Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)

Cùng tham khảo Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2016-2017 - ĐH KHTN (ĐHQG)” đây là tài liệu hay dành cho các bạn học sinh ôn tập và luyện thi vào lớp 10, các câu hỏi và bài tập bám sát chương trình, ngoài ra còn có các dạng bài tập nâng cao dành cho thí sinh hệ THPT chuyên. Chúc các bạn ôn tập và luyện thi đạt kết quả cao.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho các số a, b thỏa mãn 2 2

2a 11ab3b 0,b2 ,a b 2a Tính giá trị biểu thức

2 2 3

T

a b a b

b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức

2 2 3 2 2 3 2 2 3

P

x y z y z x z x y xyz



Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 3 2 2

2x 2x yx 2xy  x 10 b) Cho 19 điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng 3, trong đó không có

3 điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong

19 điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn 3

4

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2x 1 x 3 2

b) Giải hệ phương trình

2

x x y x xy

x x y





  



Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn ( ; )O R và dây cung BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Bên ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE , ACFG

và hình bình hành AEKG

a) Chứng minh rằng AK = BC và AK BC

b) DC cắt BF tại M Chứng minh rằng , , A K M thẳng hàng

c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên cung lớn BC của ( ; ) O R thì K luôn thuộc một

đường tròn cố định

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số dương ,x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1

x y x y P

x y



………… HẾT…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1

a) Cho các số a, b thỏa mãn 2 2

2a 11ab3b 0,b2 ,a b 2a Tính giá trị biểu thức

2 2 3

T

a b a b

Ta có

2 2

2 2 3 ( 2 )(2 ) (2 3 )(2 ) 6 11

T

Từ giả thiết suy ra 2 2

11ab 2a 3b , thay vào T ta được:

2

T

a b c  abc a b c a b c ab bc ca  Suy ra nếu a  b c 0 thì 3 3 3

3

a b c  abc

Vì 2 2 2 2 2 2

(x y ) ( y z ) ( z x )0 nên

3( )( )( )( )( )( )

x y y z z x x y y z z x

MT x y z y z x z x y xyz

x y y x z x y xyz y z x z

xy x y z x y z x y x y xy z zx zy

x y x y z z y z x y y z z x

Suy ra P TT 3(x y y)( z z)( x)

MT

       Trong ba số nguyên dương , ,x y z luôn có hai số cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là ,x y(xy) 2 Vì P3(xy y)( z z)( x) nên P6

Câu 2 a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn 2x32x y2 x2 2xyx10 (1).Ta có

2

(1) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 10

2( )( ) ( ) 10

( ) 2( ) 1 10

x x y x x y x x

x y x x x x

x x x y

Nhận xét:

+) 10 1.10 2.5 ( 1)( 10)  ( 2)( 5) ;

+) 2

( 1)

x xx x là số chẵn; 2(xy) 1 là số lẻ;

+)

2

x xx     x x

Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:

2

10 2( ) 1 1

x x

x y

  



   hoặc

2

2 2( ) 1 5

x x

x y

  



  

2

10 2( ) 1 1

x x

x y

  



  



Phương trình 2

10

x x không có nghiệm nguyên

H2

2

1 1

2 2

2

3

5

x x

y

x x

x

x y

y

 

  







 Vậy có hai bộ số ( ; )x y thỏa mãn là: (1; 2), ( 2;5)

b) Giả sử 19 điểm nằm trong tam giác đều ABC cạnh bằng 3 Chia tam giác ABC thành 9 tam

giác đều, có cạnh bằng 1 (gọi là tam giác nhỏ) như hình vẽ

Mỗi tam giác nhỏ có diện tích là 3

4

S 

Vì có 19 điểm nằm trong 9 tam giác nhỏ nên có ít nhất 3 điểm cùng thuộc một hình tam giác

nhỏ Giả sử 3 điểm đó là I I I 1, ,2 3

Khi đó tam giác I I I1 2 3 nằm trong một tam giác nhỏ nên

1 2 3

3 4

I I I

S 

Câu 3 a) Giải phương trình sau: 2x 1 x32 (1)

Điều kiện: x 3

Ta có

      

12

x

x







Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện

Vậy PT đã cho có hai nghiệm x4;x12

b) Giải hệ phương trình:

2

( )

x x y x xy

I

x x y





  



F

E D

C B

A

Ta có

2 2

( )

( ) (2 ) 1

x x x y I



 



ặt 2

; 2

ux x v x y Hệ đã cho trở thành:

2 3 6

2

u v uv

v

  







 







 





Với

2

     





Hệ PT này vô nghiệm

Với



Giải hệ này được 2 nghiệm:

;

      

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm 1 13; 13 1 ; 1 13; 13 1

Câu 4

a) Ta có KEAEAG180 ,0  BACEAG1800 KEABAC Lại có:

EK  AG AC EA AB AEK  BAC  AK BC Ta có

AEK BAC EAK ABC

     Gọi H là giao điểm của KA và BC, ta có:

90

BAH ABCBAHEAK  AH BC Vậy AK BC

D

C' B'

M H

K

F

G

E

O

A

Vì KABC AC; CF KAC;BCF KAC BCF CKH FBC. Ta lại có

CKH KCH  FBCKCH  BF KC Tương tự ta có KBCD(2) Từ

(1)(2) suy ra M là trực tâm KBC , suy ra MKH Vậy A, K, M thẳng hàng

c) Dựng hình vuông BCC B trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa cung lớn BC , suy ra ' ' B C cố ' '

định Ta có AKB’B là hình bình hành (vì BB KA cùng vuông góc ', BC suy ra BB'KA;

'

BB KABC) Do đó B K' BAB KA' BAH Tương tự ta có AKC C là hình bình hành ' suy ra KC' ACAKC'HAC Suy ra B KC' ' B KA' AKC' BAHHACBAC Vì khi A

thay đổi trên cung lớn BC của đường tròn ( ; )O R thì K luôn nhìn đoạn ' ' B C cố định dưới

một góc không đổi  BAC Do đó K thuộc quỹ tích cung chứa góc  dựng trên đoạn B C' '

cố định

Câu 5: Đặt 2x+y=a; 2y+x=b a,b >0 thì

b a

ab b

a

P

















4 1 1

2 1

1

2

3 3

Ta có

2 1 1 2

2 2

1 1

) 1 )(

1 ( 1

2 3

2 2

2

a a

a a a

a a a

Tương tự

2 1 1 2

2 2

1 1

) 1 )(

1 ( 1

2 3

2 2

2

b b

b b b

b b b

b                

Mặt khác

b a b a b

a b a

2 2 8

1 1 4



















Vậy

1 2 4

2

2 3 2 4

2 2

2 2 2 4

4 4 2 2 2 4 1

4 1

4 2 2 4

4 4

3

2 2

2 2

















































































ab b a

ab b a Q

P

Q b

a

ab b a b

a

ab b

a b a

ab b

a

P

3

2 2

4

2 2

1 4 4

1 1

1 1

1 )

2 2































































b a

ab b a

a b

b b b

a a a

P

Min

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những năm qua

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh giỏi

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247