Trong quá trình tìm hiểu, tôi cũng phát hiện ra được một hướng giải các phương trình dạng này, đồng thời xây đựng hướng giải cho một số dạng mới của phương trình bậc bốn.. Đó chính là nộ
Trang 1
Trên tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 304 (10/2002)
và số 305 (11/2002) các tác giả Nguyễn Anh Thuần
và Nguyễn Phước đã phân tích cách giải một số dạng đặc biệt của phương trình bậc bỗn Trong quá trình tìm hiểu, tôi cũng phát hiện ra được một hướng giải các phương trình dạng này, đồng thời xây đựng hướng giải cho một số dạng mới của phương trình bậc bốn Đó chính là nội dưng của bài viết dưới đây
PHƯƠNG TRÌNH BAC BON DANG DAC BIET
CAO NGOC TOAN
(GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)
DẠNG I Phương trình bậc bơn dạng
a1 + bỆ + c2 + bự + a =0, (#0)
Day là phương trình bậc bốn có hệ số đối
xứng và đối xứng lệch
Hướng giải Đề giải PT dạng trên ta thực hiện
như sau:
Dat ẩn phụ ? =+Ê ‡ 1, suy ra = x2 # 212 + 1
Lúc đó
a3 +bx) + c2 +bx+a=0
©a(#+2##+1) +bxQGÉ + 1) + (c+ 24)xÈ =0
(by PT(1) (ẩn?) có nghiệm khi b? — 4ac ¥ 8a? 20
Thay nghiệm (phụ thuộc +) vào biểu thức
+1 =0 và giải PT này ta tìm được x
Do dé af + bxt + (c+ 2a)x =0
* Thí dụ 1 Giải các phương trình sau
a) 1Ý — 10 —10x+1=0
b) 3⁄2 — 8 +8x+3=0
qd) (2)
Loi gidi, a) Dat t= +1 — PH + 232 +,
Lúc đó biến đổi PT (1) thành
(0 +22 + 1)— 10x(2 + 1) + 217 =0,
hay là Ê— 10x +21x =0
© Œ- 70Œ~ 3x») =0 ©r= 7xhoặc r = 3x
T+3
® Với ¡= 7xta có xŸ — 7x +1 =0 © x=
s Với r=3xta có3?T— 3x + 1 =0 © x= ) 'Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là
7+3jã „_3tV5
b) Dat ¢ biến đổi PT (2) thành — 2# +1 Lúc đó
3# ~ 23 + 1) — 8xQŒÈ — 1) — 2832 =0, hay là
3£ ~ 8x ~ 284? =0 © (+ 29|z— 2x Ì>0
3)
14
© t=—-2xhoac t=—x
3
t=-2vtacd # +2x-1=0ex=-14V2
® Với /=—+x ta có
3
Til
'Vậy PT đã cho có bốn — là
Trang 2DẠNG 2 Phương trình bac bon dang
xt +ax +bx? +ev+“—=0, (a0) 2
Hướng giải Đặt ẩn phụ =+? pe, suy ra
(, 2e
` a/
a, BH dab +8
PT (1) (an 2) 6 nghigm khi SA? FSS 9 a
Thay nghiệm ¿ (phụ thuộc +) tìm được vào
biểu thức x°-f+—=0 và giải PT này ta tìm
a
duge x
* Thí dụ 2 Giải phương trình
#Ỷ + 2#Ÿ~ 204” + 4v +4 =0
Tôi giải Ta có a = 2, b
a@ —4ab+8c
a
Đặt r =3 +2 — =3 +41 +4 Biến đổi PT
đã cho thành
Œ +41) +4) + 2xCC + 2) — 24:2 =0, hay là
+2 - 243 =0 © (r— 49( + 6x) =0
©r=4vhoặc t =-6x
^b
s Với t=~6v ta có xÝ +ốv+2=0x=-3+7,
e Với r= 4v ta có 3= 4v +2 =0 ©x
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là
DẠNG 3 Phương trình bậc bơn dạng
x4 + Jab? + hat Be Eby + c= 0, (a#0)
x
Hướng giải Dat n phu t = ax + bx
Lúc đó ta có
đÈ# + 2abx) + (+a + b2)È + bx + c=0
© (ax + bx? # (a3È + bx) + c =0, tức là
Giải PT (1) để tìm ¿ sau đó thay vào biểu thức a3 +bx— r =0 và giải PT này ta tìm được +
* Thí dụ 3 Giải phương trình
4# + 523 + 1713 + 13x— 30 =0
Dat ¢ = 2:° + 13x, biến đổi PT đã cho thành (2# + 13x)? + 2(2x2 + 13x) — 30 =0 hay là
£+r—30=0 ©r=5 hoặc r=
†=Šta có
212+13x-5=0 ©
® Với ¡ = ~Ố ta có
212 +13x— 5=0 © x=-6 hoặc x=—
Vậy PT đã cho có bốn nghiệm là
-1ã#V209,
4
“2”
Đề kết thúc bài báo mời các bạn hãy giải các bài tập tương tự, cùng loại sau:
1 Giải các phương trình
a)#~xŸ- 102 x+1=0;
b) 4420-172 -2x4+1=0;
c) x - 9x? + 16.7 + 18x +4 =0
2 Xét phương trình 25x* + 206x + 67112 — 26x + m =0
a) Tim m để phương trình trên có nghiệm
b) Giải phương trình khi m = — 42