(trong ñó S là diện tích tam giác ABC). Tìm m ñể giá trị bé nhất của hàm số ñạt giá trị lớn nhất. a) Tính phương tích của trọng tâm G của tam giác ABC ñối với ñường tròn ngoại tiếp [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp: 10 Năm học 1998 - 1999
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/1999
Bài 1
Cho parabol: y= x2 −3x+3
a) Viết phương trình ñưòng thẳng ñi qua A(1;
2
1 ) và tiếp xúc với parabol
b) M là một ñiểm bất kì thuộc ñường thẳng
2
1
=
y Chứng minh rằng qua M luôn vẽ ñược hai tiếp tuyến với parabol và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
Bài 2
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 −3x+a=0; x3, x4 là hai nghiệm của phương trình: x2 −12x+b=0 Biết rằng:
3 4 2 3 1
2
x
x x
x x
x
=
= Tìm a, b ?
Bài 3
a) Giải hệ phương trình:
= +
=
− + + 128
4
2 2
y x
y x y x
b) Cho phương trình: 4−x + x+5 =m
Tìm m ñể phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 4
Tìm m ñể hệ bất phương trình sau có nghiệm:
≥ + + + +
≤ +
−
0 2 )
1 (
0 2 3
2 2
m x m x
x x
Bài 5
a) Cho ñường tròn (O) với dây AB, K là ñiểm chính giữa của cung nhỏ AB Kẻ các dây KC,
KD lần lượt cắt AB tại E và F Chứng minh rằng các ñường tròn (ACE) và (ADF) tiếp xúc với nhau b) Cho tam giác ABC, O là ñiểm tuỳ ý trong tam giác Hạ OM, ON, OP lần lượt vuông góc với 3 cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
r
p OP
AB ON
AC OM
với p là nửa chu vi tam giác ABC; r là bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC
-Hết -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp: 10 Năm học 1998 - 1999
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/1999
Bài 1 ( 5 ñiểm)
a) Cho a1,a2,a3,La2004 là 2004 số thực bất kỳ thoả mãn
2004
2 2004 2
2 2
Chứng minh rằng: a1+ a2 + L + a2004 ≤ 2004
b) Giải phương trình: x4 +x2 −6x+1=0
2
1 2 2
5
x
x x
Bài 2 (5 ñiểm)
Cho phương trình: 3 + x + 5 − x − ( 3 + x )( 5 − x ) = m
a) Giải phương trình khi m = 2004
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm
c) Tìm m ñể phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 3 (5 ñiểm)
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) Nếu sin2B+sin2C =2sin2 A thì góc A không vượt quá 600
b) Nếu 4S = (a + b - c)(a – b + c) thì tam giác ABC vuông
(trong ñó S là diện tích tam giác ABC)
Bài 4 (5 ñiểm)
a) Cho hàm số y =x2 +2(m−1)x+3m−5
Tìm m ñể giá trị bé nhất của hàm số ñạt giá trị lớn nhất
a) Tính phương tích của trọng tâm G của tam giác ABC ñối với ñường tròn ngoại tiếp tam giác ấy theo ñộ dài các cạnh của nó
-Hết -
Trang 3SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp: 10 Năm học 2001 - 2002
Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/4/2002
Bài 1 (2 ñiểm)
Cho phương trình: x2 −8x+1=0 có 2 nghiệm là x1, x2
a) Tính S =x17 +x27
b) Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá (4+ 15)7
Bài 2 (2 ñiểm)
a) Giải hệ phương trình
= +
−
= +
13
5
4 2 2 4
2 2
y y x x
y x
3 2 2
2 4
x
x x
x x x
Bài 3 (2 ñiểm)
a) Cho a, b, c là 3 số dương Chứng minh rằng:
3 3 3
c b a a
c c
b b
a
+ +
≥ +
b) Cho tam giác ñều ABC có cạnh bằng a Gọi ñường vuông góc từ ñiểm M nằm trong tam giác ñều ñến các cạnh BC, CA, AB lần lượt là MD, ME, MF Xác ñịnh vị trí ñiểm M ñể biểu thức
MD MF MF ME ME MD
f
+
+ +
+ +
nhất ñó
Bài 4 (1.5 ñiểm)
Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, hai ñường trung tuyến thuộc hai cạnh góc vuông cắt nhau theo một góc nhọn là α thì
5
4 cosα ≥
Bài 5 (2.5 ñiểm)
Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm các cạnh BC, CA, AB Dựng ra phía ngoài tam giác các ñoạn PD và NE sao PD vuông góc với AB; PD = AB và NE vuông góc với AC;
NE = AC F là ñiểm sao cho DPNF là hình bình hành Chứng minh:
a) EF vuông góc với AM b) BC2 + EF2 =2(AB2 + AC2)
-Hết -
Trang 4SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO
BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Lớp: 10 Năm học 2002 - 2003
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/04/2003
Bài 1 (6 ñiểm)
0 5 3 6
0 2
I a
y x
a y x
≥ + +
≤ +
−
Trong mặt phẳng toạ ñộ xét hai ñiểm A(0; 9) và B(3; 6) Tìm a ñể toạ ñộ của một ñiểm bất kì trên ñoạn AB là nghiệm của hệ bất phương trình trên
2) Giải phương trình: 4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x2
Bài 2 (4 ñiểm)
1) Chứng minh rằng nếu ít nhất hai trong 3 số a, b, c khác nhau thì:
2 )
( ) ( ) (
3
2 2
2
3 3 3
c b a a c c b b a
abc c
b
− +
− +
−
− + +
2) Cho x, y, z là các số không âm Chứng minh rằng:
x4 +y4 +z4 ≥ xyz(x+y+z)
Bài 3 (4 ñiểm)
1) Chứng tỏ tam giác ABC là vuông nếu S = p (p - c)
Trong ñó S là diện tích ; a, b, c là ñộ dài các cạnh, p là nửa chu vi tam giác ABC
2) Chứng minh rằng ñối với mọi tam giác thì ñộ dài các cạnh b, c là các nghiệm của phương
cos 1
1 ) 4 ( 2
−
− +
−
A m
k kx
tương ứng của các cạnh AC, AB; m là ñộ dài ñường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ) a
Bài 4 (6 ñiểm)
1) Trên ñoạn thẳng AB Người ta xét 2n ñiểm sao cho chúng gồm n cặp ñiểm ñối xứng với nhau qua trung ñiểm O của AB Tiếp ñó người ta ñánh dấu ñỏ n ñiểm bất kì và ñánh dấu xanh n ñiểm còn lại Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ A ñến n ñiểm ñỏ bằng tổng các khoảng cách từ B tới n ñiểm xanh
2) Cho tam giác ABC, ñường phân giác trong của góc B cắt ñường trung
bình DE ( // AB) tại P ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại M, N Chứng minh rằng các ñiểm M, N, P thẳng hàng
-*&* -