Các đặc trưng của không gian hàm vmo trên rn và một số ứng dụng

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN HÀM VMO TRÊN  nVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS.. Không gia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN TRÍ DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN HÀM VMO TRÊN  nVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Trần Trí Dũng, không sao chép của bất cứ ai

Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng …… năm 2020

Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Đạt

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Trí Dũng Thầy đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các Thầy trong khoa Toán - Tin Trường Đại học

Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn trong suốt quá trình học cao học

Tôi cũng cảm ơn các bạn học viên K27 đã cùng chia sẻ với tôi rất nhiều về kinh nghiệm học tập, rèn luyện và viết luận văn

Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành công tới Quý thầy cô, anh chị và các bạn!

Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Đạt

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU p

L Không gian các hàm thực f trên n sao cho f khả tích Lebesgue p

L Không gian các hàm thực f trên n bị chặn cốt yếu

1

loc

L Không gian các hàm thực f trên nsao cho f khả tích địa phương Chuẩn trên không gian định chuẩn

BMO Không gian các hàm có dao động trung bình bị chặn

VM O Không gian các hàm có dao động trung bình triệt tiêu

h.k.n Tính chất hầu khắp nơi

A Bao đóng của tập A

, Tích vô hướng trên không gian Hilbert

u Biến đổi Hilbert của u

f g Tích chập của hai hàm f và g

p

H Không gian các hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng trên

H Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên nửa mặt phẳng trên

MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian định chuẩn 3

1.2 Không gian Lp 3

1.3 Không gian L 4

1.4 Các bất đẳng thức 4

1.5 Không gian Hilbert 4

1.6 Không gian BMO 5

1.7 Không gian VMO 6

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 9

Chương 2 Đặc trưng của không gian VMO và một số ứng dụng 10

2.1 Các đặc trưng 10

2.2 Một số ứng dụng 16

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 23

KẾT LUẬN 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO 25

Như ta đã biết, hàm f thuộc không gian BMO được định nghĩa theo quả cầu

Q trong  n Bằng cách bổ sung thêm tính chất dao động trung bình của f dần về 0 khi bán kính của Q dần về 0, D Sarason đã phát hiện ra một lớp hàm đặc biệt trong không gian BMO, đó là các hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO

D Sarason có sự so sánh rằng: “VMO chiếm vị trí trong BMO cũng như vị trí của không gian các hàm liên tục đều bị chặn trên R N trong không gian L”

Không gian VMO có ứng dụng trực tiếp vào hai bài toán lớn của giải tích: thứ nhất là liên quan đến quá trình ngẫu nhiên dừng đáp ứng điều kiện hỗn hợp mạnh, thứ hai là liên quan đến chứng minh các định lý về đại số Doughlas HC Sau đó có hàng loạt các vấn đề được nghiên cứu mở rộng trên không gian hàm VMO như:

phương trình vi phân đạo hàm riêng ngẫu nhiên với hệ số VMO; không gian hàm VMO liên kết với toán tử; không gian VMO của các hàm có lát cắt siêu chỉnh hình; không gian Orlicz – Hardy liên kết với toán tử;…

Trong bài báo “Functions of vanishing mean oscillation” (Trans Amer Math Soc., 207 (1975)), D Sarason đã nêu ra các đặc trưng của hàm VMO trên  cùng với một số ứng dụng của các không gian này Để tiếp nối các kết quả của bài báo trên, luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu về các đặc trưng và ứng dụng của các hàm VMO trên  n

Tác giả sử dụng các tài liệu dưới dạng sách, tạp chí, bài báo chuyên ngành để trích dẫn, tự nghiên cứu, từ đó phát triển ra kết quả trong luận văn

Trong luận văn có các kiến thức chuyên ngành giải tích hàm, giải tích thực, giải tích Fourier và một số kiến thức về cấu trúc đại số

4 Nội dung

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Đặc trưng của không gian VMO và một số ứng dụng

5 Đóng góp của đề tài

Nội dung cơ bản của luận văn là trình bày một cách hệ thống và mạch lạc các vấn đề trọng tâm của bài báo “Functions of vanishing mean oscillation” của D Sarason Trong đó có bổ sung các chứng minh chi tiết cho những tính chất của không gian BMO và VMO

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn

Giả sử X là một không gian vectơ trên  Một ánh xạ p : X   được gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa các điều kiện sau cho mọi x,y X , mọi  :

Số p x gọi là chuẩn của phần tử x  

Thông thường, ta dùng ký hiệu x thay cho p x  

Khi đó, không gian vectơ X cùng với chuẩn trong nó, được gọi là một không gian định chuẩn, ký hiệu X , 

 

p n

L  là không gian định chuẩn với chuẩn sau:

1( )p pp

f   f x dx 1.3 Không gian L 

Một hàm đo được f được gọi là “bị chặn cốt yếu” (essentially bounded) nếu tồn tại một hằng số M sao cho f M h.k.n

Cho 1 p   Khi đó với mọi f ,g L p, ta có f g p  f p g p

1.5 Không gian Hilbert

Cho không gian vectơ X trên  Một ánh xạ , từ X X vào  biến

 x,y  x,y được gọi là một tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau cho mọi x,y X , mọi  :

ii) y,x  x,y

iii) x x',y  x,y  x',y x' X. 

iv) x,y  x,y

1.6 Không gian BMO

Một hàm đo được (t)trên  là khả tích địa phương, kí hiệu L1loc, nếu  khả tích trên mọi tập con compact của 

Cho I là một khoảng bị chặn trên  và L1loc Khi đó ta gọi 1

I I dtI

    là giá trị trung bình của  trên I

Hơn nữa, nếu sup 1 I  I  

I

dt

I , với supremum lấy trên mọi khoảng I, thì ta nói

 có dao động trung bình bị chặn trên 

Không gian gồm tất cả các hàm  có dao động trung bình bị chặn trên  được gọi là không gian BMO( ) (hoặc không gian BMO)

1.7 Không gian VMO

Do fn hội tụ về f trong BMO nên tồn tại N  0 sao cho

2N

hay không gian BMO là bất biến qua phép tịnh tiến

Ngoài ra, nếu f VMO thì lim0 a  0

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Như vậy ở chương 1, luận văn đã hệ thống lại những kiến thức cần thiết cho việc chứng minh định lý chính Trong đó bao gồm các không giàn hàm cơ bản của giải tích thực như không gian L , Lp , không gian Hilbert Song song đó là các bất đẳng thức về tích phân như bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Minkowski

Hơn nữa, trong chương 1 đã định nghĩa đầy đủ không gian các hàm có dao động trung bình triệt tiêu, hay VMO Cũng như các tính chất cơ bản của nó như: chứa tất cả các hàm liên tục đều của không gian BMO, và là không gian con đóng của BMO Một tính chất khác của VMO, cũng giống với BMO, là nó bất biến qua phép tịnh tiến

Chương 2 Đặc trưng của không gian VMO và một số ứng dụng 2.1 Các đặc trưng

  

)

iv f u v trong đó u v BUC , ,  v là biến đổi Hilbert của v

Để chứng minh Định lý 2.1.1 ta sử dụng hai bổ đề dưới đây

dist f UC BMO  A M f , trong đó khoảng cách dist f UC BMO ,   được

đo theo chuẩn BMO

của 𝔗 mà phủ Ivà đặt

1

n j j

Với khoảng I tùy ý ta có:

Đặt f thỏa iii ) và cho n1 2, , đặt fn là các hàm liên tục dương, có tích phân là 1

và giá chứa trong khoảng 1 1;

Từ tài liệu [1], Fefferman và Stein thiết lập các định lý cơ bản sau đây:

 I Toán tử liên hợp là ánh xạ bị chặn từ Lvào BMO

 II Mỗi f BMO được viết thành f    với u,v Lu v  Hơn nữa, có một hằng số 

Bsao cho ta có thể lấy u  B f BMO và v  B f BMO

Từ  I ta nhận được iv )iii )

Chứng minh iii )iv )

Giả sử f thỏa iii ) và sử dụng  II , ta viết f u0 v0 trong đó u v0, 0Lvà

u B f , v0  B f BMO

Theo phần chứng minh )iii ii), tồn tại hàm liên tục dương 1 với tích phân bằng 1

2



Ngoài ra các hàm u11u0 và v11v0 đều thuộc vào BUC , với u1  B f BMO

và v1  B f BMO, và 1 f u1v1 Áp dụng tương tự với hàm f u1v1, ta thu được hàm u ,v2 2BUC với 2 1

u  u



  và

1 nn

v  v



  đều thuộc BUC , từ b) và  I ta có

f   u vnên hoàn thành chứng minh của định lý 1

Dưới đây là một đặc trưng khác của VMO

Cho w là hàm đo được, dương trên , với a  0 ta đặt N w là supremum của a 

Chứng minh:

Điều kiện cần là hệ quả trực tiếp từ hệ quả của bổ đề được chứng minh bởi F John và

L Nirenberg trong bài báo “On function of Bounded Mean Oscillation” (xem trang

415 của [6]) Ta có thể nêu ra kết quả trong trường hợp 1 chiều như sau: Có hằng số dương b và B sao cho nếu f là hàm khả tích trên khoảng I và nếu

Bổ đề 2.1.5

Cho X,m là không gian độ đo xác suất và w là hàm đo được, dương trên  X sao cho

 wdm  w dm 1  1 c3 với 0 1

2c

  Khi đó logwlogwdm dm16c Chứng minh:

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng wdm 1 vì vậy w dm1  1 c3

độ đo Lebesgue trên  D ), thực ra đây là đại số con, đóng, nhỏ nhất của Lmà chứa

Hthực sự Kết quả này và các tính chất cơ bản của H có thể tìm thấy trong C[14] Một tính chất có liên quan ở đây là tích phân Poisson có tính đa tiệm cận trên

H theo nghĩa sau đây: C

Nếu f và g là hai hàm bất kỳ trong H thì C 1 r r  r 0

lim f g fg

   vẫn đúng với mọi f thuộc L

Đặt QC là đại số các hàm trong H mà liên hợp phức của nó cũng thuộc HC C Khi đó, một hàm trong Lmà thuộc vào QC khi và chỉ khi nó được viết thành u v  , với u và v thuộc C Từ đó ta cũng có QC VMO L   Mối quan hệ này là cơ sở để chứng minh định lý sau:

Định lý 2.2.1.1

Cho f L  sao cho f liên tục trên D Khi đó f QC

Chứng minh

Ta cần một số ký hiệu cho chứng minh định lý này

Cho f là hàm khả tích trên  D và I là một cung của  D Đặt

J J

M f ,I sup J  f e  f dt với supremum lấy trên các cung con J của I Cho z là điểm thuộc D, đặt M f ,z inf M f ,I  với infimum lấy trên các cung con I có tâm tại z Vì vậy, điều kiện cần để f VMO là M f ,z    Ta sẽ 0, z Dchứng minh điều kiện này cũng là điều kiện đủ để f VMO

Cho f L  sao cho f liên tục trên D, ta sẽ chứng minh rằng M f ,z    0, z DĐiều này là hiển nhiên nếu f z  , vì thế ta chỉ xét trường hợp mà   0 f z   0 Hơn nữa, trong trường hợp này ta có thể tìm hàm g trong C sao cho g z  1/ f z  và

1

1 r r r 0r

(*) Cho f là hàm trong L sao cho f   f 1 1 và sao cho f liên tục trên D Khi đó M f ,   1 0

Để chứng minh phát biểu trên, ta sử dụng một bổ đề về lý thuyết độ đo sau đây

Bổ đề 2.2.1.2

Cho X, m là không gian độ đo xác suất và f là hàm trong  L m sao cho f   1

và f md  1 b3, trong đó 0 1

2b

  Cho E là tập hợp mà trên đó 1 f  Khi đó b

  , và chọn a  0 sao cho f re i   với 1 b3   và a

Như vậy ta có M f , I  2 8 1b và kết thúc chứng minh Định lý 2.2.1.1

Từ Định lý 2.2.1.1 ta có hệ quả sau đây

Gọi g là một hàm khả nghịch trong B, và h là hàm bên ngoài sao cho h  g trên  D Khi đó f h g 1 là một hàm khả nghịch trong B và f  trên 1  D Nghịch đảo của f

là f

Do tích phân Poisson là đa tiệm cận trên B nên

1 r r 1 0

rlim f f



   Từ đó ta có f liên tục trên D nên theo Định lý 2.2.1.1 ta có f H  hơn nữa C g hf 

2.2.2 Đặc trưng của HBUC

Đặt H là không gian các hàm có biên trên  sao cho giải tích bị chặn trên nửa mặt phẳng mở trên Ta sẽ chứng minh HBUClà đại số con, đóng của L

Bất kỳ hàm trên  mà khả tích với độ đo  2 1

1 t  dt đều có thể mở rộng điều hòa lên nửa mặt phẳng trên bởi công thức trung bình Poisson Mở rộng của f được cho bởi:

Với y 0 ta đặt f là hàm trên y  định nghĩa bởi f xy   f x iy 

Ta sẽ chứng minh HBUC là tập con đóng của L Tức là,

Như vậy ta thu được: dist f ,H  BUC f h 

Từ đó, lấy infimum trên tập các hàm h ta được dist f ,H dist f ,H BUC Tiếp theo ta chứng minh HBUC là một đại số thông qua bổ đề dưới đây

Bổ đề 2.2.2.1

Cho h là một hàm trong H và a là một số dương, đặt f x e iaxh x  Khi đó f thuộc vào HBUC

Chứng minh

Giả sử f là hàm trong H và a là một số thực dương Gọi v là hàm trong Ccó giá compact sao cho trên đoạn a,0 v nhận giá trị là 1 Đặt u là biến đổi Fourier ngược của v , nghĩa là v u 

Ta có f u f  f u f  

Do u thuộc vào lớp các hàm giảm nên u f thuộc vào BUC Như vậy ta chỉ cần chỉ

ra f u f  thuộc vào H hay f u f  là hàm hủy (annihilates) trong H1

Giả sử g là hàm trong H1 Áp dụng định lý Fubini ta được

Vậy f thuộc vào HBUC

Chứng minh HBUC là một đại số

Cho a  0 tùy ý

Đặt Aa là không gian các hàm có dạng e iaxh x  với h thuộc H Khi đó a0 aA

là một đại số và bao đóng của a0 aA cũng là một đại số Bằng định lý của Kober (xem trang 249 của [14]), ta có bao đóng của a0 aA chứa HBUC Mặt khác,

bởi Bổ đề 2.2.1.1 ta có a0 aA chứa trong HBUC suy ra bao đóng của

Đặt QBUC là đại số các hàm f sao cho f và liên hợp phức của f đều thuộc vào

HBUC Khi đó, QBUC chứa các hàm của L mà viết được dưới dạng u v  với

u, v thuộc vào BUC.Do đó QBUC VMO L Từ nhận xét này và cách chứng minh tương tự Định lý 2.2.1.1 ta có định lý dưới đây

Từ Định lý 2.2.2.2 ta thu được một đặc trưng của HBUCnhư sau:

Giả sử B là một đại số con của L mà chứa H sao cho tích phân Poisson cho nửa mặt phẳng trên là đa tiệm cận Khi đó B chứa trong HBUC

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong phần đầu chương này, luận văn đã nêu ra hai định lý chính về đặc trưng của không gian hàm VMO Trong đó định lý 2.1.1 là định lý phát biểu về các điều kiện tương đương để một hàm thuộc vào không gian VMO mà liên quan đến các hàm liên tục đều, cũng như biểu diễn của một hàm trong VMO Ở định lý 2.1.4 là một đặc trưng khác của hàm có dao động trung bình triệt tiêu, dựa trên định lý được chứng minh bởi

F John và L Nirenberg

Qua phần sau của chương 2, luận văn trình bày về ứng dụng của các đặc trưng

đã nêu ra ở đầu chương Cụ thể là cách kiểm tra một hàm thuộc vào QC, QBUC

KẾT LUẬN Tong phần kết luận, tác giả sẽ tóm tắt lại nội dung cũng như mục tiêu đã đạt được trong luận văn này

Chủ đề của luận văn là đặc trưng của không gian hàm VMO trên n và một số ứng dụng Trong chương 1, tác giả đã hệ thống lại các định nghĩa về các không gian hàm thông thường và không gian hàm BMO, VMO Song song đó là chứng minh một

số tính chất của không gian hàm BMO, VMO Qua các kiến thức chuẩn bị ở chương 1, sang chương 2 tác giả đã trình bày chi tiết các đặc trưng của không gian hàm VMO và ứng dụng các đặc trưng đó để chỉ ra đặc trưng của không gian H và HC BUC

Cụ thể, VMO là không gian những hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO

là không gian con đóng của BMO, hơn nữa nó còn chứa tất cả các hàm liên tục đều trong BMO

Từ định lý 2.1.1, ta có được những điều kiện tương đương để một hàm thuộc vào VMO Và định lý này được áp dụng vào việc chứng minh một hàm thuộc vào QC, bởi nhận xét QC VMO L, áp dụng tương tự cho lớp hàm QBUC

Như vậy, mục tiêu của luận văn cơ bản đã hoàn thành Tuy nhiên do hạn chế về thời gian cũng như tính chất phức tạp của vấn đề nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Trong tương lai tác giả dự định nghiên cứu sâu hơn về các ứng dụng của không gian hàm VMO đối với các không gian hàm khác