Phân tích thực hành của giáo viên trong dạy học ý nghĩa vật lí của tích phân

Trong đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến một kiểu nhiệm vụ mới, chưa xuất hiện trong các đề thi tự luận trước đây, kiểu nhiệm vụ: “Tính quãng đường của một vật đi được trong khoảng thời

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Thái Bảo Thiên Trung Các số liệu, kết quả nêu trong

luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình khác

Học viên thực hiện

Ngô Đức Ngọc Ngà

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, trước hết tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi vượt qua các khó khăn và hoàn thành luận văn này Trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài, tôi đã nhận được sự chỉ dạy

và giúp đỡ nhiệt tình thông qua các tiết học đầy bổ ích và ý nghĩa từ các Thầy cô: PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, GS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Vũ Thị Như Hương, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô

Tôi xin gửi lời cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã sắp xếp và tạo điều kiện học tập thuận lợi cho chúng tôi

Trong quá trình thực nghiệm cho luận văn này, tôi rất biết ơn sự giúp đỡ nhiệt tình đến từ các Thầy Cô và học sinh trường TiH – THCS – THPT Ngô Thời Nhiệm – Gò Vấp, trường THPT Tôn Đức Thắng – Ninh Thuận

Tôi cũng xin cảm ơn tập thể lớp dạy học Toán K27, đã chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua

Bên cạnh đó, sự giúp đỡ, chia sẽ của gia đình, bạn bè và các anh chị học viên cao học K27 đã giúp tôi có thêm động lực để hoàn thành luận văn Cám

ơn tất cả mọi người

Một lần nữa, tôi xin chân thành cám ơn!

Ngô Đức Ngọc Ngà

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ BIẾN DẠY HỌC TRONG PHÂN TÍCH TỔ CHỨC DẠY HỌC 8

1.1 Nguyên nhân có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống 9

1.2 Nguồn gốc của việc giới thiệu khái niệm biến trong lý thuyết nhân học didactic 10

1.3 Hình thức hóa hoạt động trong mô hình tổ chức tri thức T4TEL 10

1.3.1 Định nghĩa kiểu nhiệm vụ và kiểu nhiệm vụ con trong T4TEL 11

1.3.2 Mô tả các kĩ thuật trong T4TEL 12

1.4 Tại sao có khái niệm biến trong T4TEL? 12

1.5 Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến 13

1.6 Tổ chức tri thức cá nhân 15

1.7 Kết luận 16

Chương 2 BÀI TOÁN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DẠY HỌC TOÁN HIỆN HÀNH 18

2.1 Hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến liên quan đến bài tính quãng đường đi được của một chất điểm khi biết hàm vận tốc 19

2.1.1 KNV T BT 19

2.1.2 KNV T ĐT 21

2.1.3 KNV T Lời 30

2.2 Các KNV liên quan trong đề minh họa và chính thức môn Toán của kì

thi THPTQG năm 2017 32

2.3 Kết luận 35

Chương 3 PHÂN TÍCH THỰC HÀNH DẠY HỌC CỦA GIÁO VIÊN TRONG CÁC BÀI TOÁN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG 37

3.1 Tổ chức didactic: Một quan điểm động 38

3.2 Tổ chức diactic: một quan điểm tĩnh 45

3.2.1 Tổ chức toán học 45

3.2.2 Tổ chức didactic 46

3.3 Kết luận 47

Chương 4 THỰC NGHIỆM 48

4.1 Mục tiêu và đối tượng thực nghiệm 48

4.2 Bài toán tổng quát 48

4.3 Mô tả thực nghiệm 49

4.4 Kịch bản thực nghiệm 52

4.4 Phân tích tiên nghiệm 53

4.5 Phân tích hậu nghiệm 59

4.6 Kết luận 67

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

PHỤ LỤC

TCTH : Tổ chức toán học

TCTT : Tổ chức tri thức

THPTQG : Trung học phổ thông quốc gia

Bảng 4.1 Thống kê số lượng học sinh sử dụng các chiến lược để trả lời

phiếu học tập 1 59 Bảng 4.2 Điểm các nhóm đã chấm cho hai bạn An và Bình 62 Bảng 4.3 Nhận xét của các nhóm về bài làm của An và Bình 63 Bảng 4.4 Thống kê số nhóm sử dụng các chiến lược để trả lời phần 2

phiếu học tập 2 64

Hình 2.1 Ví dụ về KNV TĐT 23

Hình 2.2 Mô tả kỹ thuật 𝜏DT 24

Hình 2.3 Mô tả câu 41 29

Hình 4.1 Tiên nghiệm bài tập 1 55

Hình 4.2 Tiên nghiệm bài tập 2 57

Hình 4.3 Bài 1 – Bài làm của học sinh theo chiến lược SBT 60

Hình 4.4 Bài 1 – Bài làm của học sinh theo chiến lược vật lí 60

Hình 4.5 Bài 1 – Bài làm của học sinh theo chiến lược khác 61

Hình 4.6 Bài 2 (P1) – Bài làm của học sinh theo chiến lược SBT 62

Hình 4.7 Bài 1 (P2) – Bài làm của học sinh theo chiến lược SDT 64

Hình 4.8 Bài 2 (P2) – Bài làm của học sinh theo chiến lược SBT 65

Hình 4.9 Bài 2 (P2) – Bài làm của học sinh theo chiến lược kết hợp 66

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Năm học 2016 – 2017 là năm đầu tiên đánh dấu việc thay đổi hình thức thi THPT Quốc gia môn Toán từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm Xuất phát từ việc phân tích các đề thi minh họa và đề chính thức môn Toán của

Bộ GDĐT để tìm kiếm những kiểu nhiệm vụ mới trong đề, chúng tôi nhận thấy rằng các câu hỏi liên quan đến mối liên hệ của tích phân trong vật lí đã xuất hiện với tỷ lệ là hai câu trong tổng số bảy câu phần Nguyên hàm, tích phân ở mỗi đề Trong đó, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến một kiểu nhiệm vụ mới, chưa xuất hiện trong các đề thi tự luận trước đây, kiểu nhiệm vụ: “Tính quãng đường của một vật đi được trong khoảng thời gian t khi cho đồ thị của hàm vận tốc”, chúng tôi tạm gọi các bài toán này thuộc KNV Vật

lý (T-VL):

Câu 41 Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận

tốc 𝑣 (𝑘𝑚/ℎ) phụ thuộc thời gian 𝑡 (ℎ) có đồ thị của vận

tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi

bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường

parabol có đỉnh 𝐼(2; 9) và trục đối xứng song song với trục

tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song

song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển

được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A s = 23, 25(km) B s = 21, 58(km)

C s = 15, 50(km) D s = 13, 83(km)

Để trả lời cho câu hỏi tích hợp này, học sinh phải huy động kiến thức vật lí

và Toán học: Quãng đường một vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b

là tích phân của hàm vận tốc trên [𝑎; 𝑏] Tuy nhiên, theo phân tích trong luận văn Dạy học khái niệm tích phân ở bậc trung học phổ thông theo quan điểm

liên môn (2015) của Đậu Thanh Huyền cho thấy các bài toán liên quan đến mối liên hệ giữa tích phân trong vật lí không xuất hiện trong SGK12CB; SGK12NC

có đề cập đến nhưng số lượng ít (9.64%) và chỉ dừng lại ở một kiểu nhiệm vụ

“Tìm phương trình chuyển động biết công thức tính vận tốc tức thời” Mặt khác, trước đây học sinh chủ yếu học SGK12CB Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu: Việc dạy học ý nghĩa của tích phân thông qua các bài toán vật lí của giáo viên được thực hiện như thế nào trong bối cảnh hiện nay, cụ thể là trong các bài toán liên quan đến vận tốc và quãng đường đi của một chất điểm?

Câu hỏi trên đã thúc đẩy chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài: “Phân tích

thực hành của giáo viên trong dạy học ý nghĩa vật lí của tích phân”

2 Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài

Ở trường phổ thông, ý nghĩa vật lý của tích phân được thể hiện ở nhiều bài toán như:

- Tích phân theo thời gian của hàm vận tốc là quãng đường đi được của động

tử trong khoảng thời gian xác định bởi hai cận;

- Tích phân theo thời gian của hàm gia tốc là hiệu các vận tốc tức thời của động

tử tại hai thời điểm tương ứng với hai cận tích phân: ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑡1

0 = v(t1) – v(t0);

- Tích phân theo thời gian của cường độ dòng điện tức thời là hiệu các điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng của dây dẫn trong khoảng thời gian xác định bởi hai cận: ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑡1

0 = q(t1) – q(t0)

…

Trong luận văn này, ý nghĩa vật lý của tích phân mà chúng tôi nhắc đến chủ yếu là ý nghĩa “quãng đường đi được của động tử trong khoảng thời gian xác định bởi hai cận” Sở dĩ chúng tôi lựa chọn như vậy vì qua quá trình phân tích

đề thi THPTQG 2017 các câu hỏi liên quan đến ý nghĩa vật lý của tích phân đều xoay quanh ý nghĩa này

3 Tổng quan về các công trình nghiên cứu liên quan

Từ trước đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khái niệm tích phân Tuy nhiên, trong phạm vi giới hạn của đề tài, chúng tôi chỉ chắt lọc lại một số công trình liên quan trực tiếp đến mối liên hệ của tích phân trong vật lí như sau:

 Đậu Thanh Huyền (2016) Dạy học khái niệm tích phân ở bậc trung học phổ thông theo quan điểm liên môn Luận văn thạc sĩ trường đại học Sư phạm TP

và chỉ có một KNV duy nhất “Tìm phương trình chuyển động biết công thức tính vận tốc tức thời” Trong KNV này, ý nghĩa vật lí của tích phân được thể hiện qua “Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ” và học sinh sử dụng các biến đổi đại số để tính tích phân tìm ra quãng đường Như vậy, so sánh hai SGK tác giả cho thấy có

sự khác biệt trong việc sử dụng hai nghĩa của tích phân để mô tả mối liên hệ giữa tích phân và vật lí trong bài toán quãng đường và vận tốc

 Ngô Minh Đức (2017) Quan điểm tích hợp trong dạy học khái niệm tích phân Tạp chí Khoa học trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, tập 14,

số 4

Trong bài báo, tác giả đã tiến hành tổng hợp các ý nghĩa của khái niệm tích phân, có thể có 3 ý nghĩa sau:

- Ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân, bài toán cầu phương:

Ý nghĩa này được ra đời từ bài toán cầu phương, cầu tích, cầu trường

“Cầu phương là phép tính diện tích của một hình, chẳng hạn như diện tích của hình giới hạn bởi một đường cong kín (đường tròn, elip, ) hay hình thang cong

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 với 𝑓 là hàm số xác định trên [𝑎; 𝑏].”

- Nghĩa tổng quát:

Tư tưởng chia nhỏ, lập tổng sau đó chuyển qua giới hạn có thể xem là tiền

đề hình thành khái niệm tích phân Tác giả gọi nghĩa này là “nghĩa tổng quát” Với nghĩa tổng quát này, ứng dụng của tích phân trong các lĩnh vực khác đặc biệt là vật lí trở nên phổ biến Theo đó, “các đại lượng vật lí liên quan đến

độ dời, sự biến đổi của một vật”, ví dụ như tính quãng đường của một chất điểm

di chuyển được trong một khoảng thời gian khi biết được hàm số vận tốc của chất điểm trong thời gian ấy được người ta tính toán bằng cách chia nhỏ, lập tổng và chuyển qua giới hạn

- Tích phân và mối quan hệ ngược với đạo hàm

Sau khi khái niệm đạo hàm ra đời, Barrow là người đầu tiên đã phát hiện

ra mối liên hệ của tích phân và đạo hàm: Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm, có thể dựa vào nguyên hàm để tính tích phân Từ đó cho phép có thể tính tích phân bằng các công cụ đại số và công thức Newton – Leibniz mà không nhất thiết phải thông qua tổng Riemann

Sau khi tổng hợp các yếu tố tri thức luận, tác giả đã nhận xét rằng tích phân là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán vật lí và ngược lại các bài toán vật lí cũng có thể đem lại nghĩa tổng quát và khả năng ứng dụng của tích phân

 Trương Thị Oanh (2018) Nghiên cứu thực hành dạy học của giáo viên về khái niệm tích phân Luận văn Thạc sĩ trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

Trong luận văn này, tác giả đã tiến hành phân tích các KNV liên quan đến tích phân trong SGK và các đề thi minh họa kỳ thi THPTQG môn toán năm học 2017 – 2018 của bộ GDĐT Tác giả cũng tiến hành phân tích thực hành giáo viên với các KNV này với hình thức thi trắc nghiệm Trong đó, tác giả cũng đã chỉ ra rằng giáo viên nhận thấy tầm quan trọng của việc ứng dụng tích phân trong hình học và vật lí Tuy nhiên, các bài toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong vật lí chỉ được giáo viên hướng dẫn cho học sinh khá – giỏi, còn với học sinh trung bình – yếu các KNV này gần như không được đề cập Như vậy từ những công trình đã nghiên cứu, chúng tôi ghi nhận rằng chưa

có công trình nào nghiên cứu thực hành giáo viên trong dạy học ý nghĩa vật lí của tích phân Chúng tôi xin kế thừa những kết quả nghiên cứu trên và tiếp tục phát triển để hoàn thành luận văn của mình

4 Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của lý thuyết didactic toán:

Cụ thể,

Chúng tôi sử dụng các khái niệm của thuyết nhân học trong didactic Toán nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi mà chúng tôi đã đề ra:

 Để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm tích phân trong ngữ cảnh vật

lí, chúng tôi dùng khái niệm tổ chức toán học

 Để phân tích thực hành dạy học của GV chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức didactic

Chúng tôi cũng dự kiến xây dựng và thực nghiệm bộ câu hỏi điều tra học sinh sau khi giáo viên tổ chức dạy học các KNV liên quan đến tích phân trong ngữ cảnh vật lí nên chúng tôi còn dùng các khái niệm của lý thuyết tình huống như biến dạy học, phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm,…

Ngoài ra, để phân tích các biến dạy học trong hệ sinh của KNV liên quan đến bài toán vận dụng tích phân để tính quãng đường, chúng tôi còn sử dụng

khái niệm hệ thống biểu đạt Theo Douady (1986), khái niệm này được giải thích như sau:

“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ này: những vạch, những ký hiệu, những hình vẽ… Chúng là phương tiện

để diễn đạt, để biểu thị

Các đối tượng có thể là một, nhưng mối liên hệ giữa chúng và cách trình bày chúng sẽ không giống nhau Ta nói rằng, chúng được biểu đạt bằng những hệ thống khác nhau hay những ngôn ngữ khác nhau.”

Khái niệm hệ thống sinh sẽ được chúng tôi giải thích rõ hơn trong chương 1 của luận văn này

5 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi khung lí thuyết tham chiếu, chúng tôi cụ thể hóa câu hỏi xuất phát thành hệ thống các câu hỏi như sau:

CH1: Những KNV nào trong ngữ cảnh vật lí xoay quanh khái niệm tích

phân được trình bày trong SGK toán hiện hành? KNV T-VL có xuất hiện không? Nếu có thì những kỹ thuật nào đã được đưa ra để giải quyết KNV này? Nếu không, chúng ta có thể dự đoán có những kỹ thuật nào để giải quyết T-VL?

CH2: Trong thực tế dạy học ở năm học 2017 - 2018, giáo viên đã sử dụng

Tổ chức dạy học nào để giảng dạy các tổ chức toán học liên quan đến KNV T-VL?

Mục tiêu của luận văn là trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu nêu trên

6 Phương pháp nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích – Tổng hợp các công trình đã công bố về ý nghĩa của tích phân

trong toán và trong vật lí

- Phân tích các tổ chức toán học xuất hiện trong đề thi THPTQG và so sánh với các tổ chức toán học xuất hiện trong SGK ở Việt Nam

- Dự giờ nghiên cứu thực hành sư phạm của giáo viên về ý nghĩa vật lí của tích phân

- Xây dựng và thực nghiệm bộ câu hỏi điều tra học sinh

- Phân tích kết quả điều tra

7 Cấu trúc luận văn

+ Chương 1: Giới thiệu về biến dạy học trong phân tích tổ chức dạy học

Chương này được thực hiện nhằm bổ sung các lý thuyết về biến trong việc phân tích các tổ chức toán học nhằm chỉ ra lợi ích biến, nguồn gốc và nguyên nhân tại sao có khái niệm biến trong thuyết nhân học, từ đó xuất hiện khái niệm

hệ sinh của KNV và hệ thống các biến

+ Chương 2: Bài toán tính quãng đường trong dạy học toán hiện hành

Trong chương này, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến bài toán tính quãng đường trong các SGK đại số và giải tích lớp

12 hiện hành, trong các đề thi minh họa, đề thi chính thức của kì thi THPTQG năm 2017 Mục đích để xét xem KNV liên quan đến ứng dụng của tích phân trong vật lí có xuất hiện hay không và có các chiến lược hay kĩ thuật giải nào

để giải quyết các KNV này, nhằm trả lời cho CH1 mà chúng tôi đã đặt ra

+ Chương 3: Phân tích thực hành giảng dạy của giáo viên

Chúng tôi tiến hành dự giờ và phân tích một số tiết dạy của giáo viên toán THPT với các bài toán liên quan đến quãng đường – vận tốc – thời gian để biết được các tổ chức toán học nào đã được giáo viên giảng dạy cho học sinh

+ Chương 4: Thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành xây dựng một số bài toán thuộc các KNV mà chúng tôi đã phân tích, tiên nghiệm các kỹ thuật mà học sinh sử dụng để giải toán, phân tích các kết quả đạt được

Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ BIẾN DẠY HỌC

TRONG PHÂN TÍCH TỔ CHỨC DẠY HỌC

Như chúng ta đã biết, một hàm số có thể được biểu diễn dưới nhiều phương thức khác nhau, hàm số biểu diễn vận tốc theo thời gian của chuyển động cũng như vậy, có thể biểu diễn bằng biểu thức đại số, bằng lời, bằng đồ thị hay bằng bảng số Các nghiên cứu trước đây đã cho thấy hàm số được biểu diễn bằng biểu thức đại số chiếm ưu thế hơn so với các dạng biểu diễn khác Tuy nhiên, với hình thức thi trắc nghiệm, đề thi THPTQG 2017 đã xuất hiện nhiều hơn các bài toán mà hàm số được cho bằng các cách biểu đạt khác như bằng đồ thị, bằng lời Để phân tích các KNV liên quan đến các bài toán tính quãng đường từ thời điểm a đến thời điểm b khi biết hàm vận tốc một cách có

hệ thống theo sự thay đổi của các cách biểu diễn của hàm số vận tốc cũng như

sự thay đổi của các yếu tố khác, trong chương này chúng tôi đã tổng hợp lại các kết quả nghiên cứu của Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) về khái niệm biến trong thuyết nhân học

Nhắc lại một số khái niệm:

 Tổ chức tri thức (Praxéologie) là một cấu trúc gồm 4 thành phần [Kiểu nhiệm

vụ, Kĩ thuật, Công nghệ, Lí thuyết] dùng để mô tả một nghiên cứu về hành động của con người trong một lĩnh vực nào đó

Bốn thành phần của một TCTT có thể chia thành 2 khối:

- Khối [Kiểu nhiệm vụ, Kĩ thuật] được gọi là tri thức thực hành

- Khối [Công nghệ, Lí thuyết] là tri thức lí thuyết

 Tổ chức tri thức toán học (Praxéologie mathématique) hay gọi tắt là Tổ chức toán học (TCTH) là một cấu trúc mô tả một nghiên cứu về hoạt động của con người trong lĩnh vực toán học

 Tổ chức tri thức thời điểm (Praxéologie ponctuelle) là một TCTT gắn với một kiểu nhiệm vụ duy nhất

+ Các TCTT địa phương được tạo thành bằng cách nhóm các TCTT thời điểm quanh một yếu tố công nghệ duy nhất

+ Các TCTT địa phương có thể được nhóm lại thành một TCTT vùng quanh một lí thuyết duy nhất

+ Các TCTT vùng - có thể được nhóm lại thành TCTT toàn thể nếu các lí thuyết của chúng tạo thành một nhánh của lĩnh vực đang xét

1.1 Nguyên nhân có khái niệm biến trong lý thuyết tình huống

Theo Brousseau (1997a), một nền tản của lí thuyết tình huống didactic là

sự mô hình hoá một kiến thức bởi một tình huống Trong dạy học, GV thường

sử dụng các tình huống cụ thể để giảng dạy kiến thức cho học sinh, các tình huống này thường là kết quả sự lựa chọn một số yếu tố của thể chế và của GV

từ các tình huống tổng quát hơn Những sự lựa chọn yếu tố này được gọi là

biến Tuy nhiên không phải yếu tố thay đổi nào trong tình huống cũng là biến dạy học Theo Nguyễn Bá Kim (2007), biến dạy học là một yếu tố mà sự thay

đổi của nó có thể làm thay đổi quá trình giải quyết tình huống của người học Việc giới thiệu các biến có mục tiêu rõ ràng là nhằm cấu trúc một tập hợp các tình huống đặc thù của một kiến thức hay một tri thức và giúp ta có thể quản trị mô hình thông qua “lí thuyết điều khiển học”

Khái niệm biến xuất hiện trước hết như một công cụ phương pháp trong một tiến trình mô hình hoá, gắn với phân tích tiên nghiệm một tình huống cụ thể hay cơ bản Nó cho phép dự kiến những thứ có thể quản trị được về sự thay đổi của một tình huống gắn với một tri thức hay một kiến thức nhằm:

- Thứ nhất: Tạo ra một lớp các vấn đề toán học và thực hành cụ thể của tri thức nhắm đến

- Thứ hai: Phân biệt những ý nghĩa khác nhau của cùng một tri thức bằng cách tạo ra các tình huống khác nhau từ quan điểm sư phạm nhưng tương đương nhau từ quan điểm tri thức (khía cạnh tri thức luận bao gồm lí do tồn tại của tri thức)

Cần thiết phải xác định tập hợp các tình huống có khả năng làm cho một khái niệm hoạt động, trao cho nó ý nghĩa khác nhau của khái niệm tương ứng Chỉ có sự khác nhau của các tình huống, nhân tố ảnh hưởng đến khái niệm, là trong lĩnh vực didactic, chúng là kết quả của các biến được xác định trong từng trường hợp

(Brousseau, 1981, tr.109)

- Thứ ba: Tạo ra các thực nghiệm ứng với một kiến thức (Đồ án dạy học)

- Thứ tư: Nghiên cứu các điều kiện tồn tại của một kiến thức trong một thực tế trường học nào đó và lí do của những khó khăn quan sát được

(Đọc về vấn đề này trong bài báo của Guy Brousseau 1995 về định lí Thalès)

1.2 Nguồn gốc của việc giới thiệu khái niệm biến trong lý thuyết nhân học didactic

Những nghiên cứu của nhóm MeTAH đã cho thấy sự cần thiết phải mô hình hóa tin học về các đối tượng tri thức cần dạy và đặt ra nhu cầu trang bị các công cụ để trang bị các công cụ quản trị cho môi trường tin học để tạo ra các

dự đoán các phản hồi cho học sinh và giáo viên…

Từ sự cần thiết này, Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã phát triển khung tham chiếu T4TEL của Chaachoua, Ferraton, Desmoulins (2013)

và Chaachoua (2015) Trong T4TEL, T4 gợi nhớ bộ tứ của TCTT (Kiểu nhiệm

vụ, Kĩ thuật, Công nghệ, Lí thuyết) và TEL nghĩa là Công nghệ Hỗ trợ Học tập

Từ việc mô hình hóa, Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã chỉ ra sự cần thiết cần phải giới thiệu khái niệm biến để hình thức hoá và cấu trúc các kiểu nhiệm vụ, đối tượng đầu tiên của T4TEL

Ngoài ra, mô hình hoá biến trong nghiên cứu didactic bằng thuyết nhân học cũng có các lợi ích tương tự như khi nghiên cứu thông qua lý thuyết tình huống

1.3 Hình thức hóa hoạt động trong mô hình tổ chức tri thức T4TEL

Từ định nghĩa của Chevallard (1989), ta hiểu một KNV T trong một TCTT thời điểm có thể có nhiều kĩ thuật 𝜏𝑖 để giải quyết Vì thế một TCTT thời điểm

có thể gồm nhiều khối thực hành [T, 𝜏𝑖] Trong T4TEL, để quản trị được mô hình, chúng tôi định nghĩa cho mỗi kĩ thuật thực hiện cùng một kiểu nhiệm vụ

T một tổ chức tri thức thời điểm cơ sở: số TCTT thời điểm cơ sở bằng số kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T

Những điều kiện và những ràng buộc nào làm giảm phạm vi của các kĩ thuật hoặc của các TCTT thời điểm cơ sở trong một thể chế đang xét?

1.3.1 Định nghĩa kiểu nhiệm vụ và kiểu nhiệm vụ con trong T4TEL

Đầu tiên chúng ta quan tâm đến khái niệm KNV Thông thường, điều mà các nhà nghiên cứu thấy được trong một thể chế chỉ là một nhiệm vụ cụ thể Vậy làm sao để định nghĩa một KNV hay làm sao để nhóm các nhiệm vụ thành một nhóm? Bước đầu tiên có thể nhóm các nhiệm vụ bằng các loại nhiệm vụ như “tính”, “chứng minh”, v.v., tiếp theo, phân biệt chúng dựa vào các đối tượng chung và dựa vào các phương tiện chung để thực hiện các nhiệm vụ Chú

ý rằng, với một thể chế nào đó, ta sẽ chỉ xem xét các kiểu nhiệm vụ chứa ít nhất một kĩ thuật

Một kiểu nhiệm vụ T được Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) định

nghĩa một tập hợp các nhiệm vụ sao cho:

(1) Mọi nhiệm vụ được mô tả bởi một động từ hành động và những bổ nghĩa

cố định, lấy từ các đối tượng của một môn học

(2) Tồn tại một kĩ thuật  thực hiện ít nhất một nhiệm vụ của T

(3) Nếu  là một kĩ thuật giải quyết được một nhiệm vụ t của T thì hoặc phạm

vi của kĩ thuật , kí hiệu P(), là một tập con của T, hoặc T là một tập con của

P()

Điều kiện (3) cho phép giới thiệu mối quan hệ sau đây giữa một số kiểu nhiệm

vụ T và T’: "T tổng quát hơn T’" hay ngược lại " T’ đặc biệt hơn T"

Ta nói rằng T’ là một kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T nếu :

- T’ là một tập con của T

- T’ là một kiểu nhiệm vụ

Ví dụ, ta hãy xem xét KNV T: "Tính góc hợp bởi trục hoành và đồ thị hàm

số 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏" Tồn tại một kĩ thuật thực hiện mọi nhiệm vụ này là kĩ thuật dựa vào hệ số góc a của hàm số a = tan 𝛼 Tồn tại những kĩ thuật khác chẳng hạn kĩ thuật dựa trên việc vẽ hình, xét tam giác tạo bởi gốc tọa độ và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành cho phép thực hiện các nhiệm vụ

"tính các góc khi có tọa độ các đỉnh của tam giác" Ta có thể xem tập các nhiệm

vụ này như là một kiểu nhiệm vụ T’ của T

1.3.2 Mô tả các kĩ thuật trong T4TEL

Trong T4TEL, một kỹ thuật τ được miêu tả như là một tập hợp của các

kiểu nhiệm vụ {(Ti)i} có thể ở hai dạng:

- Dạng 1: Các KNV (Ti)i chỉ tồn tại thông qua việc thực hiện các kỹ thuật của một số kiểu nhiệm vụ khác, được gọi là các kiểu nhiệm vụ bên trong

Ví dụ, trong thể chế dạy học Toán lớp 9 ở Việt Nam, KNV “Tính ∆” chỉ xuất hiện trong kỹ thuật giải quyết các KNV có liên quan đến “Giải” hoặc “Biện luận phương trình bậc hai”, chứ không được tách thành một KNV riêng biệt, không được thể chế quy định để dạy như một TCTT

- Dạng 2: Các kiểu nhiệm vụ này được thể chế quy định đối với học sinh, được gọi là các KNV bên ngoài

Ví dụ, KNV "Khảo sát và vẽ đồ thị hàm só 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑎 ≠ 0)"

ở thể chế dạy học toán 12 Việt Nam có kỹ thuật "Tìm lim

𝑥→+∞𝑦", đây là một KNV bên ngoài vì đã được quy định dạy như một TCTT ở chương trình Giải tích 11

1.4 Tại sao có khái niệm biến trong T4TEL?

Trong T4TEL, một KNV thường được bắt đầu bằng một động từ như

“tính”, “chứng minh”, “rút gọn”, … theo sau động từ là một cụm danh từ bổ nghĩa cho động từ đó (bổ thể) Bổ thể được định nghĩa theo các mức độ từ đặc

biệt đến tổng quát Ví dụ, "Cộng hai phân số" thì tổng quát hơn kiểu nhiệm vụ

"Tính tổng hai phân số có cùng mẫu số"

Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã dựa vào phạm vi của các kĩ thuật để tổ chức và cấu trúc các TCTT của một môn học hay một lĩnh vực của

Để tính đến các mối liên hệ này và quản trị mối quan hệ đó, Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã giới thiệu các khái niệm biến và hệ sinh các kiểu nhiệm vụ

1.5 Khái niệm hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến

Một hệ sinh của KNV (générateur de type de tâches) được định nghĩa bởi một KNV và một hệ thống các biến Đối tượng mới này cho phép cấu trúc một

hệ thống các KNV theo nhu cầu của một nghiên cứu

Hệ thống các biến nhằm chỉ một danh sách các biến với các giá trị mà chúng có thể nhận

Các biến của một hệ sinh của một kiểu nhiệm vụ nhận các giá trị trong lĩnh vực của môn học Các giá trị này sinh ra các kiểu nhiệm vụ đặc biệt hơn

kiểu nhiệm vụ T

Các giá trị của các biến trong một hệ sinh của kiểu nhiệm vụ giúp cho việc phân biệt bộ ba quan điểm về biến: tri thức luận, thể chế và sư phạm:

- Quan điểm tri thức luận:

Một biến và các giá trị của nó được nhìn từ quan điểm tri thức luận nếu việc thay đổi giá trị của biến dẫn đến sự thay đổi của phạm vi kĩ thuật của một kiểu nhiệm vụ

- Quan điểm thể chế:

Đặt trong một thể chế, các ràng buộc và các điều kiện không chỉ giới hạn các kiểu nhiệm vụ mà còn giới hạn các giá trị của biến trong một kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong thể chế

Một biến và các giá trị của nó mô hình hoá các điều kiện và các ràng buộc rõ ràng hay ngầm ẩn (liên quan đến các mức độ của thang mã hoá) Với các điều kiện và ràng buộc này, một TCTT tồn tại hay có thể tồn tại trong thể chế đang xét Sự phân chia thành các giá trị của một biến có thể không thích đáng về mặt tri thức luận

- Quan điểm didactic:

Một biến didactic là một biến thể chế và có thể được giáo viên quản trị Một biến didactic trong một thể chế này có thể không phải là biến didactic trong thể chế khác

Chức năng của hệ thống các biến trong hệ sinh các KNV:

- Chức năng thứ nhất của biến là sinh ra các kiểu nhiệm vụ con bằng cách thay

đổi giá trị trên các biến này Những kiểu nhiệm vụ con này có thể có các kĩ thuật đặc biệt

- Chức năng thứ hai của biến là cho phép đặc trưng hoá phạm vi của các kĩ

thuật

Hai chức năng này xuất hiện để thực hiện các phân tích tiên nghiệm (theo quan

điểm tri thức luận và sư phạm) và quản trị tiến trình học tập bằng cách thay đổi các giá trị cho các biến Đặc biệt, việc xây dựng một mô hình TCTT tham chiếu

cho một lĩnh vực toán học (theo nghĩa các thang mã hoá) bằng cách giải thích các biến và các giá trị có thể của biến

Chức năng thứ ba của khái niệm biến là kiểm tra TCTT cá nhân của học sinh

sư phạm gắn với thành phần công nghệ của một TCTT

1.6 Tổ chức tri thức cá nhân

Tổ chức tri thức của thể chế ít khi tương ứng với tổ chức tri thức thực sự được học

Đối mặt với một kiểu nhiệm vụ T, thể chế mong đợi một học sinh thực

hiện một kĩ thuật dựa trên một tổ chức toán học trong thể chế gắn với kiểu

nhiệm vụ T Sự không tuân thủ của mối quan hệ cá nhân với T (từ quan điểm

của thể chế) dẫn đến việc thực hiện một kĩ thuật hoặc hợp thức về mặt khoa học nhưng không thích hợp với thể chế hoặc không hợp thức về mặt khoa học (Nguyen, Chaachoua & Comiti, 2007) Các kĩ thuật này được phân biệt với các

kĩ thuật của thể chế và trong một số trường hợp khoảng cách giữa kĩ thuật τ của học sinh và kĩ thuật mong đợi của thể chế có thể được mô hình hoá theo cách

như sau: đối mặt với một nhiệm vụ t, học sinh cảm nhận nó như một kiểu nhiệm

vụ khác với kiểu nhiệm vụ của thể chế, thậm chí như là không tồn tại trong thể chế

Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã gọi TCTT cá nhân là một

bộ 4 thành phần như trong TCTT:

– Một kiểu nhiệm vụ cá nhân là tập hợp các nhiệm vụ mà mà chủ thể cảm thấy chúng tương tự nhau, và ta có thể quan sát thấy sự cảm nhận tương tự này quan

kĩ thuật mà chủ thể sử dụng để giải quyết nó Hai kiểu nhiệm vụ cá nhân là phân biệt nếu các kĩ thuật cá nhân tương ứng cũng phân biệt Sự phân chia thành các kiểu nhiệm vụ cá nhân không cần phải tương ứng với các kiểu nhiệm

vụ của thể chế: có thể đặc trưng hoá sự phân chia này bằng các giá trị của biến

và chúng có thể không thích hợp từ quan điểm thể chế

– Một kĩ thuật cá nhân cho phép giải quyết một kiểu nhiệm vụ cá nhân duy nhất: nó có thể đúng – được mong đợi hay không trong thể chế, sai Kĩ thuật này phải ít nhiều ổn định trong một khoảng thời gian để thực hiện một kiểu nhiệm vụ cá nhân

– Giả thuyết rằng tồn tại ngầm ẩn hay tường minh một công nghệ cá nhân Điều này là quan trọng từ quan điểm nghiên cứu để giải thích nguồn gốc của các kĩ thuật cá nhân không chỉ trong các điều kiện và ràng buộc thể chế mà còn trong đời quá trình sống và học tập của học sinh

– Cũng như trong mô hình TCTT của thể chế, một lí thuyết cá nhân giải thích cho công nghệ cá nhân

1.7 Kết luận

Qua bài báo của mình, Hamid Chaachoua và Annie Bessot (2016) đã cho thấy sự hợp lí vàvà nhiều hữu ích khi giới thiệu khái niệm biến gắn kết với định nghĩa hệ sinh kiểu nhiệm vụ nhằm thể hiện mô hình TCTT thành mô hình quản trị được T4TEL Một trong những điểm mạnh của sự thể hiện này là sự cấu trúc các giá trị của biến Điều này dẫn đến một sự cấu trúc các TCTT dựa trên sự quản trị được của mô hình

Trong T4TEL, các giá trị của cùng một biến có thể giúp các nhà nghiên cứu xác định các đặc trưng của:

- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế

- Khả năng lựa chọn các kiểu nhiệm vụ của giáo viên để thực hiện nghiên cứu

- Các TCTT cá nhân dựa trên các giá trị không phù hợp với thể chế

Hamid Chaachoua và Annie Bessot cũng ghi nhận như Michèle Artaud (2016) rằng cần phải dự kiến các kiểu nhiệm vụ như là các TCTT động khi tổ chức nghiên cứu một tri thức, các kiểu nhiệm vụ này thường không thấy được khi nghiên cứu các thời điểm nảy sinh của một vấn đề, chủ đề hay một phần

Mô hình T4TEL cần phải:

- Phân biệt các kiểu nhiệm vụ didactic này với các nhiệm vụ toán học được quy định trong tiến trình học tập

- Để xem xét tính động dựa trên sự nối khớp giữa các kiểu nhiệm vụ khác nhau (didactic và toán học)

Như vậy, khi xây dựng được một hệ thống sinh KNV sẽ giúp ích nhiều trong nghiên cứu của chúng tôi trong việc có thể tổ chức lại và quản trị các KNV liên quan đến vấn đề chúng tôi quan tâm; tạo cơ sở để có thể dự đoán những KNV có thể được đưa vào dạy học cho học sinh trong thời gian tới; đồng thời, việc nghiên cứu các biến trong hệ thống các KNV còn tạo điều kiện để nghiên cứu các TCTT cá nhân của học sinh

Vì vậy trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ xây dựng một hệ thống sinh các KNV để nghiên cứu các bài toán liên quan đến việc tính quãng đường trong khoảng thời gian từ a đến b khi biết hàm số vận tốc

Chương 2 BÀI TOÁN TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG

TRONG DẠY HỌC TOÁN HIỆN HÀNH

Dạy học toán hiện hành là thể chế dạy học bị ảnh hưởng bởi hai nhân tố quan trọng là SGK hiện hành và đề thi THPTQG Như vậy trong chương này chúng tôi sẽ tổng hợp các kết quả và phân tích SGK và đề thi THPTQG năm

2017 để trả lời CH1: Những KNV nào trong ngữ cảnh vật lí xoay quanh khái

niệm tích phân được trình bày trong SGK toán hiện hành? KNV T-VL có xuất hiện không? Nếu có thì những kỹ thuật nào đã được đưa ra để giải quyết KNV này? Nếu không, chúng ta có thể dự đoán có những kỹ thuật nào để giải quyết T-VL?

Như đã đề cập trong chương trước, trong chương này chúng tôi cũng sẽ tiến hành xây dựng hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến để tiến hành phân tích các vần đề trên

Để thực hiện điều đó chúng tôi tham khảo kết quả của công trình nghiên cứu sau:

- Chaachoua, H., Bessot, A (2016) Introduction de la notion de variable dans

le modèle praxéologique, Equipe MeTAH, Laboratoire LIG, Université Grenoble Alpes, France

- Đậu Thanh Huyền (2016) Dạy học khái niệm tích phân ở bậc trung học phổ thông theo quan điểm liên môn, Luận văn thạc sĩ trường đại học Sư phạm TP

Hồ Chí Minh

- Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012) Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp 12 Luận văn thạc sĩ trường đại học Sư phạm TP Hồ Chí

Minh

2.1 Hệ sinh của kiểu nhiệm vụ và hệ thống các biến liên quan đến bài tính quãng đường đi được của một chất điểm khi biết hàm vận tốc

Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu cấu trúc của các TCTT thời điểm

gắn với kiểu nhiệm vụ T "Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc theo thời

gian" bằng cách gắn T với một hệ các biến {V1, V2}

V1: “Hình thức biểu đạt của hàm vận tốc” có thể có những giá trị như sau:

GT = [Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc theo thời gian; V 1 , V 2 ]

Việc chọn lựa các giá trị của một hay nhiều biến của GT tạo ra một tập hợp có cấu trúc về các kiểu nhiệm vụ con

Ví dụ, kiểu nhiệm vụ con "Tính quãng đường một vật đi được khi cho biểu thức

tọa độ của hàm vận tốc" được viết với hình thức T1 = (Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc; V1 là biểu thức đại số) Hình thức này chỉ ra rằng T1 được phát sinh từ hệ sinh kiểu nhiệm vụ GT Việc thiếu V2 cho thấy rằng mọi giá trị của V2 đều có thể

Chúng tôi sẽ xét các KNV con trong hệ sinh KNV GT = [Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc theo thời gian; V1, V2] như sau:

2.1.1 KNV T BT

KNV con TBT: “Tính quãng đường đi được của một chất điểm trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b khi biết biểu thức đại số của hàm vận

tốc v = f(t)” (Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc theo thời gian; V1 là biểu thức đại số) Ở KNV con này, ta không xét đến biến V2 bởi vì mọi giá trị của biến V2 ta đều có thể sử dụng kĩ thuật 𝜏𝐵𝑇 mà chúng tôi phân tích phía sau

để giải, tức V2 không làm ảnh hưởng đến kỹ thuật giải KNV này

Theo nghiên cứu của Đậu Thanh Huyền (2016), KNV này có xuất hiện trong SGK12NC:

VD1:

[SGK12NC, tr.151] Dựa vào những phân tích của tác giả, chúng tôi mô hình lại kĩ thuật được SGK trình bày để giải quyết này như sau:

 Kĩ thuật 𝜏𝐵𝑇:

Đặt 𝑣 = 𝑓(𝑡) Trong kỹ thuật này ta sẽ tiến hành tính 𝑠 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 :

- Sử dụng công thức nguyên hàm để tìm 𝐹(𝑡) là nguyên hàm của 𝑣 = 𝑓(𝑡)

- Tính quãng đường theo công thức 𝑠 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎)

Kĩ thuật này có thể được thay thế bằng cách sử dụng máy tính cầm tay

Để giải thích cho kỹ thuật trên, SGK12NC trình bày như sau:

[SGK12NC, tr.151]

Từ đó ta có được yếu tố công nghệ 𝜃𝐵𝑇: “Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ” và công thức Newton – Leibniz, bảng nguyên hàm cơ bản, phương pháp tính tích phân, giá trị đặc biệt của các hàm sơ cấp cơ bản

Để trả lời câu hỏi H3 mà SGV12NC trang 192 có nêu: “Kết luận suy ra từ định nghĩa và ý nghĩa cơ học của đạo hàm” Chúng tôi nhận thấy rằng ở đây SGV đã sử dụng ý nghĩa “Tích phân và mối quan hệ ngược với đạo hàm” để giải thích cho yếu tố công nghệ trên Ta có lý thuyết Θ𝐵𝑇: “Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 𝑡0 là đạo hàm của hàm số 𝑠 = 𝑠(𝑡) tại 𝑡0; Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm”

Như vậy, khi cho biết trước được biểu thức đại số của hàm vận tốc, thì việc tính quãng đường trở nên khá đơn giản không đòi hỏi nhiều kĩ thuật giải của học sinh Học sinh chỉ cần biết được ý nghĩa “Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ” rồi tính toán KNV này trở thành KNV cơ bản trong hệ thống các KNV GT, là một trong những cơ sở để giải quyết các KNV khác trong hệ thống này

KNV này không xuất hiện trực tiếp trong SGK12CB, tuy nhiên ở một KNV khác, trong kĩ thuật giải của bài toán ở SGV12NC, KNV này đã xuất hiện như một nhiệm vụ con

[SGK12NC, tr.176]

Để giải quyết bài toán này, SGV12NC đã thực hiện:

[SGV12NC, tr.215] Như vậy, từ KNV “Tính quãng đường đi được của một chất điểm trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b khi hàm vận tốc v(t) được biểu đạt bằng lời” (KNV này chúng tôi sẽ đề cập ở phần sau của luận văn), ta thấy đã

có sự chuyển đổi phương thức biểu đạt của hàm vận tốc từ dạng lời sang dạng

đồ thị để giải quyết bài toán Chúng tôi sẽ phân tích kỹ hơn phần này trong phần sau của luận văn, sau khi đã tìm hiểu về KNV “Tính quãng đường đi được của

một chất điểm trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b khi hàm

vận tốc v(t) được biểu đạt bằng lời”

Để thuận tiện cho quá trình phân tích, chúng tôi đưa ra một ví dụ tương tự

để minh họa cho KNV TĐT1:

VD2: Tính quãng đường đi được của một xe ô tô trong ba giờ đầu tiên, biết rằng vận tốc của xe được biểu diễn như hình bên dưới:

Trong bài 49 nêu trên, nếu chỉ xét nhiệm vụ tính quãng đường đi được của chất điểm A và chất điểm B sau khi đã vẽ hình, chúng tôi thấy rằng SGV12NC đã

sử dụng kỹ thuật tính diện tích để giải quyết nhiệm vụ này:

 Kỹ thuật 𝜏𝐷𝑇: Tính diện tích

Do “quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b là ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 ” và “diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎 và 𝑥 = 𝑏 là ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 ” nên ta

có thể tính quãng đường bằng cách tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số 𝑓(𝑡), trục hoành và hai đường thẳng 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏 Ta có thể

mô tả kỹ thuật 𝜏𝐷𝑇 như sau:

- Đặt tên các điểm trên đồ thị

2 3 t

v

20

Hình 2.1 Ví dụ về KNV T ĐT

- Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑓(𝑡), trục hoành và hai đường thẳng 𝑡 = 𝑎 và 𝑡 = 𝑏 bằng các công thức tính diện tích của các hình như diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, v.v

Khi thực hiện theo kỹ thuật τDT, VD2 có thể được giải quyết như sau:

- Đặt tên các đỉnh như hình dưới

- Trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giờ hàm vận tốc có đồ thị là đường liền nét

Ta đã biết quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ a đến b là s =

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.𝑎𝑏 Mà ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑏 là diện tích S của hình thang giới hạn bởi đồ thị hàm

số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏

Do đó để tính quãng đường vật đi được ta tính diện tích của hình thang OABC:

𝑆𝑂𝐴𝐵𝐶 =1

2(𝐴𝐵 + 𝑂𝐶) 𝐵𝐶 = 1

2(1 + 3) 20 = 40 Vậy quãng đường mà vật đi được trong 3 giờ đầu là 40 km

Ngoài kĩ thuật trên, chúng tôi cũng dự đoán các kĩ thuật khác có thể để giải quyết KNV này như sau:

 Kỹ thuật 𝜏𝐵𝑇: Tìm biểu thức đại số

- Đặt 𝑣 = 𝑓(𝑡)

- Đặt biểu thức đại số dạng chung của đồ thị hàm vận tốc

+ Nếu đồ thị hàm số là đường thẳng song song với trục hoành (hàm hằng) thì 𝑓(𝑡) = 𝑡0

Hình 2.2 Mô tả kỹ thuật 𝝉𝑫𝑻

+ Nếu đồ thị hàm số là đường thẳng không song song với trục hoành (hàm bậc nhất) thì 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑡 + 𝑏, với 𝑎 ≠ 0

- Thay tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số vào biểu thức dạng chung, giải phương trình, hệ phương trình có được để tìm ra biểu thức đại số của hàm vận tốc

- Nếu đồ thị 𝑓(𝑡) gồm nhiều phần hợp lại thì tìm biểu thức đại số của hàm số cho từng phần đó

- Khi tìm được công thức của hàm vận tốc thì KVN này đã trở thành KNV TBT Học sinh vận dụng kĩ thuật của KNV TBT để tiếp tục giải quyết KNV này Như vậy, KNV TBT là một kĩ thuật để giải quyết KNV TĐT1 hay ta nói KNV

𝑏 𝑎Trong khoảng từ 2 đến 3 giờ hàm vận tốc đường thẳng song song với trục hoành

và đi qua điểm (2;20) nên hàm vận tốc có dạng 𝑓(𝑡) = 20, quãng đường vật

đi được trong khoảng từ 2 đến 3 giờ là:

𝑠2 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 20 = 20 (𝑘𝑚)

3 2

𝑏 𝑎Vậy quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giờ là:

s = 𝑠1+ 𝑠2 = 20 + 20 = 40 (𝑘𝑚)

 Kỹ thuật 𝜏𝑉𝐿: Công thức vật lý

Dựa vào diện tích, SGK vật lí lớp 10 và lớp 11 cũng đã xây dựng cho học sinh một số công thức tính quãng đường khi biết vận tốc và thời gian trong những

trường hợp đặc biệt như vận tốc không đổi, vận tốc biến đổi đều (đồ thị là một đường thẳng), …

Khi thực hiện theo kỹ thuật τVL, học sinh có thể làm các bước sau:

- Nếu chuyển động của vật là chuyển động thẳng đều (đồ thị hàm vận tốc là đường thẳng song song với trục hoành) thì tính 𝑠 = 𝑣𝑡,

- Nếu chuyển động của vật là chuyển động thẳng đều biến đổi đều (đồ thị hàm vận tốc là đường thẳng nhưng không song song với trục hoành) thì:

+ Tính gia tốc theo công thức 𝑎 = 𝑣1 −𝑣0

𝑡 , trong đó 𝑣0 là vận tốc đầu của chuyển động thẳng biến đổi đều, 𝑣1 là vận tốc lúc sau của chuyển động thẳng biến đổi đều, 𝑎 là gia tốc, t là thời gian của chuyển động ấy

+ Tính quãng đường đi theo công thức 𝑠 = 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2, trong đó 𝑠 là quãng đường, 𝑡 là thời gian, 𝑣0 là vận tốc đầu của chuyển động thẳng biến đổi đều, 𝑎

là gia tốc

- Nếu là chuyển động rơi tự do thì 𝑠 = 1

2𝑔𝑡2, trong đó s là quãng đường (m), g

là gia tốc trọng trường, t là thời gian

- Nếu đồ thị của hàm vận tốc được hợp bởi nhiều phần thì tính quãng đường trên từng phần rồi cộng lại

Theo kỹ thuật 𝜏𝑉𝐿, VD2 có thể được giải như sau:

- Trên khoảng thời gian 𝑡 = 0 đến 𝑡 = 2, ô tô chuyển động thẳng biến đổi đều: Gia tốc của chuyển động: 𝑎 = 𝑣1 −𝑣0

Như vậy, trong KNV TĐT1, ta thấy rằng các kỹ thuật τBT, τDT, τVL đều hữu hiệu, cho một kết quả “chính xác” Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng với KNV này, kỹ thuật diện tích phù hợp hơn vì với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, kỹ thuật này sẽ đưa được kết quả một cách nhanh chóng và đơn giản

 Xét KNV con T ĐT2 = (Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc; V 1 là đồ thị, V 2 là các hàm số khác học sinh đã học: hàm bậc hai, bậc ba, bậc bốn trùng phương,…)

Với KNV này, chúng tôi dự đoán các kỹ thuật để giải quyết KNV TĐT1

vẫn được áp dụng, tuy nhiên, kỹ thuật 𝜏𝐵𝑇 tỏ ra hữu hiệu hơn hai kỹ thuật còn lại Bởi vì trong KNV này, các hàm số mà học sinh đã học thì học sinh có thể biểu thức đại số của hàm vận tốc rối tính tích phân, còn trong hai kỹ thuật còn lại do chương trình không xây dựng các công thức tính diện tích của các hình thang cong hay công thức tính quãng đường trong trường hợp hàm vận tốc không là một đường thẳng, do đó ta phải sử dụng đến xấp xỉ đường cong thành đường thẳng để tính, kỹ thuật này thường không cho ta được một kết quả “chính xác”

VD3:

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h)

phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên

Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động,

đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và

trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn

lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả

Vận dụng kỹ thuật τBT, ta có thể giải VD3 như sau:

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I và trục đối xứng song song với trục tung nên gọi biểu thức hàm vận tốc 𝑣 = 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐

Do parabol đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 9) nên ta có:

{ 𝑓(0) = 𝑐 = 4

𝑓(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 9 ⟺ {

𝑐 = 44𝑎 + 2𝑏 = 5Mặt khác, parabol có đỉnh I (2; 9), tức là 𝑥1 = −𝑏

2𝑎 = 2 ⟹ 𝑏 = −4𝑎

Ta giải được {𝑎 =

−5 4

án mong muốn Ví dụ:

Đặt tên các điểm như hình:

Diện tích hình thang cong OADC (với DC là một phần parabol) gần bằng với diện tích hình thang vuông OADC (với DC là đường thẳng):

Dùng thước đo, ta xấp xỉ AD = 8

𝑆𝑂𝐴𝐷𝐶 =1.

2(OC + AD) OA = 1

2(4 + 8) 1 = 6 Diện tích hình chữ nhật ABDE:

án B thì gần hơn đáp án A (0,42 và 1,25), do đó có thể vận dụng kỹ thuật này

để đưa ra được đáp án đúng (đáp án B) Khi ta xấp xỉ tọa độ điểm D càng tốt thì kết quả nhận được càng gần với đáp án đúng

Ngoài ra, ta vẫn có thể kết hợp cả hai kỹ thuật để cùng giải quyết bài toán này: Áp dụng kỹ thuật τBT với các hàm số quen thuộc nhưng có đồ thị không

v

9

4

1 2 3 t Hình 2.3 Mô tả câu 41

phải là đường thẳng và áp dụng kỹ thuật τDT với các hàm số có đồ thị là đường thẳng:

 Tìm biểu thức tọa độ của parabol và tính quãng đường s1 trong khoảng thời gian từ 0 đến 1 giờ Giải như trên ta tính được 𝑓(𝑡) = −5

4 𝑡2+ 5𝑡 + 4 𝑓(1) = 31

 Tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian sau bằng cách tính diện tích hình chữ nhật ABED: s2 = SABED = 𝐴𝐷 𝐴𝐵 = 31

Với cách giải trên, khi tìm ra được biểu thức của hàm vận tốc 𝑓(𝑡) ta có thể không tính quãng đường s1 bằng cách tính tích phân của hàm số đó mà chỉ dùng biểu thức hàm vận tốc để tính được 𝑓(1), sau đó ta tính quãng đường s1

bằng cách tính diện tích hình thang OADC Tuy nhiên kỹ thuật này rắc rối và chỉ đưa ra một đáp án xấp xỉ với đáp án cần lựa chọn

Với KNV T ĐT3 = (Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc; V 1 là đồ thị, V 2 là các hàm số khác những hàm trên), chúng tôi nhận thấy rằng các kỹ

thuật sẽ bị hạn chế không thể đưa được một kết quả chính xác cho các nhiệm

vụ thuộc KNV này, phải dùng đến xấp xỉ để tính toán Vì vậy, trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi sẽ không xét đến KNV này

2.1.3 KNV T Lời

KNV TLời: “Tính quãng đường đi được của một chất điểm trong khoảng thời gian từ thời điểm a đến thời điểm b khi hàm vận tốc v(t) được biểu đạt bằng lời”

T Lời 1 = (Tính quãng đường khi biết hàm số vận tốc; V 1 là lời, V 2 là chỉ chứa hàm hằng hoặc hàm bậc nhất)

Chúng tôi nhận thấy rằng KNV này không xuất hiện trong SGK12CB Trong SGK12NC, như đã đề cập ở phần trước, KNV này xuất hiện trong bài

49 ở SGK12NC, trang 176 Ngoài ra, nó cũng xuất hiện rất thường xuyên trong dạy học vật lí:

VD3:

[SGK Vật lý 10 cơ bản, tr.22] Chúng tôi dự đoán trong KNV này cũng sẽ xuất hiện 3 chiến lược giải như KNV TĐT1 Tuy nhiên có điểm khác là nếu muốn sử dụng kỹ thuật τDT trong trường hợp này, giống như trong bài 49 học sinh cần chuyển đổi hình thức biểu đạt của hàm vận tốc từ dạng lời sang đồ thị sau đó mới tiến hành giải, tức là phải vẽ đồ thị của hàm vận tốc Do đó, chúng tôi cho rằng, trong trường hợp

mà hàm số vận tốc được cho dạng hàm hằng (chuyển động thẳng đều) hoặc hàm bậc nhất theo t (chuyển động thẳng biến đổi đều) thì kỹ thuật τVL sẽ chiếm

ưu thế hơn, bởi vì học sinh có thể áp dụng thẳng công thức đã có trong vật lý

để tính quãng đường mà không cần phải vẽ hình hoặc tìm biểu thức đại số Trong các trường hợp còn lại, để giải quyết KNV này học sinh sẽ phải chuyển đổi cách biểu đạt của hàm số vận tốc từ dạng lời sang dạng đồ thị hoặc công thức đại số và sử dụng kỹ thuật τDT hoặc kỹ thuật τBT

Nhìn chung để giải quyết các nhiệm vụ thuộc KNV TLời, nếu không sử dụng các công thức vật lý, người học cần huy động các phương pháp chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt để đưa về các dạng biểu đạt như bằng biểu thức