Toán tử khả nghịch suy rộng và áp dụng giải phương trình ma trận

Tầm quan trọng của toán tử khả nghịch suy rộng là vô cùng to lớn,mà nổi bật ở đây là giải phương trình ma trận Phương trình có dạng AX = B.. Việc giải phương trình ma trận dạng AX = B rấ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng - Năm 2019

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 0

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Dạng chuẩn Jordan 4

1.1.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 4

1.1.2 Ma trận Jordan 5

1.1.3 Sự đồng dạng của ma trận vuông với ma trận Jordan 7 1.2 Toán tử vec 11

1.3 Tích Kronecker 12

1.4 Quy về phương trình ma trận dạng AX = B 12

1.4.1 Phương trình ma trận CXD = E 12

1.4.2 Phương trình ma trận CX + XD = E 14

1.4.3 Phương trình ma trận CX + XC = µX 15

CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG 17

2.1 Định nghĩa và tính chất của toán tử khả nghịch suy rộng 17

2.2 Toán tử ban đầu 20

2.3 Ma trận khả nghịch suy rộng 23

2.4 Phương trình với toán tử khả nghịch suy rộng 28

CHƯƠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN 33

3.1 Giải phương trình AX = B với A là ma trận vuông 33

3.1.1 A khả nghịch 33

3.1.2 A không khả nghịch 34

3.2 Giải phương trình AX = B với A là ma trận không vuông 41

3.2.1 Phương pháp 41

3.2.2 Ví dụ 42

3.3 Giải một số phương trình ma trận khác 44

3.3.1 Phương trình ma trận dạng CXD = E 44

3.3.2 Phương trình ma trận dạng CX + XD = E 49

3.3.3 Phương trình ma trận dạng CX + XC = µX 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

vecA vec của A (xếp chồng các cột của A)

L(X) tập hợp các toán tử tuyến tính được chứa trong XdomA, (A ∈ L(X)) miền xác định của toán tử A

ImA, (A ∈ L(X)) miền giá trị của toán tử A

W (X) tập hợp các toán tử khả nghịch suy rộng thuộc L(X)

WV tập các nghịch đảo suy rộng của V ∈ W (X)

W1

V tập tất cả các hầu nghịch đảo của V

F(r) toán tử ban đầu phải

F(l) toán tử ban đầu trái

kerA = {x ∈ domA : A(x) = 0}

L0(X) = {A ∈ L (X) : domA = X}

Tầm quan trọng của toán tử khả nghịch suy rộng là vô cùng to lớn,

mà nổi bật ở đây là giải phương trình ma trận (Phương trình có dạng

AX = B) Việc giải phương trình ma trận dạng AX = B rất khó khăn,đòi hỏi chúng ta phải dùng những phương pháp biến đổi cồng kềnh vàphức tạp, dễ dẫn đến sai lầm khi tính toán và mất rất nhiều thời gian.Nhưng nhờ áp dụng toán tử khả nghịch suy rộng cộng với ma trận Jordangiúp chúng ta có thể đổi biến, đổi cơ sở để giải phương trình ma trận dạng

AX = B một cách gọn nhẹ và nhanh chóng

Như chúng ta đã biết, ứng dụng của ma trận trong thực tế là vô cùnglớn (vật lý, máy tính và không gian mạng, ) Vì vậy, việc giải các phươngtrình ma trận dạng AX = B là vô cùng quan trọng, nó góp phần vào sựphát triển của nhân loại Do vậy, tôi nhận thấy việc tìm hiểu về toán tửkhả nghịch suy rộng và áp dụng vào giải phương trình là cần thiết và

có ý nghĩa thực tiễn nên tôi quyết định chọn đề tài “TOÁN TỬ KHẢNGHỊCH SUY RỘNG VÀ ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

MA TRẬN” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu rõ được các toán tửkhả nghịch suy rộng, phương trình với toán tử suy rộng và ứng dụng của

nó để giải các phương trình ma trận

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định nghĩa, tính chất toán tử khả nghịch suyrộng

4 Phạm vi nghiên cứu

Ứng dụng toán tử khả nghịch suy rộng giải phương trình ma trận códạng AX = B

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của TS Phan Đức Tuấn và cáctài liệu tiếng Anh thu thập từ các bài báo khoa học, trang web và tài liệucủa các tác giả nghiên cứu liên quan đến toán tử khả nghịch suy rộng vàtrình bày các kết quả về đề tài theo hiểu biết của mình một cách ngắnngọn, theo hệ thống khoa học

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luậnvăn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những ngườikhông chuyên Toán dễ dàng tiếp cận và ứng dụng cho các bài toán thựctiễn của mình

7 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trìnhbày trong ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

- Trình bày các kiến thức liên quan đến sự đồng dạng của một ma trậnvuông với ma trận Jordan

- Trình bày về tích Kronecker để chuyển phương trình ma trận về dạng

AX = B

Chương 2 Toán tử khả nghịch suy rộng

- Trình bày các kiến thức liên quan đến toán tử khả nghịch suy rộng (địnhnghĩa, tính chất, ví dụ)

- Trình bày cách giải phương trình với toán tử khả nghịch suy rộng.Chương 3 Ứng dụng giải phương trình ma trận

- Phương trình AX = B với A là ma trận vuông (A khả nghịch, A khôngkhả nghịch)

- Phương trình AX = B với A là trận không vuông

- Phương trình ma trận dạng khác

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số tính chất về sự đồng dạng của

ma trận vuông với ma trận Jordan Ngoài ra, chương này còn trình bày vềcách chuyển một số phương trình ma trận khác về dạng AX = B

Các nội dung trong chương này dựa trên các tài liệu [1], [2], [4]

1.1 Dạng chuẩn Jordan

1.1.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Cho Vn và Wm là hai không gian vectơ trêntrường số F với dimVn = n, dimWm = m và f : Vn → Wm là một ánh xạtuyến tính

1.1.2 Ma trận Jordan

Định nghĩa 1.1.2 (Ma trận chuẩn tắc Jordan) Cho J là một matrận vuông cấp n trên trường số F Ta nói J là ma trận chuẩn tắc Jordannếu nó có dạng:

Khi đó, J là một ma trận Jordan

Định nghĩa 1.1.4 (Khối Jordan) Một khối Jordan ứng với giá trị

λk là một ma trận Jordan có dạng đặc biệt như sau:

Khi đó, J1 là một khối Jordan

Như vậy, mỗi ma trận Jordan J là do nhiều khối Jordan tạo nên

trong đó, Ji(i = 1, 2, , k) là khối Jordan thuộc giá trị λi

Ví dụ 1.1.6 Cho ma trận Jordan sau:

Ma trận J được tạo bởi các khối Jordan là:

1.1.3 Sự đồng dạng của ma trận vuông với ma trận JordanĐịnh nghĩa 1.1.7 Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường

số F Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông

B cấp n trên F sao cho: A.B = B.A = In Khi đó, B được gọi là ma trậnnghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1

Như vậy: A.A−1 = A−1.A = In

Định nghĩa 1.1.8 Cho ma trận A = [aij] vuông cấp n Định thức

củaAlà một số, được kí hiệu bởi|A|hoặcdet (A)hoặc

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

an1 an2 ann

... data-page="26">

CHƯƠNG2 TỐN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG

Trong chương này, trình bày số tính chất tốn tử kh? ?nghịch suy rộng cách cách giải phương trình ma trận

Các... khả nghịch suy rộng hầu nghịch đảo M MT

Từ khả nghịch, khả nghịch suy rộng khối Jordan ta có định lísau

Định lý 2.3.2 Nếu J ma trận Jordan có dạng (1.1) J kh? ?nghịch suy. ..

i Toán tử V ∈ L(X) gọi khả nghịch suy rộng tồn tạitoán tử W ∈ L(X) (toán tử W gọi nghịch đảo suy rộng V) saocho

ImV ⊂ domW, ImW ⊂ domV V W V = V domV

Ký hiệu W (X) tập tất toán tử