Giao trinh co hoc luong tudung cho SV

* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thay đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thàn[r]

II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ

III H ÀM RIÊNG TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ

RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

IV TO ÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY

TOÁN TỬHECMIT

1 Ðịnh nghĩa toán tử hecmit:

2 Các tính chất của toán tử hecmit:

3) Toán tử tuyến tính. TOP

II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ

Tổng và hiệu hai toán tử thì giao hoán được, còn tích hai toán tử nói chung không giao hoán được, khi viết tích hai toán tử ta phải giữ

nguyên thứ tự của chúng

III HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

Nói chung khi cho toán tử tác dụng lên hàm thì ta đượchàm số (Với (x) là tập hợp biến số nào đó) Nhưng cũng cótrường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số.Tức là:

Khi đó ta nói là hàm riêng của toán tử Â và phương trình trêngọi là phương trình trị riêng của toán tửĠ Còn a được gọi là trị riêngứng với hàm riêng của toán tử Â

Một toán tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tương ứngvới một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiềuhàm riêng, trường hợp này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:

Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vô hạn; có thể là gián đoạn hayliên tục

Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một toán tử, ta phải giải phươngtrình trị riêng của toán tử đó

Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa

Vì hàm số tuần hoàn trong khoảng (0,L) nên ta có Tứclà:

IV TOÁNTỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TOÁN

TỬ HECMIT):

1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit: TOP

Cho toán tử Â và các hàm số bất kì Nếu hệ thức sauđược thỏa mãn :

không phải là hecmit

2- Các tính chất của toán tử

a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những số thực

b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau

Trước hết ta định nghĩa sự trực giao như sau:

Nếu có hệ các hàm (n =1; 2; 3 )

Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng

Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trựcgiao với nhau Muốn vậy ta hãy chọn Khi đóbiểu thức định nghĩa là:

Tức là các hàm trực giao với nhau

Nếu các hàm riêng được chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điềukiện trực giao và chuẩn hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trựcchuẩn như sau:

c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ

Tính chất này có nội dung như sau:

Nếu ta có hàm f(x) bất kì và các hàm riêng của toán tử hecmitthì ta có thể phân tích f(x) thành:

Ta thừa nhận tính chất này ,mà không cần phải chứng minh

V.CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN TỤCMột toán tử có các trị riêng là liên tục thì được gọi là toán tử cóphổ liên tục Ðối với toán tử có phổ liên tục thì phương trình trị riêngđược viết:

Ðể phân biệt với toán tử có phổ gián đoạn

Trong phương trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làmchỉ số chạy Như vậy a là thông số biến đổi liên tục chứ không phải làcác số nguyên Ðối với toán tử có phổ liên tục, các tính chất vẫn nhưtoán tử có phổ gián đoạn Tức là:

- Trị riêng là những số thực

- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ

- Các hàm riêng trực giao với nhau

Nhưng điều kiện chuẩn hóa lại khác Khi đó ta có:

khi tọa độ tiến tới vô cực

Với gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởiquy tắc tích phân

Ví dụ hàm đenta đối số x là:

Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c

Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêngcủa toán tử có phổ liên tục thì ta phải dùng công thức:

thay cho công thức:

trong trường hợp toán tử có phổ gián đoạn

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG

CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN

II CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬIII GI Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

VII NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN

TỬ KHÁC VIII S Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

IX HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG

Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó kháiniệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với kháiniệm chuyển động trong cơ cổ điển Trong cơ học lượng tử không cókhái niệm qũy đạo

Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm chuyển động trong cơ học

cổ điển và cơ lượng tử

* Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo một qũy đạo xác định.Các biến số động lực như tọa độ, năng lượng, xung lượng được xácđịnh chính xác đồng thời tại từng điểm và từng thời điểm trên qũy đạo

* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một

bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thayđổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyếntính các sóng điều hòa-bó sóng) Còn các biến số động lực nói chungkhông được xác định chính xác đồng thời, mà khi nói về chúng, ta chỉ

có thể nói xác suât để biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảngnào là bao nhiêu mà thôi

Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực trong cơ học lượng tửkhông mô tả bằng số như cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng cáctoán tử Ta thừa nhận một số giả thuyết như những tiên đề

II CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TOP

Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một toán tử tuyến tính xác định

Tính chất tuyến tính là phản ánh nguyên lí chồng chất rằng: Nếu

hệ lượng tử có thể ở các trạng thái mô tả bằng các hàm sóng

III GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC TOP

Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số động lực L biểu diễnbằng toán tử như sau:

Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tính giá trị trung bình theo

hệ số phân tích Sau đây ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo

trạng thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử Ta sẽ chứng minh giátrị trung bình có biểu thức:

(3.3)

Trong đó là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ và ta lưu ý rằng(x) là tập hợp các biến số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x

Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián đoạn )

a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:

Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà ta đã biết

b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số của (3.3) bằng 1 và

ta dễ dàng tính được Cũng là công thức định nghĩa (3.1)

mà ta đã biết Vậy công tức (3.3) đã được chứng minh

Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác suất hay giá trị trungbình của biến số động lực thì ta phải biết được các hệ số phân tích Tahãy tìm cách để tính chúng

Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các sẽ sai khác nhaumột hằng số Thông thường ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu

thức xác suất được đơn giản

V GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN

a/ Biểu thức xác suất:

Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thể nói xác suất để biến sốđộng lực có giá trị L là bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L

có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là bao nhiêu mà thôi Xácsuất này thì tỉ lệ với dL và có biểu thức:

Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao cho:

(3.4)

Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu

ý rằng tích của tọa độ với các hàm sóng là giao hoán được thì ta có:

(3.5)

Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta sẽ nói rõ) thì toán tửtọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi

b/ Toán tử xung lượng:

Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng thìtương ứng với một sóng phẳng có dạng:

Trong đó hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng

là hàm riêng của toán tử Do đó ta có phươngtrình trị riêng:

Hai vế của phương trình bằng nhau Vậy

Tương tự

Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ học lượng tử Trong

cơ học cổ điển, các biến số động lực liên hệ với nhau bằng các côngthức đã biết như:

Trong cơ học lượng tử thì các biến số động lực được biểu diễnbằng các toán tử và chúng cũng liên hệ với nhau bằng các công thứctương tự như thế Ðó là nội dung của nguyên lí tương ứng trong cơhọc lượng tử Từ nguyên lí tương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta

có thể suy ra được các toán tử khác

a/ Toán tử năng lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có công thức:

Trong cơ học cổ điển ta có:

VIII SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC TOP

Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến số động lực L,M của

hệ, chúng được biểu diễn bằng hai toán tử

Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn thì hàm sóng (x)phải trùng với hàm riêng Nghĩa là

Nếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng có giá trị xác định thì(x) cũng trùng với hàm riêng của Tức là là hàm riêngchung của hai toán tử Vậy, muốn đo chính xác đồng thời haibiến số động lực L, M của hệ lượng tử ở cùng một trạng thái thì haitoán tử biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng khi đó ta có:

Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để hai toán tử có chunghàm riêng là hai toán tử phải giao hoán với nhau Tức là giao hoán tửcủa chúng bằng không

a/ Ðiều kiện cần (hai toán tử có chung hàm riêng thì giao hoán):

b/ Ðiều kiện đủ (hai toán tử giao hoán thì có chung hàm riêng):

IX HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG TOPXét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến số động lực L và M ,chúng được biểu diễn bằng hai toán tử

Ta biết rằng nếu giao hoán thì ta đo được chính xác đồngthời cả L và M Nếu chúng không giao hoán thì không đo chính xácđồng thời được

Giả sử không giao hoán Ta hãy xét xem khi đo chúngđồng thời thì độ chính xác đạt đến mức độ nào?

Vì biến diễn hai biến số động lực nên chúng là các toán tửhecmit Nên ta có:

với là toán tử hecmit

Gọi là giá trị trung bình của hai biến số động lực L và M thì độlệch khỏi giá trị trung bình của L và M là:

Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một thủ thuật sau:

Nế

u đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính xác phải tuân theo hệthức bất định sau:

Hay

Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu như sau:

Khi quan sát một hệ lượng tử (electron chẳng hạn), ta phải chiếuvào nó một bức xạ có bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung

lượng P = ) Khi foton va chạm với electron thì ta xác địnhđược vị trí của electron Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cảxung lượng thì phép đo xung lượng kém chính xác Vì do xung lượngcủa foton lớn nên xung lượng của electron bị biến đổi nhiều, khôngcòn như cũ nữa, do đó ta không đo được chính xác đồng thời cả xunglượng và tọa độ của hạt

Ðiều này chứng tỏ các hạt vi mô khác với các vật vĩ mô thôngthường Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt,

đó là một thực tế khách quan Việc không đo được chính xác đồngthời cả tọa độ và xung lượng của hạt là do bản chất của sự việc chứkhông phải do trí tuệ của con người bị hạn chế Kĩ thuật đo lường của

ta có tinh vi đến mấy đi nữa cũng không đo được chính xác đồng thời

cả tọa độ và xung lượng của hạt Hệ thức bất định Heisenberg là biểuthức toán học của lưỡng tính sóng hạt của vật chất

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Bài 3-1 Cho hạt chuyển động tự do trên một đường thẳng

1/ Chứng minh rằng có thể đo được một cách chính xác đồng thời xung lượng và năng lượng của hạt

2/ Nếu hạt chuyển động trong một trường có thế năng V(x) ( 0thì sao?

Bài 3-2 Hạt chuyển động trong không gian Chứng minh rằng có

thể đo được chính xác đồng thời bình phương của xung lượng

Bài 3-3 Toán tử năng lượng của một hạt có thể viết dưới dạng:

Hãy tìm độ bất định của năng lượng đối với thời gian (t)

Bài 3-4 Hạt chuyển động trên trục x trong khoảng (-a, a) và

hàm sóng có dạng:

1/ Chuẩn hóa hàm sóng này

2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng (a/2 , a)

Bài 3-7 Ðộng năng của electron trong nguyên tử Hydro có

giá trị cỡ 10 eV Hãy dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kíchthước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên tử

Bài 3-8 Dùng hệ thức bật định đánh giá năng lượng nhỏ

nhất Emin của electron trong nguyên tử Hydro có kích thước là d

Bài 3-9 Hạt vi mô có độ bất định về xung lượng là 1% xung

lượng của nó Tính tỷ số bước sóng De Broglie và độ bất định

về tọa độ x của hạt

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

I PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ

THUỘC THỜI GIAN

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH

VI HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

VII DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

I PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Xét hạt chuyển động trong trường thế có thế năng phụ thuộc vàotọa độ Hạt có năng lượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng (toán tử Hamilton)

Phương trình này mang tên là phương trình Schrodinger khôngphụ thuộc thời gian, là phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyếntính Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E Song không phảinghiệm nào cũng ứng với một trạng thái vật lí Chỉ có những nghiệmthỏa mãn đơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn một trạng tháivật lí và mới chấp nhận được Các nghiệm không thỏa mãn điều kiệntrên thì không chấp nhận được Người ta chứng minh rằng chỉ có

những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm theo quan điểm vật lí.Thường những giá trị ấy là những giá trị gián đoạn và một dải nhữnggiá trị liên tục của E

- Các giá trị gián đoạn của E ứng với nghiệm giảm nhanh về sốkhông khi tọa độ tiến tới vô cực Trạng thái này gọi là trạng thái liênkết

- Các giá trị liên tục của E ứng với nghiệm hữu hạn ở vô cực vàgọi là trạng thái không bị liên kết

Việc giải phương trình Schrodinger trong không gian là phức tạp

Ðể làm quen, trước hết ta hãy giải bài toán trong không gian mộtchiều, tuy rằng bài toán một chiều nó không ứng với chuyển động củamôt hệ thực Nhưng qua đó nó cho ta một số ý niệm đầu tiên về tínhchất sóng hạt của vật chất Hơn nữa, cũng có những bài toán trongkhông gian ba chiều ta có thể quy về bài toán một chiều được

Vậy việc giải bài toán một chiều là cần thiết và quan trọng

Giả sử hạt chuyển động trên trục ox, hạt có thế năng V(x) thì

Phương trình này gọi là phương trình Schrodinger một chiều

II CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHORODINGER MỘT CHIỀU

2- Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm

Theo đòi hỏi về vật lí,nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục.Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm theo tọa độ của nó phải liên tục Ta hãy chứng minh tính liên tục của đạo hàm

Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như hình Tức là khi ở bên trái

và bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một lượng hữu hạn như hình Phương trình Schrodinger cho ta

III HỐ THẾ CÓ CHIỀU SÂU VÔ HẠN:

Ta hãy xét bài toán mà hạt chuyển động trên trục ox, thế năng

Như vậy ngoài khoảng (- a , a) hàm sóng của hạt là Còntrong khoảng (- a , a) thì hàm sóng tuân theo phương trình

Schrodinger như sau:

là phương trình dao động điều hòa

Nghiệm của phương trình này là Trong đó

A và B là các hằng số phải xác định từ các điều kiện biên và điều kiệnchuẩn hóa

Với bài toán này thì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên bài toán

có hai lớp nghiệm riêng biệt chẵn và lẻ

IV HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN

Xét hạt chuyển động trên trục ox và thế năng có dạng

Ta thấy rằng hạt chuyển động tự do trong

khoảng (-a,a) và muốn hạt ra khỏi khoảng này thì

phải cấp cho hạt một năng lượng lớn hơn hoặc bằng V0

Theo cổ điển thì: -

Phương trình Schrodinger trong miền /x/ < a có dạng:

Giải các phương trình trên ta được nghiệm như sau:

V THẾ BẬC THANG

Xét hạt chuyển động trên trụ x và thế năng có dạng: