V ¡ yêu cầu giảm tải kiến thức nên chương trình và sách giáo khoa SGK Toán 9 về nội dung Hàm số và đô thị của hàm.. Qua bài viết này, tác giả giới thiệu với bạn đọc một số tính chất đặ
Trang 1
V ¡ yêu cầu giảm tải kiến thức nên
chương trình và sách giáo khoa (SGK)
Toán 9 về nội dung Hàm số và đô thị của hàm
é ax? (a # 0) chỉ có 2 tiết Lí thuyết và 2
+t Luyện tập Đa số các bài toán trong SGK
và sách bài tập chú trọng vào kĩ năng vẽ đỏ
thị; giải thích các hiện tượng vật lí; các công
thức hìnhhọc liên quan đến công thức y = a2
Qua bài viết này, tác giả giới thiệu với bạn
đọc một số tính chất đặc biệt của parabol (P),
giúp các em thấy được những gì "Có thể em
chưa biết"
1 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PARABOL
1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm
Tín 2) (a> 0) va dong thang d: a
5"
Goi M(x, y) la diém sao cho MT = MH
với H ld hinh chiéu của M lên d
© Tim biéu thite lién hé giita x va y (h 1)
y
cat Ox tai)
b, Kết luận Tọa độ điểm ÄM thỏa mãn phương,
xẺ nên điểm A nằm trên đỏ thị của x? (P)
2 Xét bài toán ngược lại
Với điểm M bất kì trên (P): y = a2 và H là hình chiéu cia Mtrén dta sé ching minh MT = MH That vay
Do 6 MI? = MH? = MT = MH
Ý nghĩa hình học của Parabol Pzraboi la quỳ tích các điềm AM có khoảng cách đến điềm T cổ định bằng khoảng cách đến một đường thẳng (4) cô định
I DUONG THANG DAC BIET Trên mặt phẳng toa d6 Oxy cho (P): y = ax?
va diém A(m ; n)
1 Viết phương trình đường thang (D) qua A
và tiếp xúc với (P)
PT đường thăng (D) qua A với hệ số góc & có dạng
Trang 2ax2 = lx— lm * n © a2 - lx + lan — n = Ô
Ta co A= ~ 4amk + 4an Đề (D) tiếp xúc
(P) thì A = 0 © JÈ ~ 4amk + 4an = 0 @®)
PT (*) la PT bậc hai ẩn & có nghiệm khi
A' >0 © 4am? - dan 2 0 = am? = an (**)
Với giá trị của a, m, m cho trước thỏa mãn
(**) ta sẽ tìm được hai nghiệm
ky =2am+ VM": kì =2am — ^lA'
của PT (*) và xác định được hai tiếp tuyến:
(Đ):y= kx— kửm + nz (D2 — Em + n
2 Tính giá trị của n theo a để hai tiếp tuyễn
nầy vuông góc với nhan:
Tacé (Di) L (Ds)
2 hls
1 S=n=——
@ ‘Atm, 0) 4a
đường thẳng đ:
1
~ qq không phụ thuộc vào giá trị của
a
m (h 2)
Dao lai void = , tachứng minh có thê
la,
kẻ hai tiếp tuyển qua 4, vuông góc với nhau
đến (P): y= a2,
That vay voi n 2 thì PT () ở phan 1)
a
trở thanh i — 4amk — 1 = 0 PT này luôn có
hai nghiệm phân biệt thoả mãn &¡.l› = —1 nên
ta có hai tiếp tuyên (D;) L (Da)
1
—— chính là Fa Chink là quỹ quỹ
tích của những điền A từ đó ta kẻ được hai
tiệp tuyền vuông góc nhau đền (P): y'= axẺ
Do dé: Đường thăng (4)
TH TẠM GIÁC VUÔNG KÌ DIỆU
1 Tiếp tục di tim toa độ hai tiếp điễn B và C của hai tiếp tuyển vuông góc đến (P) và chứng mình rằng đường thăng BC luôn đi qua 1 điểm cô định
Xét PT hoành độ giao điểm của (D;) và (Da) với (P): y'= a2 ở trên:
1 kịx + kựn #* — =0
4a
dakyx + 4akim + 1 = 0 dakix +h? = 0 © (2ax — k)? = 0
* TU) &È—
(A= 4am? + 1),
4a
lạ _2am-wA'
2a
* (PT2) ax? —
©x=xc=
2a
Do đó xz + xc = 2m
Đường thăng 8C có hệ số góc p thoả mãn
38 —}C = P(Xã— xc) => ax} -ax2 = p(x — xc)
=p=á(xz + xc) = 2am
Vay PT đường thẳng 8C là '3 =P(X— X3) © y— a x3 = 2am(x — x3)
2amx + a x3 - 2amxg
Besant — uy, DỤ qa 4
= 2amw#+~>——————
Suy ra BC luôn đi qua điểm ro) cô định
la
2 Bài toán đảo
Đường thẳng (0 di qua ro) edt parabol
a
(P): y = ax? tai hai diém B va C Chứng mình rang hai tiép tuyén tai B và C của (P) vuông góc với nhau tại một điển A thuộc đường
-1 thẳng d: :
Duong thing (0) có hệ số góc p thoả mãn
Trang 31 1
—JTEPX—xXi) ®ÿ~—— =m©®y=p 4a + — 4a
PT hoành độ giao điểm của (2) và (P) là
ax? —px- —=0,c6A=p?+1>0
4a Suy ra (2) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt B,
pa xe= poe
2a ch 2a
Cvới x=
PT đường thắng (D;) qua B và tiếp xúc (P) có
hệ số góc g thoả mãn
—}3=4(X— xã) =y=4x— qxs*}ys (Dị)
PT hoành độ giao điểm của (Ð:) và (P):
ax? — gx + đXg—
ys=0
Vì (D;) tiếp xúc () tại B nên A=0
Hình 3
<= 4}~ 4a(4xs— y3) =0
© @ — Aagns + 4a? x} = 0 © (g~2axs)?=0
© q = 2axs
Chứng minh tương tự, hệ số góc của (Da) qua
€ và tiếp xúc (P) là 4° = 2axc và phương trình
(Dy) lày=g~q Xe *yc
Ta có đ.g`= 4a2xaxe = 4a2| —
4a
Vậy (D;) + (D›) (h 3)
Hoành độ giao diém 4 của hai đường thăng
(D:) và (D›) thoả mãn phương trình
2axg xT~2ax3 + ys =2aXc.x¿ ~2axã ~Tc
-Ÿ Từ đó suy ra
2a ° yar gua— gra + ya (với g = 2ara)
8 TXC
eye 2a J-3mi~aj =
=4 2-4)
2a 4a
Vậy 4 năm trên đường thẳng (4): y
Trong bài toán trên, nếu khai thác thêm ta
sẽ chứng minh được:
a) AT L BC, b) Goi H va K la giao điễm của (D:) và (Dã) với trục hoành thì tứ giác AHTK là hình chữ nhật
©) Hai điểm đối xứng của T qua (D:) và (D3) ane ném trên đường thả 1
cũng năm trên đường thẳng y= ~——
4a
2k 1 L1 sa 2 và đưê
Điểm TỊ0—| gọi là tiêu điểm và đường
la
— gọi là đường thăng đặc biệt (2) 1
a
chuẩn của (P): y ax,
IV PARABOL - MOT DUONG CONG TUYET DEP
Lời tựa hap dẫn này (xem bai Dé thi ham số
„.= a2 (a > 0), SGK Toán 9 trang 33) có gợi
bạn đọc tìm tòi được điều gỉ tuyệt đẹp trên
đường cong đó không? Bài toán tông quát sau đây giúp cho bạn đọc khám phá được một điểm đặc biệt đối với đường cong đó
1 Trên mặt phng tọa độ Oxy, cho Parabol
(P):y = ax (a > 0), Qua gốc tọa độ, về hai tia vuông góc nhau cắt (P) tại A và B (hai tỉa này không trùng với hai trục tọa độ) Chứng mình răng khi góc vuông 4OB quay xung quanh O thi đường thăng AB luôn di qua một ẩim cô định
Cách giải Nếu PT đường thẳng Ø4 1a y = kx thi PT dudng thing OB la y- = (20)
Từ đó tìm được (££) a4: a):
aia ak” ak Khi đó toạ độ 4, B thoả mãn PT
Trang 4Nên đường thắng 4 luôn đi qua điểm cỗ
định Hot)
a Đừng vội tự mãn Không đừng nơi đây
2 Ké AH va
BK vuông góc
(H va K thuộc
bạn có thể 8
khám phá thêm
một điều lí thú
nữa "Tam giác
THK vuông tai I
chang?”
Từ đó suy ra 1 vuông góc với 1K (h 4) Bạn đọc cũng có thể chứng minh ring AOIK
«œ AOHI, từ đó suy ra HIK= 90°, hoặc có
thể sử dụng định lí Pythagore đảo
Đến đây các bạn có thê kiểm tra lại kết quả của
bài toán bằng cách cho ø một giá trị nào đó
3 Gọi C là giao điểm của IH và OA Goi D là
giao diém ctia IK va OB thi tứ giác ICOD là hình gì?
4 Bây giờ ta hãy thành lập bài toán ngược
Cho Parabol y = ax trên mặt phẳng tọa độ
a bat ky qua I edit hai nhánh của (P) tại 4 và B Hãy chứng mình tam giác OAB vuông tại O Oxy va diém I (0:2) Vẽ đường thang (d)
Các em hãy tự giải phân 3 và 4 nhé
Qua bài toán trên, chắc Bạn đọc đã thấy được
“cái đẹp” của điểm I rồi chứ Tọa độ 7 (0:4)
tùy thuộc vao hé sé a ciia (P) “
Hãy tự đặt cho điểm đặc biệt này một tên
riêng mà bạn thích.