Dạy học phương pháp quy nap toán học trong chuyên đề ở lớp mười của chương trình giáo dục phổ thông 2018

Trong chương trình Trung học phổ thông THPT hiện hành, phương pháp quy nạp toán học PPQNTH được đưa vào giảng dạy ở lớp 11 nhưng với thời lượng và lượng bài tập khá ít, các dạng bài tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Hải Ngọc

DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG CHUYÊN ĐỀ

Ở LỚP MƯỜI CỦA CHƯƠNG TRÌNH

GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Hải Ngọc

DẠY HỌC PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP

TOÁN HỌC TRONG CHUYÊN ĐỀ

Ở LỚP MƯỜI CỦA CHƯƠNG TRÌNH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, không sao chép của ai, do tôi tự nghiên cứu, đọc, dịch tài liệu, tổng hợp và thực hiện Các số liệu, sử dụng phân tích trong luận văn có nguồn gốc rõ ràng, được trình bày trong mục tài liệu tham khảo Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan và phù hợp với thực tiễn của Việt Nam Nếu có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thái Bảo Thiên Trung – người hướng dẫn và cũng là người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ

và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Trung tâm Giáo dục Thường xuyên Chu Văn An và Ban giám hiệu cùng thầy Chân Đức – giáo viên Trường Trung học thực hành Đại học sư phạm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi có thể hoàn thành thực nghiệm của mình

Cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Thầy cô, đồng nghiệp để luận văn này hoàn thiện hơn và có thể ứng dụng trong giảng dạy cho chương trình Giáo dục môn Toán sắp tới

TÁC GIẢ

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ YẾU TỐ TRI THỨC LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 10

1.1 Suy luận quy nạp và phương pháp quy nạp toán học 10

1.2 Phương pháp quy nạp toán học 17

1.2.1 Một số yếu tố lịch sử của phương pháp quy nạp toán học 17

1.2.2 Cách tiếp cận tiên đề đối với các số tự nhiên, nguyên lý quy nạp toán học 20

1.2.3 Sự cần thiết và mối liên hệ giữa hai bước của phương pháp quy nạp toán học 24

1.2.4 Thực trạng giáo viên và học sinh trong việc hiểu và vận dụng PPQNTH 27

1.3 Ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học 31

1.3.1 Quy nạp với bài toán chứng minh thuần túy 31

1.3.2 Quy nạp trong việc phát hiện quy luật và chứng minh quy luật đó 34

1.3.3 Quy nạp với bài toán rời rạc 40

1.4 Kết luận 42

Chương 2 THIẾT KẾ DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH 2018 45

2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong chương trình 2018 45

2.1.1 Vị trí của chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học 45

2.1.2 Yêu cầu cần đạt về kiến thức 46

2.2 Năng lực toán học và các quy trình dạy học 47

2.2.1 Quan niệm về năng lực, năng lực toán học 47

2.2.2 Năng lực giao tiếp toán học 48

2.2.3 Tranh luận khoa học – một đồ án dạy học và vai trò đối với việc phát triển năng lực giao tiếp toán học 51

2.2.4 Các quy trình dạy học có sự tham gia của tranh luận khoa học 52

2.2.5 Các quy tắc tranh luận khoa học 54

2.3 Xây dựng kế hoạch dạy học 56

2.3.1 Mục tiêu 56

2.3.2 Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 57

2.3.3 Các hoạt động học 57

Chương 3 THỰC NGHIỆM 68

3.1 Mục tiêu thực nghiệm 68

3.2 Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm 68

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm 68

3.2.2 Hình thức thực nghiệm 68

3.3 Xây dựng thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm 68

3.3.1 Tình huống và lí do được lựa chọn 68

3.3.2 Xây dựng thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm 69

3.4 Phân tích hậu nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 80

3.4.1 Thực nghiệm ở học sinh Trung tâm GDTX 80

3.4.2 Thực nghiệm ở học sinh Trường THPT 85

3.5 Kết luận 90

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GDPT : Giáo dục phổ thông

GDPTTT : Giáo dục phổ thông tổng thể

GDTX : Giáo dục thường xuyên

GQVDTH : Năng lực giải quyết vấn đề toán học

GQVDST : Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo GTHT : Năng lực giao tiếp và hợp tác

GTTH : Giao tiếp toán học

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh thông qua PPQNTH 56

Bảng 2.2 Ma trận mục tiêu, phương pháp dạy học và cách thức đánh giá hoạt động 57

Bảng 2.3 Tóm tắt hoạt động của GV và HS trong hoạt động 1 60

Bảng 2.4 Tóm tắt hoạt động của GV và HS trong hoạt động 2 63

Bảng 2.5 Tóm tắt hoạt động của GV và HS trong hoạt động 3 65

Bảng 2.6 Tóm tắt hoạt động của GV và HS trong hoạt động 4 67

Bảng 3.1 Các chiến lược dự kiến xuất hiện ở câu hỏi 1 72

Bảng 3.2 Các chiến lược dự kiến xuất hiện ở câu hỏi 2 74

Bảng 3.3 Các chiến lược dự kiến xuất hiện ở câu hỏi 4 78

Bảng 3.4 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 1 của HS GDTX 80

Bảng 3.5 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 1 của nhóm GDTX 82

Bảng 3.6 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 2 của GDTX 84

Bảng 3.7 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 1 của HS THPT 86

Bảng 3.8 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 2 của HS THPT 87

Bảng 3.9 Thống kê các chiến lược xuất hiện ở câu hỏi 4 của HS THPT 89

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Mô hình domino 16

Hình 1.2 Nguyên lý quy nạp toán học 23

Hình 3.1 Bài làm của một HS thuộc Trung tâm GDTX 81

Hình 3.2 Bài làm của một nhóm thuộc Trung tâm GDTX 83

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

1.1 Những ghi nhận mở đầu và câu hỏi xuất phát

Ghi nhận 1 Toán học là một môn học khoa học suy diễn Các kết luận toán

học đều được chứng minh một cách chặt chẽ Nhưng trước khi có những kết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã phải xem xét những trường hợp cụ thể, riêng biệt Từ đó dự đoán về một mệnh đề hay định lí toán học nào đó trước khi chứng minh chúng Tuy nhiên, quá trình quy nạp đi từ tính chất của một số trường hợp cụ thể để suy ra tính chất tổng quát không phải lúc nào cũng đúng Phép suy luận này chỉ đúng khi nó thỏa mãn những điều kiện nhất định Trong toán học cũng vậy, quá trình suy luận này chỉ đúng khi nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp “Quy nạp toán học

là phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để khẳng định các mệnh đề toán học mà ta đi tới nhờ một quá trình quy nạp nào đó” (Polya, 2010) Phương pháp quy nạp toán học là một trong những hình thức suy luận và là một phương pháp chứng minh cổ điển trong toán học, đồng thời cũng là công cụ đắc lực

hỗ trợ trong một số bài toán mà nếu chúng ta giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường sẽ rất khó khăn và phức tạp

Trong chương trình Trung học phổ thông (THPT) hiện hành, phương pháp quy nạp toán học (PPQNTH) được đưa vào giảng dạy ở lớp 11 nhưng với thời lượng và lượng bài tập khá ít, các dạng bài tập chỉ dừng ở mức độ đơn giản, ít khai thác, phân tích mở rộng dẫn đến khi người học gặp bài toán dạng khác hay một số dạng không mẫu mực thì việc áp dụng phương pháp quy nạp toán học trở nên khó khăn Sách giáo khoa cũng chưa nêu rõ ứng dụng của phương pháp này trong các lĩnh vực khác như Số học, Đại số, Hình học…“Có 2 tổ chức toán học liên quan đến phương pháp quy nạp toán học được đưa vào sách giáo khoa hiện hành, trong đó kiểu nhiệm vụ

TCM: “Chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n” chiếm ưu thế (78%)” (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Bên cạnh đó, học sinh chưa thực sự hiểu về mối quan hệ giữa các bước của phương pháp quy nạp toán học, các bước chứng minh chỉ mang tính hình thức, và nhiều học sinh không hiểu tại sao phải thực hiện các bước đó Ví dụ, tác giả Nguyễn

Xuân Tính đã chỉ ra trong nghiên cứu của mình rằng: “Trong bước quy nạp, khi chứng minh mệnh đề “A(k)  A(k+1)” đúng k 1, nhiều học sinh cho rằng chỉ cần chứng minh cho những k  2 vì chúng đã kiểm tra mệnh đề đúng với k = 1, trong khi sách giáo khoa yêu cầu chứng minh với k  1” (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Cũng trong công trình nghiên cứu của mình, tác giả Nguyễn Xuân Tính cũng tiến hành thực nghiệm trên cả hai chủ thể giáo viên, học sinh và rút ra được một số kết luận sau: phần lớn học sinh đồng nhất giữa suy luận quy nạp và phương pháp quy nạp toán học Học sinh cũng chưa thực sự hiểu về PPQNTH như mục tiêu của thể chế mong đợi Đối với họ, PPQNTH chỉ mang tính hình thức Giáo viên cũng không đặt nặng các lỗi thuộc về bản chất mà học sinh phạm phải khi thực hiện một chứng minh theo PPQNTH

Trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán ban hành năm 2018, phương pháp quy nạp toán học không còn xuất hiện trong chương trình lớp 11 nữa

mà được tách thành một chuyên đề học tập trong cụm chuyên đề ở lớp 10 Cụ thể, đối với cấp trung học phổ thông (viết tắt là THPT), môn Toán có hệ thống chuyên

đề học tập chuyên sâu và các nội dung học tập giúp học sinh nâng cao kiến thức, kĩ năng thực hành, vận dụng giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn., học sinh (đặc biệt là những học sinh có định hướng khoa học tự nhiên và công nghệ) sẽ có quyền được lựa chọn học hoặc không học một số chuyên đề học tập Và phương pháp quy nạp toán học là một trong những chuyên đề được đưa vào trong chương trình lớp

10 Điều này chứng tỏ phương pháp quy nạp toán học không còn là nội dung dạy học bắt buộc dành cho mọi học sinh Những yêu cầu cần đạt đối với nội dung này cũng được đưa ra cụ thể trong chương trình như sau:

 Mô tả được các bước chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp

 Chứng minh được tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học

 Vận dụng được phương pháp quy nạp toán học để giải quyết một số vấn đề thực tiễn (BGD, 2018)

Ghi nhận 2 Một trong những luận điểm cơ bản của đổi mới giáo dục nước ta

là dạy học theo hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học Theo Chương trình Giáo dục tổng thể ban hành ngày 26 tháng 12 năm 2018:

“Thực hiện các Nghị quyết của Đảng, Quốc hội và Quyết định của Thủ tướng Chính phủ, chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh; tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp học sinh phát triển hài hoà về thể chất và tinh thần, trở thành người học tích cực, tự tin, biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh các tri thức và kĩ năng nền tảng, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời; có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần thiết

để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động có văn hoá, cần

cù, sáng tạo, đáp ứng nhu cầu phát triển của cá nhân và yêu cầu của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ đất nước trong thời đại toàn cầu hoá và cách mạng công nghiệp mới” (BGD, 2018)

Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 cũng đề cập mục tiêu của môn học là hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực học sinh; phát triển các

kĩ năng học tập và tạo cơ hội cho các em được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn; tạo sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, toán học với thực tiễn và toán học với các môn học khác Trong định hướng nội dung của chương trình, giáo dục toán học không chỉ góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung mà còn có năng lực toán học – biểu hiện tập trung của năng lực tính toán

“Hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán” (BGD, 2018)

Như vậy, một trong những yêu cầu đặt ra đối với giáo viên giảng dạy bộ môn Toán là việc thiết kế các chủ đề dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh Phương pháp dạy học cũng phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và

tự học của học sinh

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi ban đầu:

1 Phương pháp quy nạp toán học được đề cập như thế nào trong chương trình Toán 2018?

2 Dạy học phương pháp quy nạp toán học ở trường phổ thông phù hợp để phát triển những thành tố nào của năng lực toán học cho học sinh? Dạy học PPQNTH như thế nào để phát triển các năng lực đó?

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu

Trong phần này, chúng tôi chọn phân tích, tổng hợp hai luận văn “Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông” của Nguyễn Xuân Tính và “Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông” của Nguyễn Thị Mỹ Lệ

Trong công trình của tác giả Nguyễn Xuân Tính, chúng tôi nhận thấy một số điểm như sau:

Tác giả đã đặt ra các câu hỏi nghiên cứu về hai vấn đề chính:

“1 Những đặc trưng tri thức luận của phép chứng minh quy nạp toán học

2 Sự xuất hiện của phép chứng minh quy nạp toán học trong thể chế THPT và

sự có mặt của các tính chất đặc trưng của nó” (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Ở vấn đề đầu tiên, tác giả đã đưa ra được những đặc trưng tri thức luận của phương pháp quy nạp toán học và chỉ ra sự khác nhau giữa suy luận quy nạp và phương pháp quy nạp toán học

Suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từ hiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung Còn phương pháp quy nạp toán học (PPQNTH) là phép suy luận đặc biệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quy nạp Tác giả cũng nhấn mạnh phương pháp quy nạp toán học không phải

là phương pháp suy luận quy nạp

Luận văn cũng đưa các giai đoạn lịch sử phát triển của phương pháp quy nạp toán học được chia thành hai giai đoạn dựa trên sự xuất hiện của định nghĩa số tự nhiên N

Dãy số tự nhiên 0, 1, 2, không có số tận cùng Thật vậy, nếu có một số tự nhiên n nào đó, thì ngay sau nó đã có thể viết số tự nhiên n+1

Ta nói rằng đó là một tập hợp vô hạn Việc chuyển từng bước liên tiếp từ

n đến n+1 để sinh ra dãy số tự nhiên vô hạn là cơ sở của một trong những lập luận quan trọng nhất và điển hình nhất của toán học– nguyên lý quy nạp toán học (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Việc chuyển từng bước liên tiếp từ n đến n + 1 để sinh ra dãy số tự nhiên vô hạn là cơ sở của phương pháp quy nạp toán học Nhờ sự định nghĩa chính thức tập hợp số tự nhiên N mà PPQNTH bắt đầu được định nghĩa và sử dụng một cách tường minh Và việc sử dụng nó lại mang lợi ích trong việc chỉ ra các tính chất đặc trưng của tập hợp N

“PPQNTH là một phương pháp chứng minh chặt chẽ trong toán học, sử dụng nguyên lý quy nạp nhằm chứng minh các hàm mệnh đề A(n) đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc tổng quát hơn, với mọi phần tử thuộc một tập hợp vô hạn đếm được)” (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Tác giả cũng chỉ ra các đặc trưng của PPQNTH: gồm 2 bước, bước cơ sở kiểm tra một hoặc một số trường hợp cụ thể và bước quy nạp được nối khớp với bước cơ

sở Đây là phương pháp chứng minh chặt chẽ một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n (hoặc n liên quan tới tập vô hạn đếm được) và quy nạp theo một chỉ số nguyên n

“PPQNTH được xem như là công cụ để hợp thức hóa các kết quả riêng lẻ, là một kỹ thuật chứng minh các kết quả thu được và là một phương pháp giải toán Nguyên lý của PPQNTH có thể định nghĩa một dãy số theo công thức truy hồi” (Nguyễn Xuân Tính, 2012)

Tuy nhiên, trong một số bài toán liên quan tới tập hợp số nguyên n, giải bằng PPQNTH trở nên khá phức tạp, dài dòng và thường được thay bằng một phương pháp khác

Tác giả cũng đưa ra một số hình thức của nguyên lý quy nạp toán học và một

số sai lầm khi vận dụng PPQNTH chứng minh thiếu luận chứng và thiếu luận cứ trong khi chứng minh ở bước 2 (đã dựa vào mệnh đề sai hoặc mệnh đề chưa được chứng minh) Cụ thể, tác giả đã đưa hai ví dụ Một ví dụ về việc mệnh đề P(p) đúng nhưng phép kéo theo P k( ) P k(  1)không đúng với mọi k p và một ví dụ về

việc bỏ qua bước cơ sở (xét tính đúng sai của mệnh đề ở một hoặc một số trường hợp cụ thể) Điều này dẫn đến mệnh đề cần chứng minh là vô lí

Ở phần quan hệ thể chế, luận văn phân tích sách giáo khoa và sách giáo viên ở hai giai đoạn: từ 2000 đến 2007 và từ 2007 đến nay, đồng thời chỉ ra sự giống nhau

và khác nhau của cả hai giai đoạn Trong đó, tác giả nhấn mạnh nếu ở chương trình năm 2000 chỉ yêu cầu học sinh nắm và vận dụng PPQNTH vào giải quyết các bài toán đơn giản thì giai đoạn từ 2007 đến nay yêu cầu học sinh hiểu được và vận dụng vào giải toán Tuy nhiên, cách trình bày của SGK lại thiếu vắng đi những tình huống làm cho học sinh hiểu được nhu cầu sử dụng PPQNTH trong giải toán, đồng thời chưa cho học sinh thấy được sự cần thiết của hai bước trong PPQNTH và mối quan hệ giữa chúng Các bài toán đưa ra cũng chỉ chứng minh P(n) đúng với mọi n

mà không xuất hiện phản ví dụ hay các bài toán chứng minh P(n) sai với mọi n Tác giả đã đưa một số bài toán nhằm mục đích giúp học sinh hiểu được PPQNTH (bằng cách xác định tính đúng đắn của lời giải), tuy nhiên điều đó vẫn chưa làm học sinh nảy sinh nhu cầu sử dụng PPQNTH trong giải toán hay ứng dụng vào thực tế và các dạng toán chỉ xoay quanh vấn đề tính tổng, chia hết hay số nguyên tố

Trong công trình nghiên cứu “Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông” của tác giả Nguyễn Thị Mỹ Lệ (2015), chúng tôi nhận thấy một số điểm đặc biệt lưu ý sau:

Tác giả đã trình bày nguồn gốc và một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học, phân biệt giữa quy nạp và quy nạp toán học, ở mỗi ví dụ, tác giả đều trình bày cụ thể hai bước (bước cơ sở quy nạp và bước quy nạp) cũng như làm rõ tầm quan trọng của hai bước này thông qua các ví dụ và phản ví dụ Luận văn còn sưu tầm được hệ thống các bài toán phong phú về ứng dụng của PPQNTH trong các phân môn khác nhau Qua đó, chứng tỏ rằng PPQNTH không chỉ là một trong những công cụ được sử dụng đắc lực trong giải các bài toán cơ bản mà còn được vận dụng khá nhiều trong các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán học quốc tế

1.3 Lợi ích và tính cần thiết của đề tài

Nghiên cứu sẽ xây dựng một số hình thức dạy học nhằm giảng dạy chuyên đề

PPQNTH nằm trong chuỗi các cụm chuyên đề theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018 ở trường THPT Cụ thể, nghiên cứu sẽ chỉ ra sự cần thiết phải có đủ hai bước cũng như mối liên hệ giữa hai bước này trong PPQNTH Nghiên cứu cũng sẽ nêu rõ ứng dụng của phương pháp này trong giải quyết những vấn đề thực tiễn, qua

đó góp phần thúc đẩy việc phát triển một số thành tố của năng lực toán học

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu (cơ sở lý luận)

2.1 Lý thuyết Didactic

Chúng tôi sẽ vận dụng Hợp đồng didactic và thuyết nhân học với các khái niệm như mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức O, mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức O, các tổ chức toán học, cụ thể đối tượng O mà chúng tôi quan tâm là phương pháp quy nạp toán học, thể chế mà chúng tôi chọn là chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xem xét tới các tổ chức toán học trong thể chế THPT hiện hành để làm rõ sự khác biệt so với chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018

2.2 Các yếu tố lý luận khác

Chúng tôi sẽ làm rõ các yếu tố lý luận trong lĩnh vực tâm lí học và giáo dục học có liên quan tới năng lực

3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tƣợng nghiên cứu

Dạy học phương pháp quy nạp toán học trong Chương trình Giáo dục phổ thông năm 2018

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

4.1 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng đồ án dạy học chuyên đề phương pháp quy nạp toán học trong chương trình phổ thông lớp 10 nhằm góp phần phát triển một số thành tố của năng lực toán học cho học sinh

4.2 Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên đã khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi nghiên cứu:

Q1: Những đặc trưng tri thức luận nào của phương pháp quy nạp toán học

giải thích cho sự cần thiết phải có đủ hai bước cũng như mối liên hệ giữa hai bước này trong PPQNTH? Những bài toán có thể ứng dụng PPQNTH để giải quyết?

Q2: Phương pháp quy nạp toán học được đề cập như thế nào trong chương

trình Toán 2018? Các hoạt động dạy học nào phù hợp để dạy học nội dung PPQNTH đáp ứng yêu cầu của chương trình Toán 2018?

Q3: Dạy học phương pháp quy nạp toán học phù hợp để phát triển những năng

lực nào ở học sinh? Các hình thức dạy học nào tạo thuận lợi cho việc phát triển năng lực?

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phân tích, tổng hợp một số công trình nghiên cứu, tài liệu đã có để làm rõ phạm vi lý thuyết tham chiếu của đề tài

Phân tích chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018

5.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Xây dựng và triển khai thực nghiệm trên học sinh khối 10 ở Trường THPT và Trung tâm Giáo dục thường xuyên tại Thành phố Hồ Chí Minh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

Thu thập, tổng hợp và phân tích các tài liệu liên quan đến nội dung phương pháp quy nạp toán học, năng lực toán học và các thành tố của năng lực toán học, các hình thức dạy học nhằm phát triển năng lực của học sinh

Xây dựng câu hỏi thực nghiệm, tình huống thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và tiến hành thực nghiệm trên học sinh khối 10 tại Thành phố Hồ Chí Minh Thu phiếu thực nghiệm, thống kê và phân tích hậu nghiệm

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương nghiên cứu

MỞ ĐẦU

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, mục tiêu nghiên cứu, thiết lập lại câu hỏi nghiên cứu, phương pháp, nhiệm vụ nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1: Tổng hợp các đặc trưng tri thức luận của phương pháp quy nạp

toán học trong một số tài liệu hoặc công trình nghiên cứu liên quan nhằm giải thích cho kĩ thuật chứng minh của PPQNTH Ứng dụng của PPQNTH trong các lĩnh vực khác, đặc biệt trong các vấn đề thực tiễn

Chương 2: Phân tích, nghiên cứu chương trình, nghiên cứu các tài liệu hướng

dẫn giảng dạy liên quan tới PPQNTH trong chương trình GDPT môn Toán năm

2018 Từ đó đưa ra các hoạt động dạy học có thể đưa vào trong giảng dạy PPQNTH trong chương trình GDPT môn Toán năm 2018 Phân tích và tổng hợp các khái niệm của tâm lí học, giáo dục học liên quan tới năng lực toán học và các quy trình dạy học giúp phát triển các thành tố của năng lực toán học Từ đó, dự kiến, đề xuất quy trình dạy học chuyên đề phương pháp quy nạp toán học theo hướng phát triển năng lực toán học ở học sinh

Chương 3: Phần thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết, thực hiện trên đối

tượng học sinh

KẾT LUẬN

Chương 1 MỘT SỐ YẾU TỐ TRI THỨC LUẬN

VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Mục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp một số công trình tri thức luận và lịch sử về phương pháp quy nạp toán học nhằm làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình hình thành và phát triển của nó Cụ thể, bằng cách tham khảo một số nguồn tài liệu (Burton, 2011), (Cajori, 1918), (Nguyễn Xuân Tính, 2012) và (Polya, 2010), chúng tôi cố gắng đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi cần nghiên cứu sau:

Phương pháp quy nạp toán học xuất hiện làm gì? Một số tính chất đặc trưng tri thức luận của phương pháp quy nạp toán học?

Mối liên hệ giữa các bước trong chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học được thể hiện như thế nào? Một số chướng ngại trong tri thức luận của phương pháp quy nạp toán học?

Một số ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học?

Phương pháp quy nạp toán học được dịch ra từ tiếng Anh là mathematical induction, tiếng Pháp gọi là raisonnement par récurrence Đây là một thuật ngữ

toán học, có một số tác giả dịch là phương pháp chứng minh quy nạp toán học, có tác giả dịch là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp Vì có nhiều thuật ngữ tương tự nhau nên có thể dẫn đến hiểu nhầm giữa đối tượng này với suy luận quy nạp, tư duy quy nạp,…nhưng sau khi xem xét kỹ thì chúng khác với phương pháp quy nạp toán học Trong chương trình phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt Nam, người ta dùng thuật ngữ phương pháp quy nạp toán học (viết tắt là PPQNTH) nên trong luận văn này, chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ PPQNTH Như vậy, câu hỏi đặt ra là phương pháp quy nạp toán học có gì khác biệt

so với suy luận quy nạp?

1.1 Suy luận quy nạp và phương pháp quy nạp toán học

Theo Trần Hoàng, “suy luận là một hình thức tư duy trong đó xuất phát từ một hay một vài phán đoán đã có (gọi là tiền đề), người ta rút ra một phán đoán mới (gọi

là kết luận), theo những quy tắc logic xác định (gọi là lập luận hay luận chứng)” (Trần Hoàng, 2002) Theo Phạm Văn Hoàn, “suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, là quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định, xuất phát từ một hay nhiều vấn đề đã biết người ta đi đến phán đoán mới” (Phạm Văn Hoàn, 1981) Căn cứ theo cách thức lập luận, người ta thường phân chia suy luận thành ba loại: suy luận diễn dịch, suy luận quy nạp và suy luận loại tỉ Trong đó, suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch bổ sung cho nhau Suy luận quy nạp đi từ nhiều cái riêng đến cái chung Điều này giúp người ta có thể khái quát được các trường hợp riêng rẽ quan sát thấy trong khoa học và trong cuộc sống thành các quy luật chung, nghĩa là phát hiện ra các quy luật khách quan sau khi quan sát thấy nhiều biểu hiện cụ thể của chúng Có nhiều kết luận được các nhà toán học tìm ra nhờ sử dụng suy luận quy nạp, và chỉ sau đó họ mới chứng minh chúng bằng diễn dịch

Tuy nhiên, trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ quan tâm và đề cập tới suy luận quy nạp và làm rõ sự khác biệt của nó so với phương pháp quy nạp toán học

“Suy luận quy nạp (raisonnement par induction) là hình thức lập luận đi từ cái riêng lẻ đến cái phổ biến Suy luận quy nạp gồm hai loại cơ bản: suy luận quy nạp đầy đủ (hay quy nạp hoàn toàn) và suy luận quy nạp không đầy đủ (hay quy nạp không hoàn toàn) bao gồm quy nạp phổ thông và quy nạp khoa học” (Phạm Văn Hoàn, 1981)

Chúng tôi xét một cấu trúc của suy luận quy nạp như sau:

Đối tượng a1 có tính chất P

Đối tượng a2 có tính chất P

…

Đối tượng an có tính chất P

Các đối tượng a1, a2, …, an đều thuộc lớp S

Vậy mọi đối tượng thuộc lớp S đều có tính chất P

Nếu ngoài các đối tượng a1, a2, …, an, lớp S không còn đối tượng nào khác thì suy luận trên là suy luận quy nạp đầy đủ Ngược lại, nếu ngoài các đối tượng đã nói, lớp S còn có thêm các đối tượng khác thì suy luận trên là suy luận quy nạp không đầy đủ

Như vậy, suy luận quy nạp đầy đủ (hay còn gọi là quy nạp hoàn toàn, quy nạp hình thức, quy nạp nghiêm ngặt hay quy nạp Aristote) là phép suy luận trong đó kết luận chung được rút ra từ những tiền đề bao quát tất cả các đối tượng của một lớp nào đó Quy nạp đầy đủ cho ta một kết luận đáng tin cậy

Ví dụ 1: Mọi số chẵn trong khoảng [4;100] đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố

Muốn vậy, chúng ta phân tích

Suy luận quy nạp không đầy đủ (hay quy nạp không hoàn toàn, quy nạp phóng đại) lại là phép suy luận trong đó kết luận chung được rút ra từ một số tiền đề đại diện cho một lớp đối tượng nào đó Theo Phạm Văn Hoàn, “quy nạp không đầy đủ

là loại quy nạp trong đó, kết luận được rút ra nhằm khẳng định thuộc tính A thuộc

về tất cả các phần tử của tập hợp đang xét, trên cơ sở đó mới biết thuộc tính đó thuộc về một số phần tử mà thôi” (Phạm Văn Hoàn, 1981) Quy nạp không đầy đủ

có ý nghĩa nhận thức quan trọng và lớn hơn nhiều so với quy nạp đầy đủ và được vận dụng nhiều trong khoa học thực nghiệm Chẳng hạn bằng quy nạp không đầy

đủ, người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng: định luật này được Lômônôxốpphát biểu và chỉ được Lavoadiêkiểm tra sự đúng đắn của nó với

độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau

Ở quy nạp đầy đủ, kết luận không được phổ biến sang các đối tượng chưa được nghiên cứu Còn qua kết luận của quy nạp không đầy đủ thì lại diễn ra sự thuyên chuyển tri thức từ phần được nghiên cứu sang toàn bộ phần còn lại của lớp Nhưng cũng vì vậy mà quy nạp không đầy đủ lại hàm chứa những khiếm khuyết cơ bản của nó Kết luận của suy luận quy nạp không đầy đủ mang tính giả thuyết (các kết luận này nếu muốn áp dụng đều cần phải được kiểm nghiệm, chứng minh) Trong toán học, quy nạp không đầy đủ không phải là một phương pháp chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ áp dụng rất hạn chế Bởi vì một mệnh đề toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người không thể tiến hành kiểm tra một số hữu hạn các trường hợp được Chẳng hạn ở ví dụ trên, sau khi có kết quả đúng với 49 trường hợp ở ví dụ 1, ta chưa thể kết luận rằng mọi số tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố

Đương nhiên, suy luận quy nạp không đầy đủ lại là một phương pháp gợi mở

để tìm ra chân lý mới Chúng tôi xin được đưa ra ví dụ sau

Ví dụ 2: Xét tổng của n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên

Ví dụ 3: Ta xét số Fermat F n 22n 1 với n là một số nguyên không âm Nếu một số Fermat là số nguyên tố thì nó được gọi là số nguyên tố Fermat

Khi nghiên cứu các số có dạng 2

2 n 1, Fermat đã tính ra được với 0,1, 2,3, 4

n thì những số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố với mọi n là số tự nhiên

Điều đó có nghĩa là kết luận của nhà toán học Fermat là sai lầm

Ví dụ 4: Xét mệnh đề số P991n21 không là số chính phương với mọi n nguyên dương

Có nhiều dấu hiệu nhận biết một số không chính phương như: một chữ số tận cùng, hai chữ số tận cùng, dấu hiệu chia hết, dấu hiệu đồng dư,…

Với sự trợ giúp của các dấu hiệu nhận biết trên và máy tính, chúng ta có thể kiểm tra với n bằng 1;2;3;4; ;1000 thì các số P991n21 không là số chính phương Từ đó, nếu dựa trên suy luận quy nạp không đầy đủ thì ta có thể kết luận số

2

991 1

P n  không là số chính phương với mọi n nguyên dương

Tuy nhiên, một kết quả nghiên cứu cho thấy rằng với số n tự nhiên nhỏ nhất là

12 055 735 790 331 359 447 442 538 767 thì P991n21 là số chính phương Như vậy, mệnh đề trên là sai và việc phát hiện ra sai lầm là vô cùng khó so với việc phát hiện các số Fermat không nguyên tố

Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn, chẳng lẽ chúng ta thử tiếp cho đến khi nào gặp trường hợp riêng mà kết luận đó không đúng Nhưng điều đó cũng không thể đảm bảo rằng số lần thử là hữu hạn Trong nhiều trường hợp, để tránh khỏi những khó khăn như thế, ta sử dụng một

phương pháp suy luận đặc biệt gọi là phương pháp quy nạp toán học, cho phép thay thế những hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không đầy đủ bằng sự chứng minh chặt chẽ

Ví dụ 5: Chúng tôi xét lại công thức đã đưa ra ở ví dụ 2

S = 1+ 3+ 5 + 7 + 9 +11+13+15 mà đã biết rằng S = 1+ 3+ 5 + 7 + 9 +11+13 = 77 2

8

S = 7 +15 = 7 + 2.7 +1 = 7 +1 = 8

Khi ta tiếp tục thử với các giá trị tiếp theo của n và thấy đẳng thức trên đúng

Công thức có lẽ là tổng quát, tức là đúng với mọi giá trị của n Nhưng nó có còn

đúng không khi ta xét từ một giá trị k bất kì tới giá trị tiếp theo là k1

Sau khi chứng minh công thức trên với nk (nghĩa là ta có 2

k

S k ), ta chứng minh nó đúng với n k 1 Thật vậy:

2 2

2 3

… là các trường hợp riêng của phép tính

Bằng các phép biến đổi đại số, ta có thể kiểm nghiệm tính đúng đắn của nó Như vậy, công thức tìm ra bằng thực nghiệm đã được thử lại chặt chẽ và nó tổng quát Giả định của ta là đúng với n1 nên cũng phải đúng với n2, đã đúng với 2

n thì cũng phải đúng với n3 và cứ tiếp tục như vậy, công thức đúng với mọi giá trị của n Phép chứng minh từ n đến n1 là một bổ sung toán học cho quy nạp Điều đó giải thích cho tên gọi phương pháp quy nạp toán học

Một ví dụ minh họa cho PPQNTH là quy tắc ngã của các quân bài domino Ta xem xét một hàng domino được đánh số thứ tự từ 1 đến Đặt P n là mệnh đề  

domino thứ n bị đánh ngã Nếu domino đầu tiên bị ngã, tức là P 1 đúng và nếu,

bất cứ domino thứ k nào bị ngã và nó cũng đánh ngã domino thứ k 1, tức là nếu

có thể chứa một tin nhắn “Đã hoàn thành” Đây là nguyên tắc quy nạp toán học được áp dụng cho tập hợp hữu hạn, có thể được gọi là quy nạp hữu hạn Tất nhiên, nếu chồng phong bì được hoàn thành và mỗi phong bì đều được đánh số bằng các

số nguyên dương liên tiếp, bất kỳ ai làm theo hướng dẫn sẽ (nếu có đủ thời gian) sẽ

mở tất cả chúng thì nó hoàn toàn tương tự như phương pháp quy nạp toán học Các định lý sử dụng PPQNTH để chứng minh bao gồm công thức tính tổng, bất đẳng thức, định danh cho kết quả của tập hợp, kết quả chia hết, định lý về thuật toán và một số kết quả sáng tạo khác Ưu điểm của PPQNTH là ta có thể dùng nó

để chứng minh một định lý (có sẵn và dĩ nhiên là đúng) ngay cả khi ta không có ý tưởng dù là nhỏ nhất về việc chứng minh tính đúng đắn của định lý đó Tuy nhiên,

đó cũng là một hạn chế khi sử dụng Ta không thể tìm ra định lý mới dựa trên phương pháp quy nạp toán học khi không thể xác định được tính đúng đắn của mệnh đề đó

Tóm lại, suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từ hiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung Suy luận quy nạp bao gồm suy luận quy nạp đầy đủ và suy luận quy nạp không đầy đủ Kết luận tổng quát được rút ra của suy luận quy nạp đầy đủ dựa trên việc kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra (hữu hạn trường hợp) và kết luận này đúng với tất cả các trường hợp riêng Suy luận quy nạp không đầy đủ cho phép ta từ một vài trường hợp riêng để nhận xét và đưa ra kết luận chung và kết luận chỉ mang tính giả thuyết (có thể đúng hoặc sai)

Phương pháp quy nạp toán học không phải là phương pháp suy luận quy nạp Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quan hệ hợp tác với suy luận quy nạp không đầy đủ như sau: PPQNTH là một phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minh các mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trình suy luận quy nạp không đầy đủ nào đó Cơ sở của phương pháp này là nguyên lý quy nạp toán học mà chúng tôi chuẩn bị đề cập tiếp sau đây

1.2 Phương pháp quy nạp toán học

1.2.1 Một số yếu tố lịch sử của phương pháp quy nạp toán học

1.2.1.1 Giai đoạn trước khi định nghĩa số tự nhiên

Phương pháp quy nạp toán học được tìm thấy trong nhiều nguồn tài liệu độc lập đến từ các tác giả khác nhau: Jakob (James) Bernoulli của Thụy Sĩ, người Pháp

B Pascalvà P Fermat, nhà toán học người Ý Maurolycus

Phương pháp quy nạp toán học được tìm thấy đầu tiên trong tác phẩm của Franciscus Maurolycus (Francesco Maurolico hay Francesco hoặc Maurolyci) xuất bản năm 1575 Trong tác phẩm của mình, Maurolycus đã chứng minh quy nạp rằng mỗi số lẻ đều được hình thành bằng cách thêm số 2 vào số lẻ đứng trước nó Đây không phải là một chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học tường minh nhưng ý tưởng của ông đã xuất hiện

Proposition IV The odd numbers are obtained from unity by successive additions of 2 (Maurolycus uses this in Proposition VI in the form On + 2 =

On+1, i e., the nth odd number plus 2 equals the next odd number.)

Proposition VI Every integer plus the preceding integer equals the col lateral odd number." [In symbols this is n + (n - 1) = On] (Bussey, 1917)

Ý tưởng của Maurolycus như sau: định lý đưa ra là đúng trong trường hợp hai

số nguyên đầu tiên 1 và 2 Đây là bước đầu tiên trong một chứng minh bằng PPQNTH mà ta thường thấy Trong hai mệnh đề mà chúng tôi đưa ra ở trên, mệnh

đề IV cung cấp sự lập luận từ đến giá trị tiếp theo , sự lập luận ấy được diễn đạt lại bằng ngôn ngữ hiện đại như sau:

“Nếu n + (n - 1) = On , kết quả của việc thêm 1 + 1 vào bên trái và 2 vào bên phải là (n + 1) + n = On + 2 Theo mệnh đề IV, On + 2 = On+1 Do đó, (n + 1) + n =

On+1” (Bussey, 1917)

Tuy nhiên, trong tác phẩm của ông đã không nhắc đến lập luận này Như vậy,

ta thấy rằng ở Maurolycus đã có ý tưởng về PPQNTH nhưng chưa thực sự rõ ràng Một ví dụ khác, ông đưa ra mệnh đề rằng tổng của một số lượng số lẻ nhất định bắt đầu từ 1 là bình phương của một đại lượng, theo ngôn ngữ hiện đại thì tổng của số

lẻ đầu tiên bằng Và ông cũng chứng minh mệnh đề này dựa trên việc sử dụng mệnh đề mà ông đưa ra trước đó

“Proposition XIII Every square number plus the following odd number equals the following square number” (Bussey, 1917)

Những điều này cùng các ý tưởng khác tiếp tục được Blaise Pascal học hỏi và

có thể nói ông là người đầu tiên áp dụng phương pháp quy nạp toán học cho công thức tính tổng n số tự nhiên đầu tiên Sau đó, Pascal liên tục sử dụng và mở rộng quá trình lập luận này cho các vấn đề liên quan tới tam giác số học (ngày nay người

ta còn gọi là tam giác Pascal) (có thể tham khảo tại (Nguyễn Xuân Tính, 2012)) và chứng minh các công thức liên quan đến phép đếm số tổ hợp (tham khảo thêm tại (Bussey, 1917)) Tuy nhiên, cả Maurolico và Pascal đều không đưa ra tên gọi cho quá trình suy luận này Sau đó, trong Arithmetica infinitorum (1656), Wallis quyết định đặt tên cho thuật ngữ này Ở trang 15, ông dùng thuật ngữ “per modum inductionis” (tạm dịch là phương pháp quy nạp) để chứng minh rằng tỷ lệ của tổng bình phương số hạng đầu tiên so với ( ) có giới hạn bằng 1

3 (quá trình

chứng minh có thể tham khảo tại (Cajori, 1918) Bên cạnh đó, PPQNTH cũng được phát hiện độc lập bởi Fermat vào năm 1659

Quá trình của Fermat có khác một chút so với PPQNTH thông thường Trong bức thư mà ông viết cho Pierre de Carcavi vào năm 1659, ông nói với Carcavi rằng

đã phát hiện ra một phương pháp mới dựa trên tính chất giảm vô hạn và áp dụng thành công trong việc chứng minh một khối lượng đáng kể các vấn đề trong lý thuyết số Và ban đầu, ông chỉ sử dụng nó trong việc chứng minh bằng phản chứng hai mệnh đề “Không tồn tại tam giác vuông Pythagoras có diện tích là một số chính phương” (Quá trình chứng minh tham khảo tại (Nguyễn Xuân Tính, 2012)) và “Số

tự nhiên dạng không thể viết dưới dạng 2 2

3

x  y với là số tự nhiên” Phương pháp dựa trên tính chất giảm vô hạn trên – một phát biểu tương đương với tính sắp thứ tự tốt của tập hợp số tự nhiên

Phương pháp mới được Fermat thể hiện khi chứng minh mệnh đề “Mọi số nguyên tố có dạng đều có thể phân tích thành tổng của hai bình phương”

Nếu một số nguyên tố có dạng 4k + 1 được chọn ngẫu nhiên không được tạo thành hai bình phương, sẽ tồn tại một số nguyên tố khác nhỏ hơn số đã cho

và một số thứ ba vẫn nhỏ hơn và cứ thế giảm dần cho đến 5, là số nhỏ nhất trong tất cả các số nguyên dương thỏa theo lập luận trên, 5 không được tạo thành bởi tổng hai bình phương, mặc dù trên thực tế ngược lại Từ đó phải suy

ra, bằng cách dùng phương pháp phản chứng, rằng tất cả các số nguyên tố có dạng trên đều có thể phân tích thành tổng của hai bình phương (Bussey,1918).Người đưa ra nền tảng cơ bản của PPQNTH hiện đại lúc bấy giờ là Jakob Bernoulli, ông chỉ ra những vấn đề chưa hợp lí trong lập luận của Wallis và cải thiện nó bằng cách đưa ra sự lập luận từ đến trong một chứng minh về định

lí nhị thức Trong suy nghĩ của Bernoulli, vì sự không hoàn chỉnh của quy nạp mà sinh ra quy nạp toán học, nhưng ông cũng không đặt cho nó cái tên đặc biệt nào Vào đầu thế kỷ XIX, George Peacockđã sử dụng thuật ngữ “chứng minh quy nạp” trong chuyên luận về Đại số, Cambridge (1830) của mình để đặt tên cho phương pháp này

Thuật ngữ “Quy nạp toán học” chỉ bắt đầu xuất hiện lần đầu tiên trong phần cuối bài báo Induction (Mathematics) viết trong tập 12 của Penny Cyclopedia, London (1838) của Augustus De Morgan Mặc dù ông đã sử dụng thuật ngữ “Quy nạp liên tiếp” trong hầu hết các bài viết nhưng thuật ngữ “Quy nạp toán học” ở cuối bài báo mới gây sự chú ý với người đọc, tuy nhiên nó vẫn chưa được chứng minh lúc bấy giờ Cả hai cái tên của Peacock và De Morgan đều được Isaac Todhunter sử dụng để nói về phương pháp này nhưng ông chỉ sử dụng PPQNTH làm tiêu đề chương Một số tác giả viết sách phổ biến ở Mỹ và cả châu Âu đều dùng hai thuật ngữ này nhưng “quy nạp toán học” vẫn được sử dụng phổ biến hơn cả, thuật ngữ

“vollstandige Induktion” (còn gọi là quy nạp hoàn toàn) lại được sử dụng ở Đức

1.2.1.2 Giai đoạn sau khi định nghĩa số tự nhiên

Sau khi định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N ra đời, Dedekind đã định nghĩa chính thức quy nạp toán học trong một bài báo xuất bản năm 1887 Từ đó, thuật ngữ quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi hơn so với các thuật ngữ mô tả khác

1.2.2 Cách tiếp cận tiên đề đối với các số tự nhiên, nguyên lý quy nạp toán học

Các số nguyên dương có thể được trình bày bằng hệ tiên đề dưới đây Trong

đó, các khái niệm được chấp nhận (là nguyên thủy) gồm có tập *, số 1 và khái niệm số liền sau của một số nguyên dương

Các tiên đề sau đây tạo thành hệ tiên đề Peano về tập hợp số nguyên dương được xây dựng từ cuối thế kỉ XIX Lý thuyết có 3 khái niệm cơ bản và 5 tiên đề sử dụng 3 khái niệm trên Các tiên đề của Peano có thể được phát biểu như sau:

Tiên đề 1 1 là số nguyên dương

Tiên đề 2 1 không là số liền sau của bất kì số nguyên dương nào

Tiên đề 3 Với mọi số nguyên dương n, có đúng một số tự nhiên m là số

nguyên dương liền sau n

Tiên đề 4 Nếu số nguyên dương m là số nguyên dương liền sau của số

nguyên dương n và nếu m cũng là số nguyên dương liền sau của số nguyên dương k

thì nk

Tiên đề 5 (Tiên đề quy nạp) Nếu A là một tập hợp con của tập hợp số

nguyên dương sao cho

và đối với mọi số nguyên dương n,

nếu nA và m là số liền sau của n thì mA, (2.2)

khi đó mọi số nguyên dương đều thuộc A, tức *

A

Hệ tiên đề trên đủ để xây dựng tất cả các định lý số học trên các số nguyên dương Mọi khái niệm khác dùng trong số học các số nguyên dương như phép tính cộng, phép tính nhân, quan hệ “nhỏ hơn” đều được định nghĩa thông qua những điều đã được chấp nhận trong hệ tiên đề đó

Bây giờ chúng tôi sẽ xem xét phép cộng các số nguyên dương được định nghĩa như thế nào thông qua hệ tiên đề Peano Theo tiên đề 3, đối với mọi số nguyên dương n có đúng một số nguyên dương m sao cho m là số nguyên dương liền sau của n Ký hiệu số liền sau của n là *n Phép cộng các số nguyên dương được định

nm  nm với mọi m,n là số nguyên dương (2.4)

Hai công thức này tạo thành định nghĩa quy nạp của phép cộng các số nguyên dương Ta sẽ chứng minh rằng đối với mỗi một cặp các số nguyên dương m,n thì tổng m+n của chúng được xác định bằng cách này Thật vậy, gọi n là số nguyên dương bất kỳ và A là tập hợp số nguyên dương m mà tổng m + n xác định Do (2.3) nên tổng n1 xác định và do đó 1 A Bây giờ giả sử mA, tức là tổng

n m xác định Do (2.4) nên tổng nm* cũng được xác định nên m*A Như vậy giả thiết (2.1) và (2.2) của tiên đề quy nạp thỏa mãn đối với tập hợp A Theo

tiên đề này, mọi số nguyên dương là thuộc A và do đó tổng n m được xác định

đối với mọi số nguyên dương m Vì trong chứng minh trên *

n là bất kỳ nên tổng nm được xác định đối với n m, các số nguyên dương

Khi đã có phép cộng trên tập hợp số nguyên dương, ta có thể phát biểu lại tiên

đề quy nạp (tiên đề 5) dưới dạng như sau:

Giả sử P là một tính chất được xác định trên tập hợp tất cả các số nguyên dương sao cho

(1)

P (1 có tính chất P )

Và đối với mọi số nguyên dương n,

nếu P n( ) thì P n( 1) (nếu n có tính chất P thì n 1 cũng có tính chất P) Khi đó mọi số nguyên dương đều có tính chất P

Một tính chất quan trọng khác của số tự nhiên giải thích cho tính “hợp pháp” của phương pháp quy nạp toán học, thường người ta công nhận như tiên đề (gọi là tiên đề thứ tự)

Tiên đề thứ tự: Trong mọi tập hợp con khác rỗng của tập hợp các số nguyên

dương đều có phần tử nhỏ nhất

Theo (Kenneth H Rosen, 2012), phương pháp quy nạp toán học chủ yếu dùng

để chứng minh mệnh đề P n( ) đúng với mọi số tự nhiên n, với P n( ) là mệnh đề Thông thường, biến n nằm trên tập các số tự nhiên (thường được bắt đầu bằng 1),

cũng như sự lựa chọn của chữ cái biểu thị và P là một thuộc tính cố định nhưng tùy

ý của các số tự nhiên và rõ ràng nó phải phụ thuộc vào số tự nhiên n Cách chứng minh bằng PPQNTH tránh cho việc phải đi kiểm tra vô hạn các bước khẳng định của mệnh đề Một chứng minh thường có hai bước: bước cơ sở và bước quy nạp Ở bước đầu tiên, chúng tôi cần chỉ ra rằng P(1) đúng Đây là bước cơ sở của một chứng minh bằng PPQNTH Trong bước tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh nếu ( )

P k đúng thì P k( 1) đúng với mọi số tự nhiên k 1 Có được điều này, chỉ cần biết rằng nếu có P đúng với n 1 thì nó cũng đúng với n 2, tương tự n 3 rồi cứ thế tiếp tục Trong trường hợp này, để chứng minh, chúng tôi phải chứng tỏ rằng ( 1)

P k đúng khi P k( )đúng Khi đó, P k( ) được gọi là giả thuyết quy nạp

Hình 1.2 Nguyên lý quy nạp toán học

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử có ít nhất một số nguyên dương

mà P n( ) không đúng Gọi S là tập hợp các số nguyên dương mà P n( ) không đúng Khi đó, S không rỗng Theo tiên đề thứ tự, S có một phần tử nhỏ nhất, sẽ được ký hiệu là m P(1) đúng nên m 1 Suy ra m 1 là số nguyên dương Vì m  1 m nên 1

m không thuộc S Suy ra P m( 1) đúng Vì P m( 1) đúng nên P m( ) đúng (điều này mâu thuẫn)

Do đó P n( ) phải đúng với số nguyên dương n

Lưu ý rằng khi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta không thể giả định rằng P k( ) đúng cho mọi số nguyên dương Nó chỉ cho thấy rằng nếu giả sử P k( ) đúng thì P k( 1) cũng đúng với tất cả số nguyên dương k Bên cạnh đó, điều khẳng định mà ta cần được chứng minh phải được phát biểu rõ ràng, chặt chẽ và vì đôi khi bài toán phụ thuộc nhiều biến số, nên khi chứng minh ta phải nói rõ chứng minh quy nạp theo biến nào

Trong nhiều trường hợp cần phải chứng minh một mệnh đề nào đó đúng không phải với tất cả các số tự nhiên mà chỉ với  *

0 0

nn n  thì nguyên lý quy nạp được trình bày dưới dạng sau:

Cho n là một số nguyên dương và 0 P n( ) là mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n n 0 Nếu

i) P n 0 là đúng và

ii) Nếu P k  thì P k  1 cũng đúng với mỗi số tự nhiên kn0

Khi đó mệnh đề P n( ) đúng với mọi số tự nhiên nn0

Ngoài phương pháp quy nạp toán học đơn mà chúng tôi đã đề cập ở trên thì còn có một số phương pháp quy nạp khác như phương pháp quy nạp cấp 2, phương

pháp quy nạp mạnh, phương pháp lùi vô hạn của Fermat, phương pháp quy nạp luân phiên của Cauchy

1.2.3 Sự cần thiết và mối liên hệ giữa hai bước của phương pháp quy nạp toán học

Phép chứng minh căn cứ vào nguyên lý quy nạp toán học gọi là chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học

Theo (Gunderson, 2000), nhìn chung, một chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học về cơ bản gồm bốn phần:

1 Mô tả cẩn thận mệnh đề được chứng minh và bất kì phạm vi nào trên các biến nhất định;

2 Bước cơ sở: chứng minh một hoặc nhiều trường hợp cơ sở;

3 Bước quy nạp: cho thấy sự thật của một tuyên bố xuất phát từ sự thật của một số tuyên bố trước đó;

4 Nêu kết luận chính xác bằng PPQNTH

Phương pháp quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi nhưng phải biết sử dụng

nó một cách khéo léo Nếu sử dụng phương pháp đó một cách hình thức, ta có thể đi đến những kết luận sai lầm Cần nhấn mạnh rằng việc chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học đòi hỏi bao giờ cũng phải đầy đủ cả hai bước Bước đầu tiên tạo cơ sở để thực hiện quy nạp Bước thứ hai đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng tiếp theo, từ k đến k 1 Nếu thiếu một trong hai bước, thì sẽ dẫn đến sai lầm Nếu ta chưa chứng minh bước 1 mà chỉ mới chứng minh bước 2 thì như vậy ta chưa thiết lập được cơ sở để tiến hành quy nạp và lúc này việc ứng dụng bước 2 sẽ không còn ý nghĩa nữa vì điều ta mở rộng thực chất là không có

cơ sở Nếu ta chỉ mới chứng minh bước 1 mà chưa chứng minh bước 2 thì mặc dù

đã thiết lập cơ sở để tiến hành quy nạp nhưng ta lại không có quyền mở rộng cơ sở

đó Chúng tôi xét ví dụ trích từ tài liệu (Nguyễn Hữu Điền, 2000) để làm rõ nhận định đó

Ví dụ 6 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau nó

Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học Giả sử mệnh đề đúng với

nk với k là số tự nhiên nào đó, nghĩa là ta có:

Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau Điều này là

vô lí Lời giải của bài toán đã áp dụng nguyên lí quy nạp toán học nhưng bỏ qua bước cơ sở Nghĩa là không kiểm tra bài toán có đúng trong trường hợp n 1 hay không Ta thấy rằng với n 1 thì khẳng định sai vì 1 2 Như vậy, khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu thì không có cơ sở để thực hiện quy nạp, như vậy bước kiểm tra quy nạp không có ý nghĩa gì

Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một số điều kiện ban đầu mà bỏ qua phần quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứ chưa

có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó Lúc này, chứng minh khá giống với phép quy nạp Trong lịch sử Toán học, có nhiều ví dụ cho thấy rõ điều đó

Ví dụ 7 Do bỏ qua bước quy nạp mà nhà toán học Pháp Fermat đã cho rằng

các số có dạng 22n1 là số nguyên tố Ông xét 5 số đầu tiên

Ví dụ 8 Một nhà toán học Xô Viết – ông D.A Grave giả định rằng: Với mọi

số nguyên tố p, 2p11 không chia hết cho p2 Bằng cách kiểm tra trực tiếp mọi

số nguyên tố nhỏ hơn 1000 càng củng cố thêm giả định này của ông Nhưng chẳng bao lâu sau, người ta chỉ ra rằng 1092

2 1 chia hết cho 1093 (1093 là số nguyên tố) 2Như vậy, giả định của Grave là chưa chính xác

Trên đây, ta đã nghiên cứu PPQNTH trong trường hợp đơn giản nhất Trong những trường hợp phức tạp hơn, ta phải thay đổi bước cơ sở và bước quy nạp cho phù hợp Việc xét mệnh đề đúng không chỉ dừng lại ở một giá trị mà còn có thể trên hai hoặc ba giá trị của n tùy theo mệnh đề toán học được chứng minh Cuối cùng,

để làm rõ một khía cạnh khác của phương pháp quy nạp toán học, chúng tôi xét ví

Vẫn bài toán trên nhưng chúng tôi đặt ra giả thiết với mọi giá trị n thì 1

Rõ ràng từ công thức (1) đúng với nk ta không thể suy ra được công thức đúng khi n k 1 Như vậy công thức (1) sai

Như vậy, phương pháp quy nạp toán học cho phép ta trong quá trình tìm quy luật chung, thử được các giả thiết mà chúng ta đề ra, loại bỏ những giả thiết sai lầm

và xác nhận những giả thiết đúng đắn Tóm lại, PPQNTH ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu toán học hóa các chứng minh, làm cho các chứng minh đúng hơn và hoàn thiện hơn Ta cũng có thể sử dụng PPQNTH để chứng minh các mệnh đề đối với số nguyên không âm Các bước trong quá trình chứng minh có mối liên hệ và có ý nghĩa đặc biệt Nếu thiếu một trong hai bước thì sẽ dẫn đến sai lầm Như vậy, việc kiểm tra hai bước cần được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng phương pháp quy nạp toán học

1.2.4 Thực trạng giáo viên và học sinh trong việc hiểu và vận dụng PPQNTH

Chúng tôi sử dụng công trình nghiên cứu (Nguyễn Xuân Tính, 2012) cho việc tìm hiểu thực trạng dạy và học PPQNTH của giáo viên và học sinh Trong công trình của mình, tác giả đã làm thực nghiệm bộ 4 câu hỏi trên học sinh và 2 câu hỏi đối với giáo viên Ở đây, chúng tôi chỉ trích dẫn các số liệu có liên quan tới việc làm

rõ những chướng ngại tri thức luận trong việc vận dụng PPQNTH ở học sinh

Câu hỏi và kết quả thu được với học sinh cụ thể như sau:

Câu 1: Một em học sinh lớp 10 trình bày một suy luận như sau:

Theo bảng thống kê kết quả thì cho thấy số lượng học sinh cho điểm 10 và sử dụng suy luận quy nạp là chiếm ưu thế (42%), như vậy điều này cho thấy học sinh khá quen thuộc với suy luận quy nạp, thường dùng nó để chứng minh các bài toán liên quan tới số tự nhiên n và đồng nhất nó với PPQNTH

Câu 2: Để chứng minh A(n): “n3 + 5n – 1 là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n” Một bạn học sinh làm như sau:

Kiểm tra tiếp tục ta luôn thấy kết quả là số nguyên tố

Vậy n3 + 5n – 1 là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n

Giả sử em là giáo viên toán, em hãy cho điểm (tối đa 10 điểm cho câu 2 vào

ô tròn bên dưới) và nhận xét bài làm của học sinh này?

Trong câu trả lời của học sinh, ta nhận thấy PPQNTH mất đi vai trò trong tình huống này Bên cạnh đó, số HS cho điểm 10 khá nhiều (41%) chứng tỏ đa số HS không để ý đến mệnh đề chứa lượng từ “với mọi” cần chứng minh và quen thuộc với suy luận quy nạp

Câu 3 Một bạn học sinh trình bày bài chứng minh:

8

12

321

321

88144)1(8

12)1(

32

1

2 2

Trong đó số học sinh đánh giá đúng và cho 10 điểm là 74/167 chiếm 44% chứng tỏ phần nhiều học sinh không hiểu về mối liên hệ giữa hai bước trong chứng minh bằng PPQNTH và sự cần thiết của bước cơ sở Số học sinh không phát hiện thiếu bước 1 rất nhiều (53%) và 19% HS không trả lời, cho thấy nhiều học sinh chưa hiểu bản chất của PPQNTH Học sinh chưa thấy sự cần thiết phải có hai bước

và ít thấy mối quan hệ giữa hai bước của PPQNTH

Câu 4: Bạn An chứng minh

A(n) =“n3 + 5n chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1” như sau:

Bước 1: Khi n = 1 ta có A(1) = 13 + 5.1 = 6 chia hết cho 3 Vậy A(1) đúng Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k bất kì k > 1, k N tức là k35k chia hết cho 3 với k N, k > 1

Ta cần chứng minh A(k+1) đúng Thật vậy,

kì k 1 (thay vì k 1) Em có đồng ý với bạn Bình hay không? Giải thích ý kiến

của em

Trong bước 2 của PPQNTH, khi chứng minh “ ( )A k A k( 1) đúng” nhiều

HS cho rằng chỉ cần chứng minh đúng cho những k  p vì đã kiểm tra mệnh đề đúng với k p ở bước 1

Với kết quả thu thập được ở thực nghiệm đối với học sinh cho thấy học sinh

sử dụng chiến lược suy luận quy nạp chiếm ưu thế hoàn toàn Điều này cho phép chúng tôi kết luận học sinh chưa phân biệt được sự khác nhau giữa suy luận quy nạp

và PPQNTH mà đồng nhất chúng với nhau Từ đó có thể cho thấy rằng bản thân học sinh chưa thực sự hiểu về PPQNTH cũng như mối liên hệ cần thiết giữa hai bước trong quá trình chứng minh PPQNTH mất đi ý nghĩa của nó trong những tình

huống cần thiết Như vậy, yêu cầu mà thể chế đặt ra không đạt được mong đợi ở học sinh Câu hỏi đặt ra là ứng xử của giáo viên như thế nào trong việc truyền đạt đối tượng PPQNTH tới học sinh? Chúng tôi tiếp tục phân tích kết quả thực nghiệm được của 66 giáo viên

Nội dung của bộ câu hỏi bắt đầu từ bài làm của một học sinh như sau:

Một học sinh chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1” như sau:

Giả sử A(k) đúng với một số tự nhiên bất kì k > 1, tức là k3 + 5k chia hết cho

Vậy n3 + 5n chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1

Câu hỏi 1: Quý Thầy (Cô) hãy cho điểm (thang điểm 10) và nhận xét về lời

giải của học sinh này như thế nào?

Câu hỏi 2: Nhiều học sinh không hiểu tại sao phải thực hiện 2 bước khi chứng

minh bằng phương pháp quy nạp toán học và mối liên hệ giữa hai bước này Theo kinh nghiệm giảng dạy của mình, quý Thầy (Cô) làm thế nào để giải thích cho học sinh hiểu lý do phải thực hiện cả 2 bước của quy trình chứng minh? Và tại sao khi thực hiện đủ 2 bước này thì mới chứng tỏ mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên (hoặc

kể từ một số tự nhiên nào đó trở đi)?

Kết quả thu được cho thấy rằng phần lớn giáo viên cũng chưa quan tâm nhiều đến mối quan hệ giữa các bước của PPQNTH (71% giáo viên chỉ nhận xét thiếu bước 1 và bỏ qua ở giá trị k) và còn châm chước cho học sinh khi cho điểm tương đối cao (5,9 điểm) khi học sinh làm thiếu bước 1 hoặc học sinh chưa hiểu rõ mối quan hệ giữa các bước của PPQNTH

Kết quả từ câu hỏi 2 thu được cho thấy rằng nhìn chung nhiều giáo viên đều ý thức được rằng việc đưa vào các ví dụ về suy luận quy nạp và các hình ảnh ẩn dụ minh họa cho PPQNTH sẽ kích thích được nhu cầu sử dụng PPQNTH trong giải toán của học sinh Tuy nhiên, để triển khai và thực hiện tốt điều đó để học sinh hiểu được PPQNTH trong thực tế giảng dạy là không dễ dàng đối với đa số giáo viên

1.3 Ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học là một trong những phương pháp hiệu quả nhất trong tất cả các phương pháp chứng minh toán học Nó có các ứng dụng trong các ngành toán học khác nhau: đại số, lượng giác, tính toán, lý thuyết xác suất, lý thuyết nhóm, hình học… Trong mục này, chúng tôi xin nêu ra các bài toán thể hiện sự ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học, trong đó có chia rõ hai bước: bước cơ sở

và bước quy nạp

1.3.1 Quy nạp với bài toán chứng minh thuần túy

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n

 1 2   

n

S  n n n n chia hết cho 2n

Bước cơ sở

Với n 1, ta có S1  1 1 2 chia hết cho 2

Bài toán đúng với n 1

S chia hết cho 2k, suy ra S k1 chia hết cho 2k1

Bài toán đúng với n k 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học thì bài toán đúng với mọi số tự nhiên n, tức