Khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này. Để giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”.
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
CHÉO NHAU
Trang 2I / ĐẶT VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học sinh, mà đặc biệt
là hình học không gian, đa số các em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giải tích Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưng các em vẫn còn rất yếu về hình học Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình Hình học nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức hình học không gian ở lớp 11
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móc cách giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình học tổng hợp với hình học giải tích Vì vậy, khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này
Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể
II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:
1 Lý thuyết
a Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2 Đường thẳng Dcắt cả d 1
và d 2 đồng thời vuông góc với cả d 1 và d 2 được gọi là đường vuông góc chung của hai
đường thẳng d 1 và d 2
b Các định lý :
b.1- Hai đường thẳng chéo nhau có một và chỉ một đường vuông góc chung
b.2- Nếu d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
2 Bài toán
Trang 3Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Lập phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2
Bài giải:
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d1 qua A(xA ;yA ;z A) có vectơ chỉ phương (VTCP) ar
, đường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) có VTCP br
a Trường hợp đặc biệt : d1^d2
Ta có cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 như sau:
+ Dựng mp (P): (P)Éd1 và (P)^d2tại M
+ Dựng MN : MN^d1 tại N
+ Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2
Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và
d2”
Ta có: d1^MNtại N và d2 ^MNtại M nên MN là đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2
Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp d1^d2 này là:
B1: Lập phương trình mp(P) :(P)Éd1 và (P)^d2
B2: Tìm M: M=(P)Çd2
B3: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP ur= ë ûéa, br rù
b Trong các trường hợp khác ta có thể sử dụng một trong các cách sau
Cách 1:
d2
M
ur
d2
M
N
Trang 4br
B1 Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d 1 là ar
, VTCP của d 2 là br
B2 Tìm ur= ë ûéa, br rù khi đó ur^ar và ur ^br
B3 Lập phương trình của :
· Mặt phẳng (P) sao cho :(P)É d 1 và (P) có cặp VTCP (a, ur r
)
· Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q)Éd 2 và (Q) có cặp VTCP (b, ur r
) B4 Ta có : D= (P)Ç(Q)
Phương trình của đường thẳng D được lập từ giao tuyến của
hai mặt phẳng (P) và (Q)
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
Ta có : u ; ar r
;br
lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng D, d 1 và d 2
Mà ur^ar và ur ^br nên d1^ D và d2 ^ D
D=(P)Ç(Q)và (P)Éd 1 nên d 1 vàDđồng phẳng mà u ; ar r
không cùng phương nênDcắt d 1
D=(P)Ç(Q)và (Q)Éd 2 nên d 2 vàD đồng phẳng mà u ; br r
không cùng phương nên Dcắt d 2
Vậy D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
Cách 2:
B1 Lấy điểmM x ; y ; z( M M M)Îd1, lấy điểmN x ; y ; z( N N N)Îd2
Khi đó MNuuuur=(xN-x ; yM N -y ; zM N-z )M
B2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d1 và d2
ï
Û í
^ ïî
uuuur r
uuuur r MN.a 0
MN.b 0
ï
Û í
= ïî
uuuur r uuuur r
Giải hệ này sẽ tìm toạ độ của hai điểm N và M
B3: Đường thẳng D là đường thẳng MN
d1
d2
M
N
d 1
d 2
ur
Trang 5D
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
ï
í
^
ïî
uuuur r
uuuur r nên d1^ D và d2 ^ D
1
D Ç = và D Çd2 =N
Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2
Cách 3:
B1: Tính ur= ë ûéa, br rù khi đó ur^ar và ur ^br
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):(P)Éd1 và (P) có cặp VTCP (a, ur r
) B3: Tìm M: M=d2Ç(P)
B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP ur = ë ûéa, br rù
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
Vì ur^ar và ur ^br nên d1^ D và d2 ^ D
2
D Ç =
D là đường thẳng qua M và có VTCP ur
và MÎ(P), (P) có VTCP ur
nên D Ì(P) 1
d ,Dđồng phẳng và u ; ar r
không cùng phương nên d1 cắt D Vậy D là đường vuông góc chung của d1 và d2
Cách 4:
B1: Lập phương trình mp(P): 1
2
d (P)
d / /(P)
Ì ì í î
B2: Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của
d2 lên (P)
B3: Tìm M =d ' dÇ 1
B4: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP ur = ë ûéa, br rù
d1
d2 u
r
M
D
P
d2
M d’
u r
Trang 6D
c
Cách này có được từ cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ở Hình học 11
+ Do d 1 và d 2 chéo nhau nên có duy nhất mp(P) chứa d 1 và song song với d 2
+ d’ là hình chiếu vuông góc của (d2) lên (P) nên d’ // d 2
+ d’ và d 1 đồng phẳng và có VTCP lần lượt là u ; ar r
các vectơ này không cùng phương nên
d 1 cắt d’ tại M
+ D là đường thẳng qua M và có VTCP ur= ë ûéa, br rù
+ D , d 2 và d’ đồng phẳng D Çd’ = M nên Dcắt d2 tại M
+ Vì ur ^ar và ur^br nên d1^ D và d2 ^ D
Vậy D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
Cách 5:
B1: Lấy A bất kì: AÎd1
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P): (P) A, (P)' ^d1
B3: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc d2 lên (P)
B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’
B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với d1
Khi đó: cÇd2=M
B6: Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP AHuuur
Ta chứng minh D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
+ (P)^d1ÞAH^d1
+ H là hình chiếu của A lên d’ ÞAH^d 'ÞAH^d2
+ D là đường thẳng qua M và có VTCP AHuuur
AH / /
Suy ra : d1^ D và d2 ^ D
+ Dcắt d 2 tại M
+ AH và D , d1 đồng phẳng ,AH / /D, AH cắt d 1 nên D cắt d 1
P
d1
d2
A
H
M
d’
Trang 7Vậy D là đường vuông góc chung của d 1 và d 2
3 Ví dụ minh họa
Ví dụ1: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 có phương trình lần lượt là:
d1:
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
= + ì
ï = + í
ï = -î
và d2 : x 3 y 1 z 1
-Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Bài giải
Cách 1
Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương là ar=(1; 2; 1)- ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là br= -( 7; 2;3)
Ta có : éëa, br rù =û (8; 4;16)
Gọi D là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì Dcó vectơ chỉ phương
ur =(2;1; 4)
Mặt phẳng (P) : (P)Éd1 và (P) có cặp VTCP (u, ar r
) Suy ra (P) qua A có vectơ pháp tuyến là: nuur1=éëu, ar rùû= -( 9; 6;3)
Phương trình của mp(P): 3x-2y z 6- - =0
Mặt phẳng (Q) :(Q)Éd2 và (Q) có cặp VTCP (u, br r
) Suy ra (Q) qua B có vectơ pháp tuyến 2
n =éëu, bùû= - -( 5; 34;11)
uur r r
, phương trình của mp (Q): 5x+34y 11z 38- - =0
Khi đó : D= (P)Ç(Q), phương trình tham số của D:
x 1 2t
y t
z 3 4t
= + ì
ï = í
ï = - + î
Cách 2:
Gọi :MÎd ; N1 Îd2 khi đó ta có: M(8 t;5 2t;8 t); N(3 7t ';1 2t ';1 3t ')+ + - - + +
MN= - -( 5 7t ' t; 4- - +2t ' 2t; 7 3t ' t)- - + +
uuuur
Trang 8Giả sử đường thẳng MN là đường vuơng gĩc chung của d1 và d2 thì MNuuuur
đồng thời vuơng gĩc với hai vectơ chỉ phương ar
và br
nên ta cĩ:
MN.a 0 5 7t ' t 2( 4 2t ' 2t) ( 7 3t ' t) 0
7( 5 7t ' t) 2( 4 2t ' 2t) 3( 7 3t ' t) 0 MN.b 0
ïỵ
uuuur r
6t ' 6t 6 t ' 0
Vậy M(7;3;9) , N(3;1;1) Suy ra đường vuơng gĩc chung của d1 và d2 cĩ phương trình tham
số là:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +
ì
ï = +
í
ï = +
ỵ
Cách 3:
Đường thẳng d1 cĩ vectơ chỉ phương là ar=(1; 2; 1)- , đường thẳng d2 cĩ vectơ chỉ phương là
br= -( 7; 2;3) Ta cĩ éëa, br rù =û (8; 4;16)
Gọi D là đường vuơng gĩc chung của hai đường thẳng d1 và d2 thì D cĩ vectơ chỉ phương
ur =(2;1; 4)
Mặt phẳng (P): (P)Éd1 và (P) cĩ cặp VTCP (u, ar r
) Suy ra (P) đi qua A cĩ vectơ pháp tuyến 1
n =éëu, áû= -( 9; 6;3)
uur r r
, khi đĩ phương trình mặt phẳng (P): 3x-2y- - =z 6 0
Gọi M=d2Ç(P)
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:
Vậy M(3;1;1)
Khi đĩ Dqua M cĩ vectơ chỉ phương ur=(2;1; 4), nên ta cĩ phương trình tham số của đường
thẳng D là:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= + ì
ï = +
í
ï = +
ỵ
Cách 4:
Trang 9Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là ar=(1; 2; 1)- , đường thẳng d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là br= -( 7; 2;3)
2
(P) d (P) / /d
É ì í î
Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ chỉ phương (a, br r
) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến
nr = éëa, br rù =û (8; 4;16) Khi đó mp(P) có phương trình là: 2x+ +y 4z 53- =0
Gọi đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên mặt phẳng (P) Nên đường thẳng d’
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là mp chứa d2 và vuông góc với mp (P)
Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương (b, nr r
) nên mp(Q) có vectơ pháp tuyến n 'uur=éëb, nr rùû=(5;34; 11)- , mp (Q) có phương trình là: 5x+34y 11z 38- - =0
Gọi M =d ' dÇ 1, toạ độ điểm M là nghiệm của hệ :
x 8 t
y 5 2t
z 8 t 2x y 4z 53 0 5x 34y 11z 38 0
= + ì
ï = +
ïï = -í
ï
ïî
x 7
y 3
z 9
= -ì
ï = ï
Û í = ï
ï = î
Vậy M(7;3;9)
Khi đó D là đường thẳng qua D và có VTCP ur = ë ûéa, br rù = (8;4;16) hay u 'uur=(2;1; 4)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng
x 7 2t : y 3 t
z 9 4t
= + ì ï
ï = + î
Cách 5:
Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là ar=(1; 2; 1)- ; d2 qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là br= -( 7; 2;3)
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua A(8;5;8) và vuông góc với d1, (P) có vectơ pháp tuyến
ar=(1; 2; 1)
-(P) : x+2y- -z 10=0
Trang 10+ Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d2 lên (P)Þd '=(P)Ç(Q) Với (Q) là mặt phẳng chứa
d2 và vuông góc với (P) Þ(Q) qua B(3;1;1) có cặp VTCP (a, br r
) (Q): 2x+ +y 4z 11- =0
Vậy d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên có phương trình tham số là:
x 4 3t
y 3 2t
= +
ì
ï =
-í
ï =
-î
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d’
(R) là mặt phẳng qua A và vuông góc (d’) nên (R) có vectơ pháp tuyến nuurR
=(3;-2;-1) (R): 3x-2y z 6- - =0
Khi đó : H= Çd ' (R) Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :
x 4 3t
y 3 2t
3x 2y z 6 0
= + ì
ï = -ï
í = -ï
ï - - - = î
x 4
y 3
z 0
= ì ï
Ûí =
ï = î
Vậy H(4; 3; 0)
+ Gọi c là đường thẳng qua H và c // d1 nên đường thẳng c có phương trình tham số là :
x 4 t
y 3 2t
= +
ì
ï = +
í
ï =
-î
+ Gọi M=d2ÇcÞM(3;1;1)
+ Khi đó D là đường thẳng qua M và có VTCP HAuuur
=(4;2;8) hay u 'uur=(2;1; 4), vậy phương
trình tham số của đường thẳng D:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= + ì
ï = + í
ï = + î
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình:
6
x t y
z t
= ì
ï =
í
ï = +
î
d2:
2 1 2
x t
y t
z t
¢
= + ì
ï = - ¢ í
ï = - ¢ î
a Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau nhưng vuông góc với nhau
Trang 11b Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và vuông góc với d2
c Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2
Hướng dẫn:
a Đường thẳng d1 đi qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP ar =(1; 0;1), d2 đi qua điểm B(2; 1;
2 ) và có VTCP br=(1; 1; 1)- -
Ta thấy hai vectơ ar =(1; 0;1) và br=(1; 1; 1)- - không cùng phương và hệ gồm hai phương của hai đường thẳng d1 và d2 vô nghiệm do đó d1 và d2 chéo nhau
Ta có a br r =1.1 0.( 1) 1.( 1)+ - + - =0nên hai đường d1 và d2 vuông góc với nhau
b Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và có VTPT là br=(1; 1; 1)- - , khi đó (P) có phương trình là : x- - + =y z 9 0
c (Khi làm câu c ta nên chọn trường hợp đặc biệt để giải)
GọiD là đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2
Đường thẳng d2 cắt mp(P) tại điểm 2 11 14; ;
Mæ- ö
Ta có éëa br r, ù =û (1; 2; 1)-
Đường thẳng D đi qua điểm 2 11 14; ;
Mæ- ö
è ø và có VTCP là éëa br r, ù =û (1; 2; 1)- có
phương trình tham số là:
2 3 11 2 3 14 3
z t
-ì = + ï
ï
ï = + í
ï
ï = -ïî
4 Một số bài tập rèn luyện
Bài 1 Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau sau:
a) d1:
x 1 2t
y 1 3t
z 2 t
= - + ì
ï = + í
ï = + î
d2 : x 2 y 2 z
Trang 12
-b) d1:
x t
y 4 t
z 6 2t
= ì
ï = + í
ï = + î
d2 :
x t '
y 6 3t '
z 1 t '
= ì
ï = - + í
ï = - + î
c) d1:
x 3 4t
= -ì
ï = - + í
ï = - + î
d2 :
x 6t '
y 1 t '
z 2 2t '
= -ì
ï = + í
ï = + î
Bài 2 Cho hai đường thẳng d1 và d2
d1:
x 1 t
y 6 2t
= -ì
ï = +
í
ï =
-î
d2 : x 3 y 3 z 4
-a) Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa d1 và song song với d2
b) Lập phương trình hình chiếu của d2 lên mp(P)
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
III./ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Trước đây trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, khi gặp các bài toán “viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau” các em thường lúng túng để xác định các cách giải quyết bài toán này Trong năm học 2009 – 2010 bản thân tôi đã áp dụng các phương pháp trên vào trong bài giảng của mình, giúp các em học sinh định hướng
và chọn một phương pháp cụ thể khi giải quyết bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, và cho kiểm tra trên các lớp 12A2 12B1 có kết quả như sau:
Kiểm tra 15 phút
Đề 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là
1
8
8
x t
d y t
z t
= +
ì
ï = +
í
ï =
-î
2
:
x y z
d - = - =
-a) Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.(2 điểm)
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 (8 điểm)
Trang 13Đáp số câu b :
3 2
1 4
x t
y t
z t
= + ì ï
D í = +
ï = + î
Cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:
1 Lớp 12A2 sĩ số: 43
2.Lớp 12B1 sĩ số: 40
Kiểm tra 20 phút
Đề 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình là
1
1
3
x t
d y t
z t
= +
ì
ï = - +
í
ï =
-î
x y z
d = - =
-a) Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2 Tính góc giữa chúng.(3 điểm)
b) Lập phương trình mp(P) chứa d1 và vuông góc với d1.(2 điểm)
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.(5 điểm) Đáp số:
a) Hai đường thẳng chéo nhau Góc giữa chúng là 90o
b) (P): x+y-z+5=0
c) Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là
x+ = y+ = z
-Sau khi cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:
1 Lớp 12A2 sĩ số: 43
Trang 14Số lượng 10 7 5 8 5 2 1 2 3 0
2 Lớp 12B1 sĩ số 40
IV./ KẾT LUẬN:
Trên đây chỉ là tích luỹ kinh nghiệm về tìm hiểu về một số cách viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau của bản thân Trong quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng vào trong các lớp 12A2 và lớp 12B1 tôi nhận thấy các em phần nào hiểu được các cách giải, các em đã biết vận dụng và chọn lựa cách giải phù hợp trong từng bài toán Với kinh nghiệm còn ít, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quí thầy cô Xin chân thành cảm ơn
Ninh sơn, ngày tháng 05 năm 2010
NGƯỜI VIẾT
LÊ THỊ TUYẾT TRÂM