SKKN: Cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Sáng kiến kinh nghiệm về cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số giúp các thầy cô có thêm tư liệu giảng dạy các em học sinh giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán và sự khó khăn khi gặp bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp phù hợp với trình độ trung bình yếu.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Toỏn học là mụn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt mụn toỏn luụn là một trong những mục tiờu đặt ra của học sinh Nhất là trong cỏc kỳ thi thỡ kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thụng hằng năm luụn là mục tiờu của nhiều học sinh và cả phụ huynh Vỡ vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn đề

quan trọng Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luụn cú bài toỏn tớnh tớch phõn Đõy

là bài toỏn được coi là khú đối với học sinh nhất là học sinh trung bỡnh – yếu

Để làm được bài toỏn này, học sinh cần nắm định nghĩa và cỏc tớnh chất nguyờn hàm, thuộc cỏc cụng thức nguyờn hàm cỏc hàm số sơ cấp và cỏc phương phỏp tớnh nguyờn hàm

Để tớnh được bài toỏn tớch phõn học sinh khụng những phải học thuộc cỏc kiến thức trờn mà cũn phải rốn luyện kỷ năng giải toỏn thường xuyờn nữa

Nhằm giảm bớt sự khú khăn trong quỏ trỡnh tớnh toỏn, và sự khú khăn khi gặp bài toỏn tớch phõn trong cỏc đề thi tốt nghiệp hằng năm, tụi đưa ra cỏch tiếp cận bài toỏn

tớch phõn một cỏch phự hợp với trỡnh độ của học sinh trung bỡnh yếu đú là “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”

Mục đớch rừ ràng của đề tài này là nhằm giỳp học sinh giải tốt bài toỏn tớch phõn núi riờng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT núi chung, xa hơn nữa là làm tăng

tỷ lệ bộ mụn toỏn của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

2.1 Cơ sở lý luận của đề tài

Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết

đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy

Nhưng để tư duy được thỡ cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, những kiến thưc nền tảng của vấn đề thỡ khi đú mới núi đến tuy duy hay sỏng tạo

Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản

nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong một mạch kiến thức

Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài toán tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt

là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy học tại trường phổ thông

2.2 Thực trạng của đề tài

2.2.1 Tình hình thực tế của học sinh trường:

- Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó khăn Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính toán rất hạn chế

- Học sinh thường ít chịu tìm tòi, khám phá và không thuộc bài (lười học)

2.2.2 Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”

- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến

Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8

- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá

ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức

2.2.3 Khó khăn của đề tài:

- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ

và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm

- Học sinh chăm chỉ tích cực luyện tập kỹ năng giải toán tích phân

2.3 Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm

Định lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi

hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi

nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số

Là họ tất cả cỏc nguyờn hàm của f(x) trờn K

Vớ dụ :  cos dx x'  (sinx C) '  cosx

hay(cos ) ' dx x  ( sin )d x x  cosxC

t a

t biến thiên trên đoạn a; b  G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a  0

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] Giả sử hàm số x =  (t) cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [  ;  ] sao cho  (  ) = a,  (  ) = b và a   (t)  b với  t  [  ;  ]

u b b

f x dx g u du

( ) ( )

Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là y ax b n, đối với hàm số này không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức mới lấy nguyên hàm được Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3 thì ta áp dụng hằng đẳng thức

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

*Nhận xét:

Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức Chỉ cần thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ dàng) Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của hàm số bậc nhất mà thôi

2x 1 dx

3 1

3 3

* Phân tích ví dụ

Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình

bày ở trên) Nhận xét rằng d ax b  1dx

a

  nên ta đưa ra các công thức dạng tổng

quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp Ta có bảng sau

22

1 2

ln ln





* Nhận xét

Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể

là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:

Tính tích phân: 1  2 2

02

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

**** Chú ý đối với dạng: 2 1 

k k a

Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số

22

x dx

2

x dx

22

x dx

23

dt t

2

x dx

Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số

mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:

* Bài tập áp dụng:

1) 3 2 0

1

2 0

11

x 

 10)

1 0

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

* Ví dụ minh họa

1)

1

2 0

Giải:

1)

1

2 0

2 2 0

x x

dx x

sin

1 3

x dx cosx

1 sin 2x

dxcos x

d) TÍCH PHÂN DẠNG b  

a

dx x

ln



* Nhận xét Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t



 HD: Đặt t 1 ln x

1

sin(ln )x

dx x

 HD: Đặt t lnx

4)

2ln 1 1

e x e dx x

e

e

x dx

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

* Ví dụ minh họa

Tính các tích phân:

1) 2

1 0

x

e xdx

1 1 0

x

e xdx

 Giải

x e dx x

4)

2 0

8)

2 sin 4

+ Bước 1: Đặt t s inx dt cos xdx hay t cos x dt  s inxdx

+ Bước 2: Đổi cận: x a t s ina; x b t s inb hay

x a t cos a; x b t cos b

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t



 xcos xdx

Giải:

* Phương pháp giải

+ Bước 1: Đặt x  f t dx  f ' t dt 

+ Bước 2: Đổi cận: x    f t ; x      f t  hay

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t

+ Bước 4: Tính tích phân theo t

Những dạng thường gặp:

+ Gặp biểu thức a2 x2 Đặt : x  a sin t hay x  a cos t

+ Gặp biểu thức a2 x2 Đặt : x  a tan t hay x  a cot t

+ Gặp biểu thức x2 a2 Đặt : a

x cos t

01

dx x

tan t dx

dx tan t

2 1

3

dx

13

2 3

2

dx

9 4x HD: đặt

32

dx4x 12x 10 HD: đặt 2x 3tan t

2.4 Hiệu quả của SKKN

Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt được những kết quả như sau:

Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011

Tỷ lệ chung cuối năm

Với tổ chuyên môn:

Với cách phân dạng và nêu phương pháp, rút kinh nghiệm và chỉ rõ nội dung trọng tâm như trên, các giáo viên trong tổ đã thực hiện và đạt kết quả khả quan trong các kỳ thi, góp phần nâng cao chất lượng tổ bộ môn của trường

2.5 Nguyên nhân thành công:

- Được sự hỗ trợ nhiệt tình của tổ trưởng chuyên môn và các góp ý chân thành của các giáo viên trong tổ

- Được sự chỉ đạo sâu sát của ban giám hiệu, đặc biệt là phó hiệu trưởng chuyên môn

- Được sự hưởng ứng của học sinh khi tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, các em cảm thấy hứng thú và hình thành ý thức học tốt hơn

2.6 Tồn tại:

- Do thời gian nghiên cứu ngắn nên chưa mở rộng phạm vi nghiên cứu đối với tất cả các đối tượng học sinh (kể cà học sinh khá giỏi)

- Chưa đưa được các bài toán đòi hỏi sự thông hiểu cao hơn từ học sinh

- Một bộ phận học sinh có tư tưởng học để đối phó với giáo viên nên kết quả không cao

+ Chưa đọc kĩ đề bài, không biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn không biết làm thế nào để tìm lời giải Vì vậy giáo viên nên hướng dẫn học sinh đọc

và phân tích kĩ các dạng bài tập thường gặp

+ Chưa nghiên cứu kĩ từng dạng bài toán tính tích phân nên chưa định hướng cách giải

- Giải xong chưa kiểm tra lại lời giải để kiểm tra kiến thức vận dụng Vì vậy, giáo viên cần rèn tính chính xác, cẩn thận trong giải toán Hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bằng cách dùng máy tính bỏ túi

* Với giáo viên:

- Cần tạo cho các em có thói quen thuộc bài và làm bài đầy đủ khi đến lớp

- Hình thành khả năng nhận dạng bài toán từ đó vận dụng lý thuyết đã học đưa ra lời giải phù hợp

- Chú ý rèn khả năng thực hành, cần lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng, đầy đủ, đừng đơn điệu lặp lại làm học sinh nhàm chán và nảy sinh tính lười suy nghĩ, ỷ lại sẽ không phát huy tính tích cực, không hình thành khả năng tự giác học tập ở các em, sẽ hiếm có học sinh giỏi, năng động và linh hoạt, cũng không giải bài toán qua loa, đại khái

- Việc học của các em, giáo viên bộ môn cần phải giám sát, theo dõi chặt chẽ như vai trò giáo viên chủ nhiệm Nếu không quan tâm sâu sắc thì hiệu quả không

cao

2 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm và khả năng ứng dụng:

Trong những nằm gần đây, việc học sinh trung bình yếu giải được bài toán tích phân là một vấn đề Tuy nhiên nếu thực hiện đúng theo đề tài nghiên cứu này thì công việc có phần nhẹ nhàng hơn Đề tài này đưa ra thành công hy vọng giúp các

em học sinh trung bình yếu của trường có thể làm được bài toán tính tích phân trong các đề thi tốt nghiệp Kích thích tính tò mò, khả năng ham thích học tập bộ môn, dần hình thành khả năng tự giác học tốt môn toán, để học tốt các môn khác Hình thành

óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực trong tư duy, trong học tập cũng như mọi hoạt động khác Hạn chế học sinh bỏ học, phần nhiều không học được sinh ra lười biếng

Tóm lại, việc nghiên cứu đề tài: “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” thành công sẽ giúp học

sinh trường học tập tốt hơn và thi đạt hiệu quả cao hơn