy – TS Tăng Minh Dũng

Do giáo trình PPDH ĐS & GT xuất bản năm 2017 được biên soạn theo chương trình sách giáo khoa cũ, đang hiện hành nên chỉ tập trung vào các chủ đề quan trọng trong chương trình dạy học này và bỏ qua các vấn đề về xác suất Tuy nhiên trong các bài giảng trực tiếp trong học phần này đã được giảng viên cập nhật thêm phần về chuyên đề xác suất, trong đó có xác suất có điều kiện, dựa trên chương trình Giáo dục phổ thông mới của môn Toán để cung cấp thêm cho sinh viên các kiến thức và kĩ năng giảng dạy các vấn đề liên quan đến xác suất

Do việc học tập ở bậc đại học thì tự học là chủ và việc giảng dạy của các giảng viên chỉ đóng vai trò hướng dẫn, hỗ trợ cho việc tự học của sinh viên nên để nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức là xác suất có điều kiện, chúng tôi

sẽ tập trung vào phân tích các phần có liên quan đến chủ đề xác suất trong giáo trình học phần Xác suất thống kê và bài giảng của môn PPDH ĐS & GT của sinh viên ĐH

Sư phạm TP HCM

2.1 Nghiên cứu giáo trình học phần xác suất và thống kê

Như đã phân tích ở chương 1, xác suất có điều kiện là một trong những vấn đề trọng tâm cơ bản của lí thuyết xác suất vì thế trong hầu hết tất cả giáo trình về Xác suất thông kê hiện nay ở bậc đại học không thể thiếu được vấn đề về xác suất có điều kiện Và giáo trình “Lí thuyết xác suất thống kê” của sinh viên ĐH Sư Phạm không phải là một ngoại lệ

Đối với sinh viên đại học hiện nay nói chung và sinh viên ĐH Sư phạm TP HCM nói riêng thì ở cấp trung học phổ thông đều đã được học qua về xác suất ở lớp

11 Tuy nhiên về xác suất có điều kiện là một vấn đề chưa được đề cập tới trong chương trình học ở cấp phổ thông hiện nay và cho đến khi sinh viên bắt đầu học phần Xác suất thống kê tại trường Đại học Sư Phạm Vì thế, việc học tập, nghiên cứu về