Phương pháp newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN HỌC ------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Sinh viên thực hiện: Văn Bá Côn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN HỌC

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE

Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Qúy Mười

- Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020  -

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

*****

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

BIẾN PHÂN

Sinh viên thực hiện: Văn Bá Công – Lớp 16CTUDE Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Qúy Mười

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020

Em xin cam đoan những kết quả được trình bày trong khóa luận tốtnghiệp này là công trình nghiên cứu của riêng em Các kết quả và số liệutrong đề tài nghiên cứu là trung thực được trích dẫn nguồn đầy đủ hoặcchưa từng công bố trong bất kỳ công trình của ai khác Kết quả bài báoviết chung với các tác giả khác đều nhận được sự nhất trí của các đồngtác giả khi đưa vào luận văn tốt nghiệp.

Đà Nẵng, tháng 6 năm 2020

Tác giả

Văn Bá Công

Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành tại khoa Toán trường đạihọc Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Sau một thời gian tích cực học tập vànghiên cứu, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo hướng dẫn, đến nayluận văn của em đã hoàn thành.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Phạm Qúy Mười, người

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy cô giáo

đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán học.Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp16CTUDE đã giúp đỡ, động viên, tạo điều kiện cho em hoàn thành khóaluận tốt nghiệp này

Tác giả

Văn Bá Công

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Không gian Rn 5

1.3 Tích vô hướng 5

1.4 Hàm nhiều biến 6

1.5 Tập lồi - Nón lồi 7

1.6 Toán tử và toán tử chiếu 7

1.7 Điểm bất động 8

1.8 Bài toán bất đẳng thức biến phân 8

1.8.1 Phát biểu bài toán 8

1.8.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 10

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG TRƠN 15

2.1 Đạo hàm nghiêng 15

2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Một số tính chất của hàm khả vi nghiêng 17 2.2 Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình không trơn 22

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 27

3.1 Phát biểu bài toán 27

3.2 Một số tính chất của toán tử Φ 28

3.3 Thuật toán Newton suy rộng 35

3.4 Ví dụ số 36

KẾT LUẬN 47

Tài liệu tham khảo 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một bài toán quan trọng trongtoán học ứng dụng, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 khi PhilipHartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên củamình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biếnphân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyếtphương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân có quan

hệ mật thiết với các bài toán tối ưu khác và bài toán bù phi tuyến là mộttrường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân[2, 5, 6]

Gần đây việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bao hàmnhiều lớp bài toán quan trọng thuộc các lĩnh vực khác nhau như bài toántối ưu, bài toán bù, bài toán điểm bất động của Brouwer, lý thuyết tròchơi, bài toán cân bằng Nash, bài toán cân bằng mạng giao thông, Cácnhà nghiên cứu cũng chỉ ra rằng nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vựckinh tế, đời sống và kỹ thuật có thể mô tả được dưới dạng bài toán bấtđẳng thức biến phân[2, 6]

Cho tới nay, việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân luônnhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoàinước Hai hướng nghiên cứu chính về bài toán bất đẳng thức biến phân

là nghiên cứu về các vấn đề định tính như: Sự tồn tại nghiệm, cấu trúctập nghiệm, tính ổn định, và nghiên cứu về định lượng như đề xuất cácphương pháp, thuật toán giải, tính hội tụ của các thuật toán,

Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về bài toán bất đẳng thức biếnphân và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn em chọn đề tài:"Phươngpháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân" làm khóaluận tốt nghiệp của mình Khóa luận tập trung nghiên cứu một phươngpháp Newton suy rộng dựa trên khái niệm đạo hàm nghiêng và áp dụngphương pháp này vào giải bài toán bù phi tuyến - Một trường hợp cụ thể

của bài toán bất đẳng thức biến phân Hơn nữa, khóa luận cũng nghiêncứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.Nội dung của khóa luận được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, khóaluận còn có phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương I: Cơ sở lý thuyết: Chương này, trình bày một số kiến thức cơbản về không gian Banach, không gian Rn, tích vô hướng, tập lồi, toán tửchiếu, điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân[1, 2, 3, 4, 5, 6].Một số kết quả quan trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăngtrên tạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7]

Chương II: Phương pháp Newton suy rộng cho phương trình khôngtrơn Chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng và tính chấthàm khả vi nghiêng Tiếp theo, áp dụng phương pháp Newton suy rộng

để giải phương trình không trơn[3, 8]

Chương III: Phương pháp Newton suy rộng cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân: Chương này, trình bày phương pháp Newton suy rộng để giảibài toán bù phi tuyến[2, 9]

Hướng nghiên cứu tiếp là ứng dụng phương pháp Newton suy rộng vàocác bài toán khác nhau và nghiên cứu phương pháp tựa Newton suy rộng

2 Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu

Nhằm hiểu thấu đáo về bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tạinghiệm, nghiệm duy nhất từ đó nghiên cứu tìm ra các phương pháp giảibài toán Ngoài ra, em mong muốn sẽ đưa ra được những kết quả mớinhằm đóng góp phần nào đó cho mảng nghiên cứu này

Trong khóa luận này, em sử dụng phương pháp nghiên cứu các tài liệu

đã có liên quan đến bài toán cần nghiên cứu Trước tiên, em thu thập cácbài báo khoa học[8, 9] của những tác giả đi trước liên quan đến bài toánbất đẳng thức biến phân bù phi tuyến Sau đó, tìm ra nhứng vấn đề cònmới để đi tìm lời giải, cuối cùng sử dụng phương pháp Newton suy rộng

để giải bài toán này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là sự tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân và phương pháp Newton suy rộng để giải bài toán.Phạm vi Nghiên cứu là các khía cạnh liên quan đến bài toán bất đẳngthức biến phân cụ thể là bù phi tuyến trong không gian Rn

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần bổ sung thêm các kết quả

lý thuyết của bài toán bất đẳng thức biến phân Đồng thời, đề tài cũngđóng góp vào việc tìm hiểu phương pháp Newton suy rộng để giải bài toánbất đẳng thức biến phân

Bài nghiên cứu có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên,học viên và các nghiên cứu sinh đang nghiên cứu về mảng này

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này, trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Banach,không gian Rn, tích vô hướng, tập lồi, toán tử chiếu, điểm bất động, bàitoán bất đẳng thức biến phân Những kiến thức này sẽ được sử dụng ởphần sau, việc chứng minh các tính chất, định lý trong chương này ngườiđọc có thể tham khảo ở các tài liệu[1, 2, 3, 4, 5, 6] Một số kết quả quantrọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng trên tạp chí khoa họctrường đại học Sư Phạm Đà Nẵng[7]

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 [Không gian định chuẩn] Cho X là một không gianvecto trên R và || · || : X → R là một hàm số thỏa mãn:

1 ∀x ∈ X : ||x|| ≥ 0; ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0

2 ||λx|| = |λ|||x||, với mọi λ ∈ R, x ∈ X

3 ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X

Khi đó, cặp (X, || · ||) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn haygọi là không gian định chuẩn và hàm số || · || được gọi là một chuẩn trên

X

Định nghĩa 1.1.2 [Sự hội tụ theo chuẩn] Cho (X, || · ||) là một khônggian định chuẩn Dãy (xn)n ⊂ X được gọi là hội tụ đến x trong khônggian X nếu lim

n→∞||xn − x|| = 0.Định nghĩa 1.1.3 [Dãy Cauchy] Cho(xn)n là một dãy trong không gianđịnh chuẩn(X, || · ||) (xn)n được gọi là một dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃no ∈

N sao cho mọi n, m ≥ no ta có ||xn− xm|| < ε

Tính chất Trong không gian định chuẩn X, mọi dãy hội tụ là Cauchycòn dãy Cauchy thì chưa chắc hội tụ Trong trường hợp ngược lại là đúngthì không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.4 [Không gian Banach] Cho (X, || · ||) là không gianđịnh chuẩn Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc

X thì X được gọi là không gian Banach

1.2 Không gian Rn

Định nghĩa 1.2.1 Ta ký hiệu Rn là tập hợp các bộ có thứ tự gồm n sốthực, Rn = {x = (x1, x2, , xn) : xi ∈ R} Khi n = 1, thì R1 là tập hợpcác số thực R Khi n = 2, thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1, x2) haytập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ (x1, x2) R2 được gọi là khônggian 2 chiều và các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x, y) thay cho

(x1, x2) Khi n = 3, thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1, x2, x3) hoặctập hợp các điểm trong không gian R3 được gọi là không gian 3 chiều

và các điểm trong không gian thường được ký hiệu là (x, y, z) thay cho

(x1, x2, x3) Rn được gọi là không gian n chiều với mỗi phần tử của nó gọi

là một điểm hay véctơ Nếu x = (x1, x2, , xn) là một điểm của Rn thì

x1, x2, , xn cũng gọi là các tọa độ điểm x

Định nghĩa 1.2.2 Khoảng cách giữa hai điểm x = (x1, x2, , xn) và

y = (y1, y2, , yn) của không gian Rn là số thực

1.4 Hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.4.1 Cho D là tập con khác rỗng của Rn Ánh xạ f :

D ⊂ Rn → R xác định bởi x = (x1, x2, , xn) ∈ D 7→ u = f (x) =

f (x1, x2, , xn) ∈R được gọi là hàm số n biến số xác định trên D Khi đó,

D được gọi là miền xác định của hàm số f, x1, x2, , xn được gọi là cácbiến số độc lập Nếu xemx1, x2, , xn là các tọa độ của một điểm M ∈ Rn

trong một hệ tọa độ nào đó thì cũng có thể viết u = f (M )

Trong trường hợp thường gặp n = 2 hay n = 3 người ta dùng kí hiệu

tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm

f tại x hay đạo hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và ký hiệu là:

Dif (x) hay fx0i(x) hay ∂f

∂xi

(x).Định nghĩa 1.4.3 Hàm số f xác định trên một tập mở U thuộc Rn đượcgọi là khả vi tại điểm x ∈ U nếu tồn tại các đạo hàm riêng củaf theo mọibiến tại điểm đó và với mọi d ∈ Rn,||d|| đủ nhỏ để x + d ∈ U, ta có:

f (x + d) = f (x) + h5f (x), di + o(||d||),

trong đó o(||d||) là vô cùng bé bật cao hơn ||d|| khi ||d|| −→ 0

Nhận xét Biểu thức trên tương đương với

lim

||d||→0

f (x + d) − f (x) − h5f (x), di

Định lí 1.4.4 Cho U là một tập mở trong Rn và f: U → R Nếu f khả vi

tại a ∈ U thì f có đạo hàm riêng theo mọi hướng tại a và

Định nghĩa 1.5.1 [Tập lồi]Cho hai điểm x, y ∈ Rn Tập tất cả các điểm

z = (1 − λ)x + λy, với 0 ≤ λ ≤ 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) nối x, y

K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0

Định nghĩa 1.5.3 [Nón lồi] Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu

1.6 Toán tử và toán tử chiếu

Định nghĩa 1.6.1 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng củakhông gian Rn, và ánh xạ F : C → Rn xác định bởi:

PC(x) = argmin{||x − y|| : y ∈ C},

được gọi là toán tử chiếu trên C

Bổ đề 1.6.2 Cho C là tập lồi, đóng và khác rỗng Khi đó, y = PC(x)

khi và chỉ khi

hy − x, z − yi ≤ 0 hay hy, z − yi ≤ hx, z − yi, ∀z ∈ C

Định nghĩa 1.6.3 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của khônggian Rn, ánh xạ T : C → C được gọi là không giãn trên C nếu:

||T (x) − T (y)|| ≤ ||x − y||, ∀x, y ∈ C

1.7 Điểm bất động

Định nghĩa 1.7.1 Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Rn

và T : C → C là một ánh xạ Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động củaánh xạ T nếu T (x) = x Ký hiệu F ix(T ) là tập tất cả các điểm bất độngcủa T, tức là:

F ix(T ) = {x ∈ C : T (x) = x}

Định lí 1.7.2 [Định lý điểm bất động Brower]

Cho Bn = {x ∈ Rn, ||x|| ≤ 1} là hình cầu đơn vị đóng trong Rn Khi đó,mọi anh xạ liên tục T :Bn → Bn từ hình cầu này vào chính nó đều tồntại ít nhất một điểm bất động x sao cho T (x) = x

1.8 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Phần này trình bày định nghĩa, sự tồn tại nghiệm và nghiệm duy nhấtcủa bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Rn[2, 6] Một sốkết quả quan trọng về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bấtđẳng thức biến phân đã được viết thành bài báo khoa học và đăng trêntạp chí khoa học trường đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng[7]

1.8.1 Phát biểu bài toán

Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của Rn và F : C → Rn.Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, viết tắt V I(F, C), được phátbiểu dưới dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.1)Định nghĩa 1.8.1 Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của không gian

(c) Đơn điệu (Monotone) trên C, nếu ∀x, y ∈ C,

Các suy luận dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.8.1:

(a) → (b) → (c) → (e) → (f ), (e) ←− (d)

Trong bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C), với mỗi x ∈ C và

λ > 0, ánh xạ FC : C → Rn được xác định bởi:

Khi đó, ánh xạ FC thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C

Mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C),

và ánh xạ giá tự nhiên FC được trình bày trong kết quả dưới đây

Mệnh đề 1.8.2 Điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của phương trình FC(x∗) = 0

Theo Bổ đề 1.6.2 thì x∗ = PC(x∗ − λF (x∗)) thay x∗ vào 1.2 ta được

FC(x∗) = 0 =⇒ x∗ là nghiệm của bài toán V I(F, C)

•(⇐) Nếu FC(x∗) = 0 thì bất đẳng thức ở 1.1 xảy ra dấu "=", Do đó x∗

là nghiệm của bài toán V I(F, C)

Bổ đề 1.8.3 Cho x∗ là nghiệm của V I(F, C)khi và chỉ khi x∗ là điểm bấtđộng của ánh xạ T : C → C cho bởi T (x) = P (x − λF (x)), ∀x ∈ C, λ > 0

là số bất kì Khi đó, x∗ ∈ Sol(F, C) ⇐⇒ x∗ ∈ F ix(T )

Chứng minh

Đặt T (x) := PC(x − λF (x)), ∀x ∈ C, λ > 0 Vì F liên tục trên C vàphép chiếu PC liên tục trên T nên theo định lý điểm bất động Browertồn tại x∗ = T (x∗) Mặt khác, theo định nghĩa của T thì x∗ = T (x∗) =

PC(x∗ − λF (x∗)) Áp dụng Mệnh đề 1.8.2 và Bổ đề 1.8.3 ta được:

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Vậy bài toán V I(F, C) có ít nhất một nghiệm

Chú ý 1.8.5 Cho tập lồi C 6=∅, CR = C ∩ B(O, R) trong đó B là hìnhcầu đóng Khi đó CR bị chặn ⇒ CR là tập compact

Ký hiệu V I(F, CR) là bất đẳng thức biến phận: Tìm xR ∈ C, sao cho

hF (xR), y − xRi ≥ 0, ∀y ∈ CR (1.3)Định lí 1.8.6 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của Rn và

F : C → Rn Bài toán V I(F, C) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại R > 0

và nghiệm xR của bài toán V I(F, CR) với ||xR|| < R

Chứng minh

•(⇒) Rõ ràng nếu bài toán V I(F, C) có nghiệm x∗ thì x∗ cũng là nghiệmcủa V I(F, CR) với xR < R Giả sử x∗ ∈ CR mà CR ⊂ C nên x∗ là nghiệmcủa bài toán V I(F, C) và V I(F, CR)

•(⇐) Giả sử xR ∈ CR với ||xR|| < R thì xR cũng là nghiệm của bài toán

V I(F, C) Thật vậy, với ||xR|| < R, y ∈ C, do C là tập lồi nên ta có:

Điều này có nghĩa là xR là 1 nghiệm của V I(F, C)

Định lí 1.8.7 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của mộtkhông gian Rn, và một ánh xạ liên tục F : C → Rn thỏa mãn điều kiệnbức, tức là, tồn tại x0 ∈ C, sao cho

hF (x) − F (xo), x − xoi

||x − xo|| → +∞, khi kxk → +∞ và x ∈ C.

Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm

Chứng minh Chọn H > ||F (xo)|| và R > ||xo|| sao cho:

Định lí 1.8.8 NếuF : C → Rn làβ đơn điệu mạnh và liên thực Lipschitztrên C thì bài toán V I(F, C) có nghiệm duy nhất

Chứng minh Xét ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn cho bởi T (x) =

PC(x − µF (x)), ∀x ∈ C Vì T là ánh xạ không giãn trên C nên ta có

∀x, y ∈ C thì

||T (x) − T (y)||2 = ||PC(x − µF (x)) − PC(y − µF (y))||2

≤ ||(x − µF (x)) − (y − µF (y))||2

= ||x − y − µ(F (x) − F (y))||2

= ||x − y||2 − 2µhF (x) − F (y), x − yi + µ2||F (x) − F (y)||2

Vì β- đơn điệu mạnh nên ta có:

Suy ra

||T (x) − T (y)||2 ≤ ||x − y||2 − 2µhF (x) − F (y), x − yi + µ2||F (x) − F (y)||2

≤ ||x − y||2 − 2µβ||x − y||2 + µ2L2||x − y||2

Vậy T : C → C là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất

x∗ ∈ C sao choT (x∗) = x∗ ⇐⇒ PC(x∗− µF (x∗)) = x∗ Theo Bộ đề 1.8.3suy rax∗ ∈ SOL(C, F ) và là nghiệm duy nhất của bài toánV I(F, C)

Định lí 1.8.9 Nếu C là tập lồi đóng khác rỗng và F là đơn điệu chặttrên C thì bài toán V I(F, C) có không quá một nghiệm[7]

Chứng minh Giả sửx1 vàx2 là hai nghiệm của bài toánV I(C, F ),x1 6= x2.Khi đó, ta có:

hF (x1), x − x1i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.4)và

hF (x2), x − x2i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.5)Thay x bởi x1 trong (1.5) và thay x bởi x2 trong (1.4), rồi cộng theo vếcác bất đẳng thức ta được:

Định lí 1.8.10 Nếu F là giả đơn điệu mạnh trên C với hằng số γ > 0

thì bài toán V I(F, C) có không quá một nghiệm[7]

Chứng minh Giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của bài toán V I(F, C),x1 6= x2.

Khi đó, ta có:

F (x1), x2 − x1i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.6)và

CHƯƠNG2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON SUY RỘNG CHO

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG TRƠN

Trong chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm nghiêng và tính chấthàm khả vi nghiêng Tiếp theo, sẽ đi nghiên cứu phương pháp Newton suyrộng để giải phương trình

Khi đó, fo được gọi là "hàm nghiêng" của F tại x

Định nghĩa 2.1.2 Giả sử fo là một hàm nghiêng của F tại x ∈ D Tập

2) Hàm nghiêng không duy nhất

Chứng minh Giả sử F có đạo hàm Frechet liên tục trên D Đặt go(x) =

F0(x), ∀x ∈ D Do đó go là hàm nghiêng của F tại x và go 6= fo ⇒ hàm

nghiêng không duy nhất.

3) Mối liên hệ giữa hàm nghiêng với đạo hàm Frechet Nếu F có đạo hàmFrechet tại x thì F có hàm nghiêng tại x

Chứng minh Theo định nghĩa ta có, hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại

x∗ ∈ X nếu tồn tại A ∈ L(X, Y ) sao cho

khi đó, F có hàm nghiêng tại x

4) Nếu fo, go là hàm nghiêng của F tại x thì h = λfo + (1 − λ)go, với

λ ∈ [0, 1] cũng là một hàm nghiêng cho F tại x (trong D), Trong đó

λ ∈ [0, 1] Hơn thế nữa lim

h→0||fo(x + h)h − go(x + h)h|| = 0 Mặt khác, nếu

fo vàgo là các hàm nghiêng choF và Gtạix(trong D), thì ho = αfo+ βgo

là hàm nghiêng của αF + βG tại x(trong D) trong đó α, β là hằng số.5) Đối với một hàm F khả vi nghiêng tại x, thì tập ∂sF (x) là phụ thuộcvào chọn một hàm nghiêng cho F tại x Liên kết với bất kỳ hàm nghiêngthì tập hợp ∂sF (x) là giới hạn, vì fo(x + h) là giới hạn đều với h đủ nhỏ

ví dụ này không khả vi nghiêng tại 0

6) Một hàm liên tục không nhất thiết phải khả vi nghiêng ví dụ, đặt

•(⇒) Hàm F : X → Y khả vi nghiêng fo(x + h) bị chặn đều với h đủ

bé nên ∃L > 0 sao cho: ||fo(x + h)|| < L1

Ta định nghĩa: fo(x + h) = F (x+h)−F (x)||h|| g, với h 6= 0 và fo(x) là một toán

hướng tại x nếu giới hạn δ+F (x, h) := lim

t→0 +

F (x+th)−F (x)

t tồn tại Khi đó,

δ+F (x, h) được gọi là đạo hàm của F tại x theeo hướng h

Định nghĩa 2.1.7 Một hàm F : D ⊂ X → Y được gọi là B- khả vi tại

x nếu F khả vi theo hướng tại x và lim

h→0

F (x+h)−F (x)−δ + F (x,h)

||h|| = 0 Khi đó,

δ+F (x, ·) được gọi là B-đạo hàm của F tại x

Mệnh đề 2.1.8 Giả sử F khả vi nghiêng tại x và cho fo là hàm nghiêngcủa F tại x

(a) F khả vi theo hướng tại x khi và chỉ khi lim

h→0 +fo(x + th)h tồn tại.Hơn nữa, nếuF khả vi theo hướng tại x, thìδ+F (x; h) = lim

h→0 +fo(x+th)h.(b) F có B-đạo hàm tại x khi và chỉ khi lim

h→0 +fo(x + th)h "tồn tại đều"với h trên mỗi tập bị chặn (Giả sử, ||h|| = 1)

Từ câu (a) khi F có đạo hàm theo hướng, thì

" với h trên mỗi tập bị chặn

Định lí 2.1.9 Giả sử F khả vi nghiêng tại x và cho fo là hàm nghiêngcủa F tại x Các mệnh đề sau tương đương:

(a) Đối với môt số( hàm g : X → Y trong đó o(||h||), fo(x + h)h + g(h)

đồng bậc với h bậc 1

(b)⇒(c): Bằng phần (b) của Mệnh đề 2.1.8 phát biểu của (b) ngụ ý rằng

F là B-đạo hàm và limt→0+fo(x + th)h = δ+F (x; h) Suy ra (c)

(c)⇒(a) Vì δ+F (x; h) = fo(x + h)h + o(||h||), và δ+F (x; h) đồng bậc với

h bậc 1, suy ra (a)

Ví dụ 2.1.10 Cho hàm F : X → Y với X = Y = R và F (x) = |x|

a) Tìm một hàm nghiêng của F tại x = 0

b) Tìm một hàm nghiêng của F tại x = 1

c) Tìm đạo hàm nghiêng của F tại x = 0 và x = 1 liên kết với fo ở câutrên

a) Dùng định nghĩa, ta chứng minh được fo(x) là một hàm nghiêng của

là hàm nghiêng của F tại x

Hơn nữa, đạo hàm nghiêng của F tại x ∈ R là:

là hàm nghiêng của F tại x.

Hơn nữa, đạo hàm nghiêng của F tại x ∈ R là:

Tập A là vô hạn Xét dãy con {xk}k∈A, ta có: lim